专题20.1 勾股定理及其应用（4大知识点+ 11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

专题20.1 勾股定理及其应用 知识点1：勾股定理的核心内容 项目 具体内容 文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言 在中，，两直角边分别为、，斜边为，则 公式变形 ，，（、、均为正数） 适用前提 仅适用于直角三角形，斜三角形需通过作高构造直角三角形后再应用 核心本质 反映直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的重要性质 知识点2：勾股定理的验证方法 勾股定理的验证核心是“等面积法”，通过图形的拼接、切割，用两种方式表示同一图形的面积，推导得出三边关系，常见验证方法如下： 验证方法 图形特征 面积关系推导 赵爽弦图法 4个全等直角三角形+1个小正方形拼成大正方形 大正方形面积，化简得 总统拼图法 2个全等直角三角形+1个等腰直角三角形拼成梯形 梯形面积，化简得 割补法 将大正方形切割为小正方形和直角三角形 大正方形面积，化简得 知识点3：勾股定理的常见应用场景 1.求直角三角形的边长：已知任意两边，求第三边。 2.求图形面积：以直角三角形三边为边的正方形、半圆、等腰直角三角形等图形的面积关系。 3.数轴表示无理数：构造直角三角形，以斜边为半径画弧，在数轴上确定（为正整数）对应的点。 4.实际问题建模：将航海、折叠、最短路径、台风影响等实际问题转化为直角三角形模型求解。 5.立体图形最短路径：将圆柱、长方体等立体图形侧面展开为平面图形，构造直角三角形求最短路径。 知识点4：勾股定理与三角形形状的关系 1.若的三边长、、（为最长边）满足，则为直角三角形。 2.若，则为锐角三角形。 3.若，则为钝角三角形。 【基础必考题型】 【题型1】直接利用勾股定理求边长 1.核心知识点 勾股定理的基本公式及变形 直角三角形的边角对应关系 2.解题方法技巧 先明确直角边和斜边，若未明确最长边，需分类讨论（如已知两边为3和4，需考虑4为斜边或第三边为斜边）。 代入公式计算时，注意运算顺序和算术平方根的非负性。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，则的长为______． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 【题型2】勾股定理与图形面积综合 1.核心知识点 勾股定理的面积表达形式 正方形、半圆、等腰直角三角形的面积公式 2.解题方法技巧 以直角三角形三边为边的同类图形，面积满足“两直角边对应图形面积和=斜边对应图形面积”。 利用面积关系逆向推导直角三角形的边长或三边关系。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，阴影部分正方形的边长是________． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是___________． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（  ） A．3，4，5 B．3，4，7 C．4，5，9 D．3，7，9 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【题型3】数轴上表示无理数 1.核心知识点 勾股定理构造无理数线段 圆的半径性质（等半径线段相等） 2.解题方法技巧 将无理数拆分为两个正整数的平方和（如）。 按“作直角三角形→截斜边→画弧交数轴”的步骤作图，确定无理数对应的点。 【例题3】.（17-18八年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【题型4】简单实际问题建模 1.核心知识点 勾股定理的实际应用 直角三角形的构造（竖直高度+水平距离=斜边） 2.解题方法技巧 提取实际问题中的“竖直边”“水平边”“斜边”（如旗杆高度、地面距离、绳子长度）。 设未知量，根据勾股定理列方程求解，注意单位统一。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【变式题4-1】.（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理与折叠问题综合 1.核心知识点 折叠的性质（对应边相等、对应角相等） 勾股定理的方程思想应用 2.解题方法技巧 折叠后找到相等的线段和角，设折叠后重合的线段长度为。 以折叠形成的直角三角形为模型，用含的代数式表示三边，列方程求解。 【例题5】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【题型6】立体图形表面最短路径 1.核心知识点 立体图形的侧面展开图（圆柱→长方形、长方体→长方形） 勾股定理求平面内两点间最短距离 2.解题方法技巧 “化曲为直”：将立体图形侧面展开为平面长方形，确定两点在展开图中的对应位置。 展开图中两点连线为斜边，长方形的长和宽为直角边，用勾股定理求长度。 【例题6】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【题型7】勾股定理与航海/方位角问题 1.核心知识点 方位角的定义（北偏东、南偏西等） 直角三角形的构造（方位角夹角为90°时） 2.解题方法技巧 根据方位角画出图形，确定直角三角形的直角边（船的行驶路程）。 若行驶时间相同，可设速度为未知数，结合勾股定理列方程求解相遇或距离问题。 【例题7】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）一艘轮船以5千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？ 【变式题7-1】.（2025九年级·上海·专题练习）一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【题型8】勾股定理与动态几何分类讨论（多解问题） 1.核心知识点 直角三角形的不确定性（未明确直角或斜边） 勾股定理的多情况应用 2.解题方法技巧 当已知直角三角形两边长（未明确直角边或斜边）、动点位置不确定时，需分类讨论。 每种情况均构造直角三角形，代入勾股定理验证，排除不合理解（边长为负）。 【例题8】.（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，E是的中点，在斜边上有一动点D．从点B出发，沿着的方向以每秒的速度运动，当点D运动到点A时，停止运动．设动点D的运动时间为，连接，若为等腰直角三角形，则t的值为______． 【变式题8-1】.（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【变式题8-2】.（23-24八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【压轴素养题型】 【题型9】勾股定理与跨学科应用（台风影响、噪声污染） 1.核心知识点 实际问题的数学建模 勾股定理求范围与时间 2.解题方法技巧 确定影响范围的临界条件（如台风影响半径、噪声污染距离），构造直角三角形求临界线段长度。 根据速度公式（时间=路程÷速度），计算影响持续时间。 【例题9】.（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【变式题9-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【题型10】勾股定理与最短路径优化（将军饮马模型） 1.