第二单元因数和倍数·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共15页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数•单元复习篇【四大篇章】 思 维 导 图 篇 如果a÷b=c(a,b,c是非0自然数) 那么a是b,c的倍数，b,c是a的因数。 →含义： A.列乘法算式 ①找因数的方法 B.列除法算式 A.列举法 2表示因数 →因数 B.集合法 1.因数与倍数 A.一个数的因数是有限的 ③因数的特征 B.最小的因数是1，最大的因数是本身 A.列乘法算式 ①找倍数的方法 B.列除法算式 A.列举法 ②表示倍数 ◆倍数 B.集合法 A.一个数的倍数是无限的 目倍数的特征 B.最小的倍数是本身，没有最大的倍数 A.末位是0,2,4,6,8的数都是2的倍数 五下第二单元 偶数是2的倍数（包括0） 因数与倍数 →2的倍数特征 B.奇数与偶数 奇数不是2的倍数 ★奇偶性探究 2.2,3,5的倍数特征 未位是0或5的数都是5的倍数 →5的倍数特征 各个数位数字之和是3的倍数 号3的倍数特征 A.一个数除了1和它本身没有其他因数 B.最小的质数是2 ◆质数 2357和11,13后面是17. C.100以内的质数 19,23,29:31,37.41: 43.47.53·59.6167 3.质数和合数 71,73,79:83,89.97 一个数除了1和它本身还有其他因数 →合数 →1既不是质数也不是合数 识 清 单 篇 【知识点一】因数和倍数的认识 1.因数和倍数的概念。 第2页共15页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除 数和商的倍数。 (2)整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果ab=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和 c的倍数。 2.注意。 (1)概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 (2)概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁 是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 (3)0不作为研究因数与倍数的对象。 【知识点二】找一个数的因数和因数的特征 1.找一个数的因数的方法。 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这 个数的因数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2.表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1,2,3,6,9,18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆 内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 18的因数 例如： 1,2,3, 6,9,18 3.一个数的因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【知识点三】找一个数的倍数和倍数的特征 1.找一个数的倍数的方法。 第3页共15页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2.表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个 逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2,4,6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆 内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号， 不用加句号。 2的倍数 2,4,6,… 3.一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 【知识点四】2、5的倍数的特征 1.2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.2、5、3倍数特征之间的联系。 第4页共15页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2、3的 个位上是0,2,4,6,8，且各个数位 倍数 上的数字之和是3的倍数。 3、5的 个位上是0,5，且各个数位上的数 倍数 字之和是3的倍数。 个位上是0，且各个数位上的数字 2、3、5 之和是3的倍数。 的倍数 5.关于倍数特征的补充。 (1)4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数： (2)8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数： (3)11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。 (4)7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数 减小数)是7、11、13的倍数。 【知识点五】奇数和偶数 1.奇数和偶数的意义。 意义 举例 用含有字母的式子表示 偶数 整数中，是2的倍数的数 0,2,4,6, 如果a是整数，偶数可以 叫作偶数(0也是偶数)， 8,…0 用2a来表示。 不是2的倍数的数叫作奇 1,3,5,7, 如果a是整数，奇数可以 奇数 ()数。 9,…。 用2a+1来表示。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无 独有偶。 2.关于偶数和奇数的特殊说明。 (1)自然数中最小的偶数是0。 (2)自然数中最小的奇数是1。 (3)奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 (4)相邻两个奇数（或偶数）相差2。 3.整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 第5页共15页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【知识点六】奇数与偶数的运算性质 1.加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2.减法。 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 3.乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【知识点七】质数和合数 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1.质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 第6页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.0、1既不是质数，也不是合数。 4.制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数(2,3,5,7)的所有倍数（它们本身 除外)，余下的数都是质数。 100以内的质数表 2 3 5 1 1113 1719 23 29 3137 414347 535961 一共有25个。 677173 798389 97 【知识点八】分解质因数 1.分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意。 (1)分解质因数是解决数论最有效最直接的途径： (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 考点 预 测 篇 第一部分 基础层命题 8 【预测考点01】因数和倍数的认识★ 吕【典型例题】 1.48÷6=8,( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 2.在ab=c(a,b,c均是非0自然数)中，a是c的( ),b是c的( ),c是a 和b的( ) 3.34的最小因数是( ),最大因数是( ),最小倍数是( ) 第7页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.因为3×4=12，所以12是3和4的0 ),3和4都是12的( ) 2.根据56÷7=8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数：( )和( 是56的因数。 3.若m的最大因数是17，n的最小倍数是4，则m十n=( ) 号【预测考点02】因数与倍数的求法和特征★★ 吕【典型例题】 20的因数有( ),50以内6的倍数有( 肥【对应练习】 1.24的因数有( )个，其中最大的因数是( ):24的倍数有( )个，其中 最小的倍数是( ) 2.一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( ),这个数的因数有( )。 吕【（预测考点03】2、5的倍数特征★★ 吕【典型例题】 1.把下列各数按要求填在横线上。 91452 4023 4558 245536 22198 10066 5的倍数有： 2的倍数有： 2.59口既是2的倍数，又是5的倍数，口里可填( )。 即【对应练习】 1.有一把万能钥匙能同时打开下面图中的3把锁。这把万能钥匙的号码是( 所有因数 同时是2和 是一个 的和是18 5的倍数 两位数 2.4口”是5的倍数，口里可以填( ) 第8页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【预测考点04】奇数和偶数★★ 吕【典型例题】 把下面各数填入相应的圈里，并说说你的发现。 765965237051554812082363774 2的倍数 5的倍数 奇数 偶数 我发现：个位上是( )的数都是2的倍数，个位上是( )的数都 是5的倍数。 肥【对应练习】 1.3的倍数中，最小的奇数是( ),最小的偶数是( ),最小的两位数是 ),最小的三位数是( ),最大的三位数是( )。 2.按要求写一写。 写出4个是3的倍数的奇数。 写出4个是3的倍数的偶数。 吕【预测考点05】3的倍数特征★★ 吕【典型例题】 一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 Q【对应练习】 1.要使17o50能同时被2、3、5整除，口里最大能填( )。 2.能同时被2、3、5整除的最大两位数是( ),最大三位数是( ) 吕【预测考点06】质数和合数★★ 吕【典型例题】 1.非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( ),最小的合数 是( ) 第9页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.在括号里填上合适的质数： 22=( )+( ):26=( )+( )+( 肥【对应练习】 1.在1、2、4、11、117、55、713、91中，质数有( ),合数有( )。 2.在括号里填上不同的质数：15=( )三( 第二部分 进阶层命题 吕【预测考点01】猜数问题★★★ 吕【典型例题】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数：②既不是质数，也不 是合数；③既是质数，又是偶数：④10以内最大的质数：⑤最小的合数：⑥最小奇数的5倍： ⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 肥【对应练习】 1.小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是 最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 2.智能快递柜进小区。某天，张叔叔收到一条关于取件码的信息。 取件码有6个数字，从右往左依次是①既不是质数也不是合数的数(0除外)；②10以内（不 包括10)有因数3的偶数：③10以内（不包括10）最大的偶数：④最小的合数：⑤既是质数， 又是偶数的数：⑥10以内（不包括10）最大的质数。 张叔叔这一天的取件码是多少？ 第10页共15页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·单元复习篇【四大篇章】 【知识点一】因数和倍数的认识 1. 因数和倍数的概念。 （1）在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。 （2）整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果a÷b=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和c的倍数。 2. 注意。 （1）概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 （2）概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 （3）0不作为研究因数与倍数的对象。 【知识点二】找一个数的因数和因数的特征 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1，2，3，6，9，18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 例如： 3. 一个数的因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【知识点三】找一个数的倍数和倍数的特征 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2，4，6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句号。 3. 一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 【知识点四】2、5的倍数的特征 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 5. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【知识点五】奇数和偶数 1. 奇数和偶数的意义。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无独有偶。 2. 关于偶数和奇数的特殊说明。 （1）自然数中最小的偶数是0。 （2）自然数中最小的奇数是1。 （3）奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 （4）相邻两个奇数(或偶数)相差2。 3. 整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 【知识点六】奇数与偶数的运算性质 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【知识点七】质数和合数 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 0、1既不是质数，也不是合数。 4. 制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数（2，3，5，7）的所有倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 【知识点八】分解质因数 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 （1）分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【预测考点01】因数和倍数的认识 【典型例题】 1．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 2．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 3．34的最小因数是( )，最大因数是( )，最小倍数是( )。 【对应练习】 1．因为3×4＝12，所以12是3和4的( )，3和4都是12的( )。 2．根据56÷7＝8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数；( )和( )是56的因数。 3．若m的最大因数是17，n的最小倍数是4，则m＋n＝( )。 【预测考点02】因数与倍数的求法和特征 【典型例题】 20的因数有( )，50以内6的倍数有( )。 【对应练习】 1．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。 2．一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( )，这个数的因数有( )。 【预测考点03】2、5的倍数特征 【典型例题】 1．把下列各数按要求填在横线上。 914       52       40       23       45       58   245       536      221      98       100      66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 2．59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填( )。 【对应练习】 1．有一把万能钥匙能同时打开下面图中的3把锁。这把万能钥匙的号码是( )。 2．“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【预测考点04】奇数和偶数 【典型例题】 把下面各数填入相应的圈里，并说说你的发现。 76  59  65  23  70  51  55  48  120  82  36  37  74 我发现：个位上是( )的数都是2的倍数，个位上是( )的数都是5的倍数。 【对应练习】 1． 3的倍数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的两位数是( )，最小的三位数是( )，最大的三位数是( )。 2．按要求写一写。 【预测考点05】3的倍数特征 【典型例题】 一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 【对应练习】 1．要使17□50能同时被2、3、5整除，□里最大能填( )。 2．能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【预测考点06】质数和合数 【典型例题】 1．非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【对应练习】 1．在1、2、4、11、117、55、713、91中，质数有( )，合数有( )。 2．在括号里填上不同的质数：15＝（______×______）＝（______＋_____）。 【预测考点01】猜数问题 【典型例题】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【对应练习】 1．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 2. 智能快递柜进小区。某天，张叔叔收到一条关于取件码的信息。 取件码有6个数字，从右往左依次是①既不是质数也不是合数的数（0除外）；②10以内（不包括10）有因数3的偶数；③10以内（不包括10）最大的偶数；④最小的合数；⑤既是质数，又是偶数的数；⑥10以内（不包括10）最大的质数。 张叔叔这一天的取件码是多少？ 【预测考点02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应用 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习】 1．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 2．