核心知识点 轴对称的性质（对称点到直线上任意点的距离相等） 勾股定理求最短路径 2.解题方法技巧 作其中一点关于直线（如河岸、道路）的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为最短路径的转折点。 转折点与两点构成直角三角形，用勾股定理求最短路径长度。 【例题10】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【变式题10-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点、之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当轴时，、两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当轴时，、两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当、两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整．    解：过、分别向轴、轴作垂线，两条垂线交于点． ∵轴，轴， ∴（_________，_________）， ∴______________， ______________， 在中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若，，则_________． （2）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点的对应点是，点的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标． （3）已知点为轴上一点，则的最小值为_________． 【题型11】勾股定理的探究式问题（规律探究、新定义） 1.核心知识点 勾股定理的拓展应用 规律探究与归纳推理 2.解题方法技巧 新定义问题（如“垂美四边形”“勾股分割点”）：根据定义提取直角三角形模型，应用勾股定理。 规律探究问题：计算前3个图形的边长或面积，归纳得出第个图形的表达式（如勾股树中正方形面积和的规律）。 【例题11】.（25-26八年级上·山西运城·期末）阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式题11-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． (1)等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． (2)如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． (3)如图3，在等边的边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 【变式题11-3】.（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 易错点 1.忽略勾股定理的适用前提，将其应用于非直角三角形。 2.已知直角三角形两边长时，未明确斜边，遗漏分类讨论（如已知两边为5和12，误将12当作斜边，忽略13为斜边的情况）。 3.立体图形最短路径问题中，未正确展开侧面，导致直角边长度计算错误。 4.实际问题建模时，单位不统一（如千米与米混用）或未准确提取直角边和斜边。 5.数轴表示无理数时，构造的直角三角形边长不符合要求，导致弧与数轴交点错误。 重点 1.勾股定理的文字表述、符号语言及公式变形，能熟练应用于直角三角形边长计算。 2.勾股定理的验证方法（等面积法），理解数形结合思想。 3.实际问题的建模能力，能将折叠、航海、最短路径等问题转化为直角三角形模型。 4.分类讨论思想在勾股定理多解问题中的应用。 5.立体图形侧面展开与“化曲为直”的解题思路。 难点 1.勾股定理与折叠、动态几何、数学文化的综合应用，需灵活转化图形与提取关键条件。 2.复杂实际问题的建模（如台风影响范围、跨学科融合问题），需准确识别直角三角形的构成。 3.勾股定理的规律探究与新定义问题，需具备归纳推理和知识迁移能力。 4.多解问题的分类讨论，需全面考虑所有可能情况，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 2．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．4.8 二、填空题 6．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 7．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 8．如图，在中，，于点D，于点E．若，，则的长为______． 9．如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 10．如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 三、解答题 11．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，求周长的最小值． 13．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 14．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 15．综合与实践： 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为20米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升19米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 勾股定理及其应用 知识点1：勾股定理的核心内容 项目 具体内容 文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言 在中，，两直角边分别为、，斜边为，则 公式变形 ，，（、、均为正数） 适用前提 仅适用于直角三角形，斜三角形需通过作高构造直角三角形后再应用 核心本质 反映直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的重要性质 知识点2：勾股定理的验证方法 勾股定理的验证核心是“等面积法”，通过图形的拼接、切割，用两种方式表示同一图形的面积，推导得出三边关系，常见验证方法如下： 验证方法 图形特征 面积关系推导 赵爽弦图法 4个全等直角三角形+1个小正方形拼成大正方形 大正方形面积，化简得 总统拼图法 2个全等直角三角形+1个等腰直角三角形拼成梯形 梯形面积，化简得 割补法 将大正方形切割为小正方形和直角三角形 大正方形面积，化简得 知识点3：勾股定理的常见应用场景 1.求直角三角形的边长：已知任意两边，求第三边。 2.求图形面积：以直角三角形三边为边的正方形、半圆、等腰直角三角形等图形的面积关系。 3.数轴表示无理数：构造直角三角形，以斜边为半径画弧，在数轴上确定（为正整数）对应的点。 4.实际问题建模：将航海、折叠、最短路径、台风影响等实际问题转化为直角三角形模型求解。 5.