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 3．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是32厘米。这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 【预测考点03】连续奇数或偶数的和 【典型例题】 三个连续的奇数，中间一个数为a，其他两个数是( )和( )，若这三个数的和是27，则它们分别是( )，( )和( )。 【对应练习】 1．三个好朋友的岁数刚好是三个连续的奇数，并且他们的年龄和是51岁，三个人中岁数最大的( )岁，最小的( )岁。 2．三个连续偶数的和是240，这三个数的平均数是( )，其中最大的一个数是( )。 【预测考点】分解质因数 【典型例题】 能被2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是( )。 【对应练习】 1．一个数的最大因数是20，这个数是( )，把它分解质因数( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有( )。 2．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 一、填空题。 1．（2025·广西百色·期末）在算式72÷8＝9中，72是8的( )，9是72的( )。（填“倍数”或“因数”） 2．（2025·重庆梁平·期末）请按从小到大的顺序写出18的因数( )。 3．（2025·贵州黔南·期末）一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 4．（2025·河南商丘·期末）43至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是2的倍数。 5．（2025·河南商丘·期末）4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 6．（2025·北京海淀·期末）根据下面信息判断，这两个数分别是( )和( )。 我和另一个数都是质数，我们的和是15。 7．（2025·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 8．（2025·河南郑州·期末）数字验证码是网络安全中常见的应用。王老师在登录邮箱时收到了一个四位数字验证码“□□□□”，从左向右看：第一个数字是最小的质数，第二个数字既是3的倍数又是3的因数，第三个数字是10以内最大的合数，第四个数字是最小的奇数。这个四位数字验证码是( )。 二、选择题。 9．（2025·河南商丘·期末）36的因数共有( )个。 A．6 B．7 C．8 D．9 10．（2025·广东中山·期末）一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是( )。 A．6 B．12 C．18 D．36 11．（2025·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )。 A．4 B．7 C．8 D．9 12．（2025·湖南湘西·期末）3个连续奇数的和是57，其中最大的一个奇数是( )。 A．17 B．19 C．21 D．23 13．（2025·吉林长春·期末）m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是( )。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 14．（2025·贵州黔南·期末）从数学文化节展板中知道，“孪生质数”指的是相差2的两个质数，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是一对孪生质数的是( )。 A．2和3 B．7和9 C．3和15 D．17和19 三、计算题。 15．（2025·新疆巴州·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 四、解答题。 16．（2025·北京大兴·期末）小天说：“两个质数的和一定是偶数。”你同意小天的说法吗？请说明理由。 17．（2025·河南郑州·期末）涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 18．（2025·甘肃天水·期末）学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 19．（2025·海南省直辖县级单位·期末）用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有( )种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是( )厘米，最小是( )厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·单元复习篇【四大篇章】 【知识点一】因数和倍数的认识 1. 因数和倍数的概念。 （1）在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。 （2）整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果a÷b=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和c的倍数。 2. 注意。 （1）概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 （2）概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 （3）0不作为研究因数与倍数的对象。 【知识点二】找一个数的因数和因数的特征 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1，2，3，6，9，18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 例如： 3. 一个数的因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【知识点三】找一个数的倍数和倍数的特征 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2，4，6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句号。 3. 一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 【知识点四】2、5的倍数的特征 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 5. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【知识点五】奇数和偶数 1. 奇数和偶数的意义。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无独有偶。 2. 关于偶数和奇数的特殊说明。 （1）自然数中最小的偶数是0。 （2）自然数中最小的奇数是1。 （3）奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 （4）相邻两个奇数(或偶数)相差2。 3. 整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 【知识点六】奇数与偶数的运算性质 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【知识点七】质数和合数 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 0、1既不是质数，也不是合数。 4. 制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数（2，3，5，7）的所有倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 【知识点八】分解质因数 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 （1）分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【预测考点01】因数和倍数的认识 【典型例题】 1．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 2．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 【答案】因数；因数；倍数 【分析】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知： 在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。 3．34的最小因数是( )，最大因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 34 34 【分析】因数是能整除一个数的整数。34的因数有1，2，17，34，其中最小因数是1，最大因数是34。一个数的最小倍数是它本身，因此34的最小倍数是34。 【详解】34÷1＝34 34÷2＝17 34÷17＝2 34÷34＝1 34的因数有1，2，17，34。34的最小因数是1，最大因数是34。34的最小倍数是它本身，即34。 34的最小因数是1，最大因数是34，最小倍数是34。 【对应练习】 1．因为3×4＝12，所以12是3和4的( )，3和4都是12的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非零的自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，因为3×4＝12，所以12是3和4的倍数，3和4都是12的因数。 2．根据56÷7＝8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数；( )和( )是56的因数。 【答案】 56 7 7 8 【分析】根据因数和倍数的意义可知：如果数能被数b整除（b≠0），就叫做b的倍数，b就叫做的因数；据此解答即可。 【详解】根据56÷7＝8，可知56是8的倍数，也是7的倍数；7和8是56的因数。 3．若m的最大因数是17，n的最小倍数是4，则m＋n＝( )。 【答案】21 【分析】一个数的最大因数是它本身，m的最大因数是17，m等于11，一个数的最小倍数是它本身，n的最小倍数是4，n就是4，求m＋n就用4＋17即可解答。 【详解】若m的最大因数是17，则m是17；n的最小倍数是4，则n是4； 则m＋n＝4＋17＝21。 【预测考点02】因数与倍数的求法和特征 【典型例题】 20的因数有( )，50以内6的倍数有( )。 【答案】 1，2，4，5，10，20 6，12，18，24，30，36，42，48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48。 【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 【对应练习】 1．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。 【答案】 8 24 无数 24 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 24的倍数：24，48，72，…； 24的因数有8个，其中最大的因数是24；24的倍数有无数个，其中最小的倍数是24。 【点睛】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数和倍数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 2．一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( )，这个数的因数有( )。 【答案】 6 1，2，3，6 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，即一个数的最大因数等于它的最小倍数。一个数的最大因数与最小倍数的积是36，即两个相同的数的乘积是36，因为6×6＝36，所以这个数是6。再用列乘法算式的方法找出6的因数。 【详解】36＝6×6，所以这个数是6。 6＝1×6，6＝2×3，所以这个数的因数有1，2，3，6。 【点睛】解决此题的关键是明确一个数的最大因数和这个数的最小倍数的关系。 【预测考点03】2、5的倍数特征 【典型例题】 1．把下列各数按要求填在横线上。 914       52       40       23       45       58   245       536      221      98       100      66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。 【详解】5的倍数有：40、45、245、100； 2的倍数有：914、52、40、58、536、98、100、66。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握2、5的倍数的特征。 2．59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填( )。 【答案】0 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【详解】59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填0。 【点睛】关键是掌握2和5的倍数的特征。 【对应练习】 1．有一把万能钥匙能同时打开下面图中的3把锁。这把万能钥匙的号码是( )。 【答案】10 【分析】万能钥匙的条件一：是一个两位数；条件二：同时是2和5的倍数，根据2和5的倍数特征，个位上是0，所以这个数可能是10、20、30…；条件三：所有因数的和是18。据此分析可能的数，进而找出正确答案。 【详解】以10为例，10的因数有1、2、5、10，因数和为1＋2＋5＋10＝18。 若为20，20的因数有1、2、4、5、10、20，因数和为1＋2＋4＋5＋10＋20＝42不等于18，不符合。更大的整十数因数和会更大，所以符合条件的数是10。 这把万能钥匙的号码是10。 2．“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【答案】0、5 【分析】个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。 【详解】要使“4□”是5的倍数，□里可以填0、5。 【预测考点04】奇数和偶数 【典型例题】 把下面各数填入相应的圈里，并说说你的发现。 76  59  65  23  70  51  55  48  120  82  36  37  74 我发现：个位上是( )的数都是2的倍数，个位上是( )的数都是5的倍数。 【答案】 见解析；我发现：0，2，4，6，8；0，5 【分析】除以2没有余数，也就是这个数是2的倍数，个位上的数字是0、2、4、6、8。除以5没有余数，也就是这个数是5的倍数，个位上的数字是0或5，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，据此解答。 【详解】由分析可知，2的倍数有：76，70，48，120，82，36，74。 5的倍数有：65，70，55，120。 奇数有：59，65，23，51，55，37。 偶数有：76，70，48，120，82，36，74。 填入相应的圈里，如图： 我发现：个位上是：0，2，4，6，8的数都是2的倍数，个位上是0，5的数都是5的倍数。 【对应练习】 1． 3的倍数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的两位数是( )，最小的三位数是( )，最大的三位数是( )。 【答案】 3 6 12 102 999 【分析】本题需要依次确定3的倍数中最小的奇数、最小的偶数、最小的两位数、最小的三位数和最大的三位数，共五个步骤，每个步骤需结合3的倍数特征、偶数与奇数的定义及数的大小比较进行分析。 【详解】奇数是不能被2整除的整数，3的倍数中最小的数是3，3不能被2整除，符合奇数定义，3不能被2整除，所以3是3的倍数且是奇数，故最小的奇数是3； 偶数是能够被2整除的整数，所以该数需同时是2和3的倍数，即6的倍数。根据倍数的定义，6的最小倍数是它本身，，所以6是3的倍数且是偶数，故最小的偶数是6； 两位数从10开始，依次判断是否为3的倍数，3的倍数特征是一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数10各位数字之和为，1不是3的倍数。11各位数字之和为，2不是3的倍数。12各位数字之和为，3是3的倍数，所以12是3的倍数，故最小的两位数是12； 三位数从100开始，依据3的倍数特征进行计算100各位数字之和为，1不是3的倍数。101各位数字之和为，2不是3的倍数。102各位数字之和为，3是3的倍数，所以102是3的倍数，故最小的三位数是102； 最大的三位数是999，判断其是否为3的倍数，根据3的倍数特征计算各位数字之和。999各位数字之和为，27是3的倍数，所以999是3的倍数，故最大的三位数是999。 所以，3的倍数中，最小的奇数是3，最小的偶数是6，最小的两位数是12，最小的三位数是102，最大的三位数是999。 2．按要求写一写。 【答案】3；9；15；21；    6；12；18；24（答案均不唯一） 【分析】3的倍数特征：每一位上数字之和能被3整除。偶数：是2的倍数的数叫作偶数；奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，根据3的倍数特征、偶数、奇数特征写出4个数即可。 【详解】写出4个是3的倍数的奇数：3；9；15；21； 写出4个是3的倍数的偶数：6；12；18；24。（答案均不唯一） 【预测考点05】3的倍数特征 【典型例题】 一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 3、6 12、24 【分析】根据求一个数因数的方法，求出24的因数，再结合3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此填空即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中3、6、12、24是3的倍数。 则一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是3、6或12、24。 【点睛】本题考查求一个数的因数和3的倍数，明确求一个数的因数的方法和3的倍数特征是解题的关键。 【对应练习】 1．要使17□50能同时被2、3、5整除，□里最大能填( )。 【答案】8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，17□50的个位数字为0。 □里为9时，1＋7＋9＋5＝22，22不是3的倍数； □里为8时，1＋7＋8＋5＝21，21是3的倍数。 所以，□里最大能填8。 【点睛】掌握同时是2、3、5倍数的倍数特征是解答题目的关键。 2．能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 90 990 【分析】（1）根据2、3、5的倍数特征可知；同时是2、3、5的倍数，只要是个位是0，十位满足是3的倍数即可，十位满足是3的倍数的有3、6、9，其中3是最小的，9是最大的，即90； （2）同时是2、3、5的倍数的最小的三位数，只要个位是0，百位是最大的自然数9，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，这样的数有：9、6、3、0，其中9是最大的，即990；解答即可。 【详解】由分析可知： 能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最大的三位数是990。 【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数，明确2、3、5的倍数特征是解题的关键。 【预测考点06】质数和合数 【典型例题】 1．