立体图形最短路径：将圆柱、长方体等立体图形侧面展开为平面图形，构造直角三角形求最短路径。 知识点4：勾股定理与三角形形状的关系 1.若的三边长、、（为最长边）满足，则为直角三角形。 2.若，则为锐角三角形。 3.若，则为钝角三角形。 【基础必考题型】 【题型1】直接利用勾股定理求边长 1.核心知识点 勾股定理的基本公式及变形 直角三角形的边角对应关系 2.解题方法技巧 先明确直角边和斜边，若未明确最长边，需分类讨论（如已知两边为3和4，需考虑4为斜边或第三边为斜边）。 代入公式计算时，注意运算顺序和算术平方根的非负性。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理计算即可. 【详解】解：∵ 直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴ 根据勾股定理，斜边长 . ∴ 斜边长为5， 故选：A. 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ． 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 【题型2】勾股定理与图形面积综合 1.核心知识点 勾股定理的面积表达形式 正方形、半圆、等腰直角三角形的面积公式 2.解题方法技巧 以直角三角形三边为边的同类图形，面积满足“两直角边对应图形面积和=斜边对应图形面积”。 利用面积关系逆向推导直角三角形的边长或三边关系。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，阴影部分正方形的边长是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理得出正方形的边长解答即可． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的边长． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（  ） A．3，4，5 B．3，4，7 C．4，5，9 D．3，7，9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设三个正方形的边长为：a、b、c（，），根据勾股定理可得，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】设三个正方形的边长为：a、b、c（，），且使所围成的三角形是直角三角形， ∴， ∴两个较小的正方形面积等于最大的正方形面积； A．∵， ∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意； B．∵， ∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为， ∴三角形的面积为； C．∵， ∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为， ∴三角形的面积为； D．∵， ∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意； ∵， ∴面积最大的一组是4，5，9， 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）．证明如下： ，， ． （2）由（1）可知，阴影部分的面积． 【题型3】数轴上表示无理数 1.核心知识点 勾股定理构造无理数线段 圆的半径性质（等半径线段相等） 2.解题方法技巧 将无理数拆分为两个正整数的平方和（如）。 按“作直角三角形→截斜边→画弧交数轴”的步骤作图，确定无理数对应的点。 【例题3】.（17-18八年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先理解题意，列式，则数轴上点A表示的实数是，即可作答． 【详解】解：如图： 观察数轴以及作图痕迹，得出， 则数轴上点A表示的实数是， 故答案为： ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 【题型4】简单实际问题建模 1.核心知识点 勾股定理的实际应用 直角三角形的构造（竖直高度+水平距离=斜边） 2.解题方法技巧 提取实际问题中的“竖直边”“水平边”“斜边”（如旗杆高度、地面距离、绳子长度）。 设未知量，根据勾股定理列方程求解，注意单位统一。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 【答案】(1)墙的高度为 (2)竹竿的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是通过设未知数，利用“竹竿长度不变”这一等量关系建立方程，从而将几何问题转化为代数方程求解． （1）这是一个勾股定理的实际应用问题，我们可以设墙的高度为米，那么两次竹竿斜靠时的顶端到地面的距离分别是 和．竹竿长度不变，所以可以利用勾股定理分别表示出两次竹竿的长度，建立方程求解． （2）在求出墙高后，代入勾股定理表达式即可求出竹竿的长度． 【详解】（1）解：设墙的高度为h米，竹竿长度为L米． 在中，； 在中，． ∵两次竹竿长度相等， ∴． 展开并化简： ． 故墙的高度为 ． （2）解：将代入的勾股定理式： 故竹竿的长度为． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理与折叠问题综合 1.核心知识点 折叠的性质（对应边相等、对应角相等） 勾股定理的方程思想应用 2.解题方法技巧 折叠后找到相等的线段和角，设折叠后重合的线段长度为。 以折叠形成的直角三角形为模型，用含的代数式表示三边，列方程求解。 【例题5】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠性质、勾股定理，根据矩形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点 ，点 ， ∴， 则； ∵点 ，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 【题型6】立体图形表面最短路径 1.核心知识点 立体图形的侧面展开图（圆柱→长方形、长方体→长方形） 勾股定理求平面内两点间最短距离 2.解题方法技巧 “化曲为直”：将立体图形侧面展开为平面长方形，确定两点在展开图中的对应位置。 展开图中两点连线为斜边，长方形的长和宽为直角边，用勾股定理求长度。 【例题6】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 【答案】 【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵正方体的棱长为， ∴矩形的长为、宽为， ∴． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【题型7】勾股定理与航海/方位角问题 1.核心知识点 方位角的定义（北偏东、南偏西等） 直角三角形的构造（方位角夹角为90°时） 2.解题方法技巧 根据方位角画出图形，确定直角三角形的直角边（船的行驶路程）。 若行驶时间相同，可设速度为未知数，结合勾股定理列方程求解相遇或距离问题。 【例题7】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）一艘轮船以5千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？ 