非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 【答案】 1 2 4 【分析】一个大于1的自然数，只有1与它本身两个因数的数，这样的数叫作质数； 一个大于1的自然数，除了1和它本身外还有其它因数的数，这样的数叫作合数。据此解答。 【详解】由分析可知：非0自然数中，1的因数只有1，所以，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。 【点睛】掌握质数和合数的特点是解题此题的关键。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【答案】 17 5 13 11 2 【分析】因数只有1和本身的数是质数，26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23，据此通过尝试填空即可。 【详解】22＝17＋5或22＝3＋19 26＝13＋11＋2或26＝7＋17＋2 （答案需配对） 【对应练习】 1．在1、2、4、11、117、55、713、91中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 2、11 4、117、55、713、91 【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数。合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】1：既不是质数，也不是合数。 2：只有1和2两个因数，是质数。 4：有1、2、4三个因数，是合数。 11：只有1和11两个因数，是质数。 117：117＝9×13，除了1和117外还有其他因数，是合数。 55：55＝5×11，除了1和55外还有其他因数，是合数。 713：713＝23×31，除了1和713外还有其他因数，是合数。 91：91＝7×13，除了1和91外还有其他因数，是合数。 所以质数有 2、11；合数有 4、117、55、713、91。 2．在括号里填上不同的质数：15＝（______×______）＝（______＋_____）。 【答案】 3 5 2 13 【分析】质数的定义：质数是大于1且只能被1和它本身整除的自然数。 分解乘法：15＝3×5，3和5都是质数，符合题目要求。 分解加法：需要找到两个不同的质数，相加等于15。尝试计算：2＋13＝15，2和13都是质数，符合条件。 【详解】根据分析可得，填上不同的质数如下： 15＝3×5＝2＋13 【预测考点01】猜数问题 【典型例题】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【答案】9127456 【分析】2的倍数叫做偶数，个位是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数叫做奇数，个位是1、3、5、7、9的数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；10以内的质数有：2，3，5，7；10以内的合数有：4，6，8，9；据此解答。 【详解】①既是奇数又是合数的数：9； ②既不是质数，也不是合数：1； ③既是质数，又是偶数：2； ④10以内最大的质数：7； ⑤最小的合数：4； ⑥最小奇数的5倍：5； ⑦有因数3的偶数：6。 答：洪老师家的电话号码是9127456。 【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的特点，以及因数、倍数的知识是解题的关键。 【对应练习】 1．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【答案】4091 【分析】第一位数是最小的合数是4，第二位数是最小的偶数是0，第三位数是6的1.5倍是6×1.5＝9，第四位数既不是质数也不是合数是1，据此解答。 【详解】第一位数是4，第二位数是0，第三位数是6×1.5＝9，第四位数是1。 答：行李箱的密码是4091。 【点睛】此题主要考查根据质数、合数、奇数、偶数的意义，掌握自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数是解题关键。 2. 智能快递柜进小区。某天，张叔叔收到一条关于取件码的信息。 取件码有6个数字，从右往左依次是①既不是质数也不是合数的数（0除外）；②10以内（不包括10）有因数3的偶数；③10以内（不包括10）最大的偶数；④最小的合数；⑤既是质数，又是偶数的数；⑥10以内（不包括10）最大的质数。 张叔叔这一天的取件码是多少？ 【答案】724861 【分析】既不是质数也不是合数（0除外）的数是1，10以内（不包括10）有因数3的偶数是6，10以内（不包括10）最大的偶数是8，最小的合数是4，既是质数又是偶数的数是2，10以内（不包括10）最大的质数是7，所以取件码是724861。 【详解】由分析可知：这个取件码是724861。 答：张叔叔这一天的取件码是724861。 【预测考点02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应用 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。 【详解】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查5的倍数特点。 【对应练习】 1．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【详解】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 2．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 【答案】（1）奇数 （2）偶数 【分析】根据奇偶运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此进行解答即可。 【详解】（1）因为弟弟收到的红包钱数为奇数，100是偶数，根据奇数＋奇数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为奇数。 答：姐姐收到的红包钱数为奇数。 （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，100是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为偶数。 答：姐姐收到的红包钱数为偶数。 【点睛】本题考查奇偶运算，明确奇偶运算性质是解题的关键。 3．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是32厘米。这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】39平方厘米或55平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，用32除以2即可求出长方形的长与宽的和，再结合质数的定义找到长方形的长与宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此进行计算即可。 【详解】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13，16＝5＋11 3×13＝39（平方厘米） 5×11＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是39或55平方厘米。 【点睛】本题考查质数，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【预测考点03】连续奇数或偶数的和 【典型例题】 三个连续的奇数，中间一个数为a，其他两个数是( )和( )，若这三个数的和是27，则它们分别是( )，( )和( )。 【答案】 a－2 a＋2 7 9 11 【分析】相邻的两个奇数相差2。第一个奇数比a少2，第三个奇数比a多2。用27除以3可以算出中间的奇数，用中间的奇数减去2算出第一个奇数，用中间的奇数加上2算出第三个奇数。 【详解】第一个奇数是a－2，第三个奇数是a＋2。 27÷3＝9 9－2＝7 9＋2＝11 所以，其他两个数是（a－2）和（a＋2），若这三个数的和是27，则它们分别是7，9，11。 【对应练习】 1．三个好朋友的岁数刚好是三个连续的奇数，并且他们的年龄和是51岁，三个人中岁数最大的( )岁，最小的( )岁。 【答案】 19 15 【分析】相邻的两个奇数之间相差2，三人年龄和÷3＝中间年龄，中间年龄＋2＝最大年龄，中间年龄－2＝最小年龄。 【详解】51÷3＝17（岁） 17＋2＝19（岁） 17－2＝15（岁） 三个人中岁数最大的19岁，最小的15岁。 2．三个连续偶数的和是240，这三个数的平均数是( )，其中最大的一个数是( )。 【答案】 80 82 【分析】连续的偶数中，相邻的偶数相差2，平均数＝总和÷个数，三个连续偶数的平均数就是中间数。 【详解】240÷3＝80 80＋2＝82 所以这三个数的平均数是80，其中最大的一个数是82。 【预测考点】分解质因数 【典型例题】 能被2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 102 102＝2×3×17 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数，一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。最小的三位数，百位一定是1，再结合2、3的倍数特征判断出个位数字是几，最后再把它写成几个质数相乘的形式，据此解答。 【详解】最小的三位数，百位一定是1，因为它是2的倍数，则个位上可能是0，2，4，6，8，又因为它是3的倍数，当这个数是102、108时正好是3的倍数但最小的数是102。因为102＝2×51，而51＝3×17，这时的2、3、17都是质数，所以102＝2×3×17。故能被2、3整除的最小三位数是（102），把它分解质因数是（102＝2×3×17）。 【点睛】考查2、3的倍数特征及分解质因数的方法。