【答案】 它们离开港口一个小时后相距13千米 【分析】本题考查勾股定理，根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图， 由已知得，（千米），（千米）， 在中，， 则（千米）， 答：它们离开港口一个小时后相距13千米． 【变式题7-1】.（2025九年级·上海·专题练习）一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用与方向角的意义，关键是通过方向角的关系判断出为直角三角形，再利用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：如图，直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 【题型8】勾股定理与动态几何分类讨论（多解问题） 1.核心知识点 直角三角形的不确定性（未明确直角或斜边） 勾股定理的多情况应用 2.解题方法技巧 当已知直角三角形两边长（未明确直角边或斜边）、动点位置不确定时，需分类讨论。 每种情况均构造直角三角形，代入勾股定理验证，排除不合理解（边长为负）。 【例题8】.（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，E是的中点，在斜边上有一动点D．从点B出发，沿着的方向以每秒的速度运动，当点D运动到点A时，停止运动．设动点D的运动时间为，连接，若为等腰直角三角形，则t的值为______． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．分和，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 由题意，得：， 当为等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）； ②当时， 则：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 综上：或． 故答案为：或． 【变式题8-1】.（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 【变式题8-2】.（23-24八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)4或 【分析】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算． （1）根据勾股定理，可以求出的长； 当点运动到，根据三角形面积，求出，根据勾股定理，求出，即可求出； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）当运动到边时，，过点作，根据三角形面积，得，根据勾股定理，求出，根据等腰三角形三线合一，求出，得，得点的运动距离为：，即可求出． （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴的长度为：cm． （2）过点作于点 ∴ ∵平分 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）①∵当运动到边时，， ∴点运动的路程为：， ∴． ②∵当运动到边时，， 如图，过点作 ∴， ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动距离为： ∴． 综上所述：点运动过程中，使得， 的值为或； （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，如图： ①当点与点重合时，，, ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)线段的长为； 的值为； (2)的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，则，由题意得，，然后通过勾股定理即可求解； 当时，由题意得，，，，所以，，又平分时，所以，则，得，则，然后求出的值即可； （）当时，由题意可得，，，在中，分为当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， 由题意得，，， ∴， ∴线段的长为； 如图， 当时，由题意得，，，， ∴，， ∵平分时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：当时，由题意可得，，， 在中，， 如图，当时，即， ∴， 解得：； 如图，当时， ∴， ∴， 解得：； 综上可得：是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【压轴素养题型】 【题型9】勾股定理与跨学科应用（台风影响、噪声污染） 1.核心知识点 实际问题的数学建模 勾股定理求范围与时间 2.解题方法技巧 确定影响范围的临界条件（如台风影响半径、噪声污染距离），构造直角三角形求临界线段长度。 根据速度公式（时间=路程÷速度），计算影响持续时间。 【例题9】.（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【答案】有危险，需要暂时封锁 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴公路段有危险，需要暂时封锁． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解． 【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下， 如图，过点作于点， ∵与恰好互余，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【题型10】勾股定理与最短路径优化（将军饮马模型） 1.核心知识点 轴对称的性质（对称点到直线上任意点的距离相等） 勾股定理求最短路径 2.解题方法技巧 作其中一点关于直线（如河岸、道路）的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为最短路径的转折点。 转折点与两点构成直角三角形，用勾股定理求最短路径长度。 【例题10】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点、之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当轴时，、两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当轴时，、两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当、两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整．    解：过、分别向轴、轴作垂线，两条垂线交于点． ∵轴，轴， ∴（_________，_________）， ∴______________， ______________， 在中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若，，则_________． （2）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点的对应点是，点的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标． （3）已知点为轴上一点，则的最小值为_________． 【答案】推导过程补充：；；． （1） （2）或（3） 【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出； （2）先确定平移的水平变化量，结合，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将按对应变化量平移，得到的坐标； （3）因在轴上，故，式子表示“到和的距离和”，作关于轴的对称点，连接对称点与，用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值． 【详解】解：根据题意，可知，则，． 故推导过程补充：；；． （1）根据， 可知． （2）由题可知，到，横坐标变化为，纵坐标变化为， 由，则， 解得，， 当，可知点由点向左平移个单位，向上平移个单位，即的坐标为； 当，可知点由点向左平移个单位，向下平移个单位，即的坐标为； 故点的坐标为或． （3）点在轴上，则，令，， 根据题意，可知表示， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴与点，    根据对称的性质可知，， 则， 此时即为取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应用，将轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键． 【题型11】勾股定理的探究式问题（规律探究、新定义） 1.核心知识点 勾股定理的拓展应用 规律探究与归纳推理 2.解题方法技巧 新定义问题（如“垂美四边形”“勾股分割点”）：根据定义提取直角三角形模型，应用勾股定理。 规律探究问题：计算前3个图形的边长或面积，归纳得出第个图形的表达式（如勾股树中正方形面积和的规律）。 【例题11】.（25-26八年级上·山西运城·期末）阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点，理由见解析 (2)的长为或 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”的定义判断即可得出结果； （2）设，则，分两种情况：当为最长线段时，由题意可得；当为最长线段时，由题意可得；分别计算即可得出结果； （3）以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作． 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， ∵点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得， 当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或； （3）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作， ， 由作图可得：， 由线段垂直平分线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据垂美四边形的定义即可求证； （）由垂美四边形的定义可得，进而根据勾股定理即可求解； （）设交于点，交于点，由勾股定理得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，再证明四边形是垂美四边形，进而根据（）的结论解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ∴四边形是垂美四边形； （2），理由如下： 四边形是垂美四边形， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； （3）如图，设交于点，交于点， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， 又， ， ， ∴四边形是垂美四边形， 由（）得：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． (1)等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． (2)如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． (3)如图3，在等边的边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 【答案】(1)是 (2)①是，证明见解析；② (3)①证明见解析；②等边的边长为． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，“类勾股三角形”的定义判断； （2）①求解，，结合，可得结论； ②根据勾股定理得到，分三种情况，根据“类勾股三角形”的定义解答； （3）①根据“类勾股三角形”的定义得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②证明，得到，结合，，可得，，，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当为等边三角形时， ， ∴， ∴等边三角形一定是“类勾股三角形” 故答案为：是 （2）解：①在中，；，， ∴，， ∴， ∴是“类勾股三角形”． ②∵在中，，，，，且， ∴， ∵是“类勾股三角形”， ∴当时，则（舍去）， 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去） 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：是“类勾股三角形”，，，，且，． （3）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的高，是“类勾股三角形”， ， ∴由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ∴等边的边长为． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理的含义，含30度角的直角三角形的性质，“类勾股三角形”的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式题11-3】.（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①垂直平分；② (3)或 【分析】本题考查了画轴对称图形，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据定义分别以为对称轴画出图形，即可求解； （2）①根据轴对称图形的性质可得，进而可得垂直平分； ②根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点，①当所在直线为对称轴时，分别求得对角线长，进而根据面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图 （2）①连接与的位置关系是垂直平分； ∵四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ∴ ∴垂直平分； ②如图 ∵ ∴ ∴ （3）解：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴，， ∵在中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴，，即， ∵， ∴，解得： ∴， ∴ ①当所在直线为对称轴时，如图， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 易错点 1.