个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数，一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。把一个数写成几个质数相乘的形式的过程叫做分解质因数。 【对应练习】 1．一个数的最大因数是20，这个数是( )，把它分解质因数( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有( )。 【答案】 20 20＝2×2×5 1、2、4、5、10、20 1、5 4、10、20 【分析】应明确一个数的最小倍数是它本身，得出这个数是20；然后根据找一个数的因数的方法，列举出20的因数；进而根据奇数、合数的含义：除了1和它本身以外，还含其它因数的数是合数；自然数中不是2的倍数的数是奇数；据此解答即可。 【详解】20＝2×2×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 所以一个数的最大因数是20，这个数是20，把它分解质因数20＝2×2×5，它的因数有1、2、4、5、10、20，其中奇数1、5，合数有4、10、20。 【点睛】此题应根据求一个数的因数的方法及奇数、合数的含义进行解答。 2．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 42 42＝2×3×7 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的数叫偶数。分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。 【详解】最小的合数是4，即十位上的数字是4，既是质数又是偶数的数字是2，即个位上的数字是2，所以这个两位数是42。 把42分解质因数：42＝2×3×7 【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数与合数的区别，才能做出正确的解答。 一、填空题。 1．（2025·广西百色·期末）在算式72÷8＝9中，72是8的( )，9是72的( )。（填“倍数”或“因数”） 【答案】 倍数 因数 【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，据此解答。 【详解】因为72÷8＝9，所以8×9＝72，8和9是72的因数，72是8和9的倍数。 综上分析，在算式72÷8＝9中，72是8的倍数，9是72的因数。 2．（2025·重庆梁平·期末）请按从小到大的顺序写出18的因数( )。 【答案】1，2，3，6，9，18 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数：1，2，3，6，9，18。 3．（2025·贵州黔南·期末）一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 35 1，5，7，35 【分析】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以既是35的因数，又是35的倍数的数是35。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此找出35的因数。 【详解】35＝1×35＝5×7 一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是35，它的因数有1、5、7、35。 4．（2025·河南商丘·期末）43至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是2的倍数。 【答案】 2 1 【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。 【详解】4＋3＝7，7＋2＝9，所以43至少加上2就是3的倍数；43－1＝42，所以43至少减去1就是2的倍数。 5．（2025·河南商丘·期末）4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 4800 4020 【分析】的倍数个位为：、、、、，的倍数个位为：或。所以一个数是和的倍数：个位必须是；要是的倍数：各位数字之和是的倍数。据此分析即可。 【详解】因为这个数是和的倍数，所以个位是。因此这个数已确定的数字加起来和是。 是的倍数，又要最大，先尝试百位是，此时和为，题目说这个数有两个相同数字，十位尝试，数字和为，不符合；十位尝试，数字和为，也不行；十位尝试，数字和是还是不行。那么百位尝试为，数字和为。那么十位尝试，数字和为不符合；十位尝试，数字和为，也不行，十位尝试，数字和为，是的倍数，所以这个数最大是。 是的倍数，又要最小，那么尝试百位为，此时和为。十位尝试是，数字和仍为，不符合；十位尝试，数字和为，不是的倍数，不符合；十位尝试为，数字和为，是的倍数。所以最小是。 6．（2025·北京海淀·期末）根据下面信息判断，这两个数分别是( )和( )。 我和另一个数都是质数，我们的和是15。 【答案】 13 2 【分析】质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。 先找出15以下的所有质数，同时再根据加法的奇偶性进行判断看哪两个质数的和是15。 【详解】15以下的质数有：2、3、5、7、11、13。 同时因为15是奇数，根据加法的奇偶性判断，偶数＋奇数＝奇数，质数中只有2是偶数，所以：15－2＝13 综上所述：这两个数分别是13和2。 7．（2025·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【分析】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【详解】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【点睛】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 8．（2025·河南郑州·期末）数字验证码是网络安全中常见的应用。王老师在登录邮箱时收到了一个四位数字验证码“□□□□”，从左向右看：第一个数字是最小的质数，第二个数字既是3的倍数又是3的因数，第三个数字是10以内最大的合数，第四个数字是最小的奇数。这个四位数字验证码是( )。 【答案】2391 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，10以内最大的合数是9；3的因数有1、3，其中3既是3的倍数又是3的因数，据此解答。 【详解】分析可知，最小的质数是2，则第一个数字是2，3既是3的倍数又是3的因数，则第二个数字是3，10以内最大的合数是9，则第三个数字是9，最小的奇数是1，则第四个数字是1，所以这个四位数字验证码是2391。 二、选择题。 9．（2025·河南商丘·期末）36的因数共有( )个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。写出36的因数即可解答。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个。 故答案为：D 10．（2025·广东中山·期末）一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是( )。 A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】A 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数叫除数的倍数。 18的因数：1、2、3、6、9、18； 12的因数：1、2、3、4、6、12； 3的倍数：3、6、9、12、15、18…；结合选项做出选择即可。 【详解】由分析可知：一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是6。 故答案为：A 11．（2025·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )。 A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。据此逐一分析。 【详解】A．个位数字是4，174是2的倍数，1＋7＋4＝12，12是3的倍数，符合； B．个位数字是7，177不是2的倍数，不符合； C．个位数字是8，178是2的倍数，1＋7＋8＝16，16不是3的倍数，不符合； D．个位数字是9，179不是2的倍数，不符合。 综上，要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填4。 故答案为：A 12．（2025·湖南湘西·期末）3个连续奇数的和是57，其中最大的一个奇数是( )。 A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】由题意，可以根据以下进行分析： （1）奇数是不能被2整除的整数，相邻两个奇数之间的差为2； （2）n为奇数时，n个连续数奇数的和＝中间数×个数，则中间数＝n个连续数奇数的和÷个数；据此解决。 【详解】这3个连续奇数的中间数为：57÷3＝19 则其中最大的一个奇数为：19＋2＝21 故答案为：C 13．（2025·吉林长春·期末）m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是( )。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 【答案】A 【分析】根据奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数； ②奇数±奇数＝偶数； ③偶数±奇数＝奇数； ④偶数×奇数＝偶数； ⑤奇数×奇数＝奇数； ⑥偶数×偶数＝偶数； 由此即可判断。 【详解】A．1为奇数，m为偶数，m＋1＝偶数＋奇数＝奇数，符合题意； B．2为偶数，m为偶数，m－2＝偶数－偶数＝偶数，不符合题意； C．2为偶数，m为偶数，2m＝偶数×偶数＝偶数，不符合题意； D．m÷2＝偶数÷偶数，结果不一定是奇数还是偶数，不符合题意； 则m＋1一定为奇数。 故答案为：A 14．（2025·贵州黔南·期末）从数学文化节展板中知道，“孪生质数”指的是相差2的两个质数，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是一对孪生质数的是( )。 A．2和3 B．7和9 C．3和15 D．17和19 【答案】D 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．2和3都是质数，2和3相差1，排除； B．9是合数，排除； C．15是合数，排除； D．17和19都是质数，17和19相差2。 是一对孪生质数的是17和19。 故答案为：D 三、计算题。 15．（2025·新疆巴州·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 【答案】13的因数：1、13；27的因数：1、3、9、27 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】13＝1×13 13的因数有：1、13 27＝1×27＝3×9 27的因数有：1、3、9、27 四、解答题。 16．（2025·北京大兴·期末）小天说：“两个质数的和一定是偶数。”你同意小天的说法吗？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】除了1和它本身两个因数外，没有其它因数的数是质数；除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数是合数。一个数是2的倍数，这个数是偶数，不是2的倍数，这个数是奇数。 【详解】例如：2是质数，5也是质数，但2＋5＝7，7不是偶数； 所以不同意小天的说法。 17．（2025·河南郑州·期末）涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 【答案】 650；理由见详解 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字必须是0。因此，这个三位数的个位确定为0。涛涛的数字卡片为0、1、2、3、4、5、6，个位使用0后，剩余卡片为1、2、3、4、5、6，百位不能为0，从1、2、3、4、5、6中选择，要组成最大的三位数，百位应选最大的数字6；十位从剩余数字1、2、3、4、5中选择最大的数字5。因此，这个三位数是650。 【详解】这个三位数最大是650。 理由：同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；要使三位数最大，百位数字选剩余数字中最大的（6），十位数字再选剩下数字中最大的（5），所以这个三位数最大是650。 18．（2025·甘肃天水·期末）学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 【答案】 42人或48人 【分析】整数中，能被2整除的数是偶数；每3人一组，全部分完，说明能被3整除，总数是3的倍数，3的倍数：各位数字之和是否能被3整除；列出40~50之间所有的偶数：40、42、44、46、48、50，再从中筛选出能被3整除的数。 【详解】40~50之间的偶数：40、42、44、46、48、50 再判断能否被3整除： （4＋0）÷3＝4÷3＝1……1 （4＋2）÷3＝6÷3＝2 （4＋4）÷3＝8÷3＝2……2 （4＋6）÷3＝10÷3＝3……1 （4＋8）÷3＝12÷3＝4 （5＋0）÷3＝5÷3＝1……2 符合条件的数是42和48。 答案：五年级参加的学生可能是42人或48人。 19．（2025·海南省直辖县级单位·期末）用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有( )种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是( )厘米，最小是( )厘米。 【答案】（1）列表见详解；5； （2）74；24； 【分析】用36个小正方形拼成长方形（或正方形），面积不变（36平方厘米）。长方形的长和宽必须是36的因数，且长≥宽。因此需列举36的所有因数对（长、宽），计算不同拼法的周长，再比较最大值和最小值。 【详解】 长（厘米） 36 18 12 9 6 宽（厘米） 1 2 3 4 6 （1）一共有5种不同的拼法。 （2）（36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 74＞40＞30＞26＞24 在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是74厘米，最小是24厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $1.因数与倍数 五下第二单元 因数与倍数 2.2,3,5的倍数特 3.质数和合数 如果a÷b=c(a,b,c是非0自然数)， 那么a是b,c的倍数，b,c是a的因数。 →含义： A.列乘法算式 ①找因数的方法 B.列除法算式 A.列举法 ②表示因数 →因数 B.集合法 A.一个数的因数是有限的 ③因数的特征 B.最小的因数是1，最大的因数是本身 A.列乘法算式 ①找倍数的方法 B.列除法算式 A.列举法 ②表示倍数 →倍数 B.集合法 A.一个数的倍数是无限的 ③倍数的特征 B最小的倍数是本身，没有最大的倍数 A.末位是0,2,4,6,8的数都是2的倍数 偶数是2的倍数（包括0） →2的倍数特征 B.奇数与偶数 奇数不是2的倍数 ★奇偶性探究 未位是0或5的数都是5的倍数 →5的倍数特征 各个数位数字之和是3的倍数 →3的倍数特征 A.一个数除了1和它本身没有其他因数 B.最小的质数是2 →质数 2357和11,13后面是17， C.100以内的质数 19,23,29;31,3741: 43,47.53；59,61,67 71,73,79；83,89,97 一个数除了1和它本身还有其他因数 →合数 1既不是质数也不是合数多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共30页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数•单元复习篇【四大篇章】 思 维 导 图 篇 如果a÷b=c(a,b,c是非0自然数) 那么a是b,c的倍数，b,c是a的因数。 →含义： A.列乘法算式 ①找因数的方法 B.列除法算式 A.列举法 2表示因数 →因数 B.集合法 1.因数与倍数 A.一个数的因数是有限的 ③因数的特征 B.最小的因数是1，最大的因数是本身 A.列乘法算式 ①找倍数的方法 B.列除法算式 A.列举法 ②表示倍数 ◆倍数 B.集合法 A.一个数的倍数是无限的 目倍数的特征 B.最小的倍数是本身，没有最大的倍数 A.末位是0,2,4,6,8的数都是2的倍数 五下第二单元 偶数是2的倍数（包括0） 因数与倍数 →2的倍数特征 B.奇数与偶数 奇数不是2的倍数 ★奇偶性探究 2.2,3,5的倍数特征 未位是0或5的数都是5的倍数 →5的倍数特征 各个数位数字之和是3的倍数 号3的倍数特征 A.一个数除了1和它本身没有其他因数 B.最小的质数是2 ◆质数 2357和11,13后面是17. C.100以内的质数 19,23,29:31,37.41: 43.47.53·59.6167 3.质数和合数 71,73,79:83,89.97 一个数除了1和它本身还有其他因数 →合数 →1既不是质数也不是合数 识 清 单 篇 【知识点一】因数和倍数的认识 1.因数和倍数的概念。 第2页共30页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除 数和商的倍数。 (2)整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果ab=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和 c的倍数。 2.注意。 (1)概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 (2)概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁 是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 (3)0不作为研究因数与倍数的对象。 【知识点二】找一个数的因数和因数的特征 1.找一个数的因数的方法。 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这 个数的因数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2.表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1,2,3,6,9,18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆 内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 18的因数 例如： 1,2,3, 6,9,18 3.一个数的因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【知识点三】找一个数的倍数和倍数的特征 1.找一个数的倍数的方法。 第3页共30页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2.表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个 逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2,4,6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆 内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号， 不用加句号。 2的倍数 2,4,6,… 3.一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 【知识点四】2、5的倍数的特征 1.2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.2、5、3倍数特征之间的联系。 第4页共30页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2、3的 个位上是0,2,4,6,8，且各个数位 倍数 上的数字之和是3的倍数。 3、5的 个位上是0,5，且各个数位上的数 倍数 字之和是3的倍数。 个位上是0，且各个数位上的数字 2、3、5 之和是3的倍数。 的倍数 5.关于倍数特征的补充。 (1)4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数： (2)8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数： (3)11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。 (4)7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数 减小数)是7、11、13的倍数。 【知识点五】奇数和偶数 1.奇数和偶数的意义。 意义 举例 用含有字母的式子表示 偶数 整数中，是2的倍数的数 0,2,4,6, 如果a是整数，偶数可以 叫作偶数(0也是偶数)， 8,…0 用2a来表示。 不是2的倍数的数叫作奇 1,3,5,7, 如果a是整数，奇数可以 奇数 ()数。 9,…。 用2a+1来表示。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无 独有偶。 2.关于偶数和奇数的特殊说明。 (1)自然数中最小的偶数是0。 (2)自然数中最小的奇数是1。 (3)奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 (4)相邻两个奇数（或偶数）相差2。 3.整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 第5页共30页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【知识点六】奇数与偶数的运算性质 1.加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2.减法。 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 3.乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【知识点七】质数和合数 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1.质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 第6页共30页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.0、1既不是质数，也不是合数。 4.制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数(2,3,5,7)的所有倍数（它们本身 除外)，余下的数都是质数。 100以内的质数表 3 5 1113 1719 23 29 3137 414347 53 5961 一共有25个。 67 7173798389 97 【知识点八】分解质因数 1.分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意。 (1)分解质因数是解决数论最有效最直接的途径： (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 考点 预 测 篇 第一部分 基础层命题 吕【预测考点01】因数和倍数的认识★ 吕【典型例题】 1.48÷6=8,( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1,2,4都是8的因数： 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此 15是3的倍数，也是5的倍数。 第7页共30页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【详解】所以48÷6=8,6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 2.在ab=c(a,b,c均是非0自然数)中，a是c的( ),b是c的( ),c是a 和b的( )。 【答案】因数；因数；倍数 【分析】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数， 积就是这两个数的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知： 在ab=c(a,b,c均是非0自然数)中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b 的（倍数）。 3.34的最小因数是( ),最大因数是( ),最小倍数是( 【答案】 1 34 34 【分析】因数是能整除一个数的整数。34的因数有1,2,17,34，其中最小因数是1，最大 因数是34。一个数的最小倍数是它本身，因此34的最小倍数是34。 【详解】34÷1=34 34÷2=17 34÷17=2 34÷34=1 34的因数有1,2,17,34.34的最小因数是1，最大因数是34.34的最小倍数是它本身，即 34。 34的最小因数是1，最大因数是34，最小倍数是34。 即【对应练习】 1.因为3×4=12，所以12是3和4的( ),3和4都是12的( 【答案】 倍数 因数 【分析】在乘法算式a×b=c(a、b、c均为非零的自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b 的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，因为3×4=12，所以12是3和4的倍数，3和4都是12的因数。 2.根据56÷7=8，可知( )是8的倍数，也是( )的倍数；( )和( 是56的因数。 【答案】 56 7 第8页共30页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【分析】根据因数和倍数的意义可知：如果数a能被数b整除(b≠0)，a就叫做b的倍数，b 就叫做a的因数；据此解答即可。 【详解】根据56-7=8，可知56是8的倍数，也是7的倍数：7和8是56的因数。 3.若的最大因数是17，n的最小倍数是4，则m+n=( ) 【答案】21 【分析】一个数的最大因数是它本身，m的最大因数是17，m等于11，一个数的最小倍数是 它本身，n的最小倍数是4，n就是4，求m+n就用4+17即可解答。 【详解】若m的最大因数是17，则m是17：n的最小倍数是4，则n是4： 则m+n=4+17=21。 吕【预测考点02】因数与倍数的求法和特征★★ 吕【典型例题】 20的因数有( ),50以内6的倍数有( 【答案】 1,2,4,5,10,20 6,12,18,24,3036,42,48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算 式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式， 乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数有：1,2,4,5,10,20： 50以内6的倍数有：6,12,18,24,30,36,42,48。 【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 即【对应练习】 1.24的因数有( )个，其中最大的因数是( ):24的倍数有( )个，其中 最小的倍数是( 【答案】 8 24 无数 24 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身： 个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【详解】24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24 24的倍数：24,48,72，. 第9页共30页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 24的因数有8个，其中最大的因数是24：24的倍数有无数个，其中最小的倍数是24。 【点晴】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数和倍数的方法，明确一个数的最大 因数和最小倍数都是它本身。 2.一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( ),这个数的因数有( 【答案】 6 1,2,3,6 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，即一个数的最大因数等 于它的最小倍数。一个数的最大因数与最小倍数的积是36，即两个相同的数的乘积是36，因 为6×6=36，所以这个数是6。再用列乘法算式的方法找出6的因数。 【详解】36=6×6，所以这个数是6。 6=1×6,6=2×3,所以这个数的因数有1,2,3,6 【点睛】解决此题的关键是明确一个数的最大因数和这个数的最小倍数的关系。 吕【预测考点03】2、5的倍数特征★★ 吕【典型例题】 1.把下列各数按要求填在横线上。 914 52 40 23 4558 245 536 221 98 10066 5的倍数有： 2的倍数有： 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个 位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。 【详解】5的倍数有：40、45、245、100： 2的倍数有：914、52、40、58、536、98、100、66。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握2、5的倍数的特征。 2.59口既是2的倍数，又是5的倍数，口里可填( ) 【答案】0 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5 的倍数。 【详解】59o既是2的倍数，又是5的倍数，口里可填0。 第10页共30页