忽略勾股定理的适用前提，将其应用于非直角三角形。 2.已知直角三角形两边长时，未明确斜边，遗漏分类讨论（如已知两边为5和12，误将12当作斜边，忽略13为斜边的情况）。 3.立体图形最短路径问题中，未正确展开侧面，导致直角边长度计算错误。 4.实际问题建模时，单位不统一（如千米与米混用）或未准确提取直角边和斜边。 5.数轴表示无理数时，构造的直角三角形边长不符合要求，导致弧与数轴交点错误。 重点 1.勾股定理的文字表述、符号语言及公式变形，能熟练应用于直角三角形边长计算。 2.勾股定理的验证方法（等面积法），理解数形结合思想。 3.实际问题的建模能力，能将折叠、航海、最短路径等问题转化为直角三角形模型。 4.分类讨论思想在勾股定理多解问题中的应用。 5.立体图形侧面展开与“化曲为直”的解题思路。 难点 1.勾股定理与折叠、动态几何、数学文化的综合应用，需灵活转化图形与提取关键条件。 2.复杂实际问题的建模（如台风影响范围、跨学科融合问题），需准确识别直角三角形的构成。 3.勾股定理的规律探究与新定义问题，需具备归纳推理和知识迁移能力。 4.多解问题的分类讨论，需全面考虑所有可能情况，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． 2．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 4．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 5．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．4.8 【答案】D 【分析】作于点E，交于点F，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：作于点E，交于点F，连接， ∵在中，，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查轴对称--最短路线问题，正确地添加辅助线，转化求的长是解题的关键． 二、填空题 6．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∴． ∴践踏草坪少走的距离为． 故答案为：4． 7．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 【答案】5 【分析】根据倾斜前和倾斜后水的体积不变求出长，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 设，则， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∵， 由勾股定理得：． 8．如图，在中，，于点D，于点E．若，，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用等边对等角得到，再证明得到，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 9．如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】的周长为，其中是定值，因此周长的最小值由的最小值决定；利用对称点性质，作点关于的对称点，则，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，最后计算和的长度，相加即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 作点关于的对称点， ∵，即， ∴是线段的垂直平分线， ， 连接，交于点，此时，根据“两点之间线段最短”，，这是的最小值． 在中，，， ∴， ∴的周长为． 10．如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求出点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上和点恰好落在的中点上，两种情况进行求解，即可得出结果． 【详解】解：在长方形中，，， 当是以为底的等腰三角形时，， ∴点在的垂直平分线上， 当点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上时，如图， 则，， 由折叠可得，， 在中，， 在中，， ∴，解得， 当点恰好落在边的中点上时，如图，则， ∴； ∴当存在点使得是以为底的等腰三角形时，且． 三、解答题 11．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，求周长的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，周长的最小值为 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中作轴对称图形，轴对称的性质，熟练掌握在平面直角坐标系中作轴对称图形及轴对称的性质是关键． （1）分别作的三个顶点关于x轴的对称点，再连接三个点组成三角形即可； （2）连接，根据轴对称的性质可知，，再根据两点之间线段最短，即可求出最小值． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，点关于x轴的对称点为点，连接， 由轴对称的性质可知，， 的周长为， 当点P在线段上时，周长最小，最小值为的长， ，， ，． 周长的最小值为． 13．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】先变形等式，由非负数的性质可知：的值，再利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下：由可得， ， ，，， ，，． ， 是直角三角形． 14．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 在中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 15．综合与实践： 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为20米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升19米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出17米线 【分析】对于本题，重点掌握直角三角形的构造，进而利用勾股定理解决实际问题． （1）过点B作交于点H，对运用勾股定理求解即可； （2）设风筝沿方向再上升19米到达处，则米，再对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图：过点B作交于点H， 由题意得，在中，，米，米， 由勾股定理得（米）， 则（米）； （2）解：设风筝沿方向再上升19米到达处，则（米）， 则此时风筝线的长为（米）， （米）， 答：小明同学应该再放出17米线． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $