专题19.3 二次根式的加法与减法（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦二次根式的加法与减法，系统梳理同类二次根式的定义、加减运算“化→找→合”三步法、混合运算顺序及与乘除的区别，构建从概念到运算再到应用的学习支架，衔接二次根式化简知识，为复杂运算奠定基础。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固同类二次根式判断等核心技能，培优题型通过规律探究（如裂项相消）培养抽象能力与创新意识，压轴题型结合几何应用（如长方形绿化面积计算）发展模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题19.3 二次根式的加法与减法 知识点1：可以合并的二次根式（同类二次根式） 1.定义：将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这类二次根式叫做可以合并的二次根式（同类二次根式）。 2.核心特征： 前提是“化为最简二次根式”，如，故与是可以合并的二次根式； 与根号外的系数无关，只与被开方数有关，如与可以合并。 知识点2：二次根式的加减法则 1.运算步骤（“化→找→合”三步法）： 化：将每个二次根式化为最简二次根式； 找：找出所有可以合并的二次根式（同类二次根式）； 合：类比合并同类项，将根号外的系数相加，根指数和被开方数保持不变，即（）。 2.注意事项： 被开方数不同的最简二次根式不能合并，如无法进一步计算； 运算中涉及整式的，可将整式视为系数为整数的二次根式（被开方数为0，如），单独保留或合并。 知识点3：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算一致，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）。 2.运算依据： 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）仍然适用； 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）可简化计算，如，。 知识点4：二次根式加减与乘除的区别 运算类型 系数处理 被开方数处理 关键步骤 二次根式加减 系数相加（同类二次根式） 保持不变 先化为最简二次根式，再合并同类项 二次根式乘除 系数相乘除 相乘除 直接运算法则，结果化为最简二次根式 【基础必考题型】 【题型1】判断二次根式能否合并 1.核心知识点 同类二次根式的定义； 最简二次根式的化简方法。 2.解题方法技巧 化简为先：将所有选项化为最简二次根式； 对比判断：比较化简后各根式的被开方数，被开方数相同则可合并，反之不能。 【例题1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】28 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：A. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； B. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，化简后为整数，故与不是同类二次根式，故选项不符合题意； D. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 【题型2】二次根式的加减运算 1.核心知识点 二次根式的加减法则； 最简二次根式的化简。 2.解题方法技巧 三步运算：先化简每个二次根式，再筛选同类二次根式，最后合并系数； 注意符号：合并时保留根号外系数的正负号，非同类二次根式直接保留在结果中。 【例题2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需根据二次根式的四则运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． （2）先计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-2】.（江苏南通市市直学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的计算，整式的混合运算，解题时先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分别化简各二次根式，再算加减法； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 【变式题2-3】.（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出，的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，， ． 【题型3】利用乘法公式简化混合运算 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式在二次根式中的应用； 二次根式的化简。 2.解题方法技巧 识别结构：观察式子是否符合乘法公式结构（如符合平方差公式）； 公式简化：优先用公式计算，再化简结果，避免复杂运算。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算． 根据平方差公式去括号，按照运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·期末）计算： 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键．分别利用平方差公式、零指数幂、实数的绝对值及完全平方公式计算，再相加减即可． 【详解】解： ． 【培优高频题型】 【题型4】二次根式化简求值 1.核心知识点 二次根式的混合运算； 二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.解题方法技巧 先定范围：根据二次根式有意义的条件确定字母取值范围； 化简代数式：将代数式化为最简形式（合并同类二次根式）； 代入求值：将字母的具体值代入，计算时注意符号和运算顺序。 【例题4】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：19． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·月考）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、分式化简和二次根式的加减知识点，掌握先化简再代入求值的方法是解题的关键． 先对代数式进行因式分解和约分化简，再将已知的的值代入化简后的式子计算． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算． （1）根据数轴可得，，进而根据二次根式的化简，即可求解； （2）先计算出的值； ①根据平方差公式进行计算即可求解； ②先通分，再根据完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，，， ①， ②． 【题型5】定义新运算中的二次根式加减 1.核心知识点 二次根式的加减、混合运算； 新运算规则的理解与应用。 2.解题方法技巧 理解规则：根据题干定义的新运算（如“”），明确运算逻辑； 转化运算：将新运算转化为二次根式的常规运算（加减、乘除），再按法则计算。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键． 先化简每个根式，比较大小以确定运算规则，再计算每个“”运算的结果，最后相减即可． 【详解】解：化简根式： ， ， ， 计算：由于，根据规则， 计算：由于，根据规则， 整体计算： 故答案为：． 【变式题5-1】.（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴ ； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·吉林白城·月考）对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算、完全平方公式，首先根据新定义运算的规则，把运算转化为一般的运算，根据完全平方公式把算式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义得到方程，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 方程两边同乘 ，得 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴的解是． 【题型6】二次根式的规律探究 1.核心知识点 分母有理化； 二次根式的加减运算与规律提炼。 2.解题方法技巧 裂项转化：将每一项通过分母有理化转化为两个根式的差（如）； 抵消化简：利用“裂项相消”消去中间项，简化计算，最后整理结果。 【例题6】.（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1： 特例2： 特例3： (1) ； (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)应用运算规律计算：． 【答案】(1) (2)，见解析； (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结；运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则证明即可； （3）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 解：， 等式左边等式右边； 故答案为：； （3）解： ． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 【压轴素养题型】 【题型7】分母有理化的进阶化简与求值 1.核心知识点 分母有理化的定义（化去分母中根号的过程）； 平方差公式的应用（常见有理化因式：与、与）。 2.解题方法技巧 单根式分母：分子分母同乘分母的根式，如； 多项式分母：分子分母同乘分母的共轭根式，利用平方差公式化简，如； 求值技巧：先有理化再代入计算，或先化简代数式再整体代入。 【例题7】.（25-26七年级上·河南·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由． 【答案】(1)； (2)离数字更近，理由见解析． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解题的关键． （）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （）分别计算和与的差，利用有理化的方法比较两个差值的大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴离数字更近． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 【题型8】二次根式的整数部分与小数部分求值 1.核心知识点 无理数的估算（确定整数部分）； 二次根式的混合运算。 2.解题方法技巧 估算整数部分：通过缩放法确定二次根式的整数部分（如，则整数部分）； 表示小数部分：小数部分（）； 代入计算：将、代入代数式，结合乘法公式化简求值。 【例题8】.（24-25八年级上·陕西榆林·期中）定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的含义，二次根式的混合运算； （1）由表示不大于的最大整数，可得，结合的值称为实数的小数部分，可得的小数部分； （2）由题意得，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵用表示不大于的最大整数， ∴，的小数部分 ； （2）解：∵由题意得． ∴， ∴． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值； (3)如果的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数的估算等知识点，正确进行无理数的估算是解题的关键， （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出、，计算即可； （3）根据无理数的估算求出、，代入所求代数式，再进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：， ， 的整数部分为， ， ， 的小数部分是， ； （3）解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ，即， ． ，其中m是整数，且， ，， ， ∴的相反数为． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 【题型9】二次根式在几何图形中的应用 1.核心知识点 二次根式的混合运算； 几何图形的面积（长方形、正方形、圆环）、周长公式。 2.解题方法技巧 建模转化：根据图形关系（如绿化面积=长方形面积-正方形面积）列出含二次根式的算式； 化简计算：先运用整式运算公式展开，再代入二次根式的值，按运算法则化简； 实际验证：结合题意判断结果合理性（如长度、面积为正），必要时取近似值解决实际裁剪问题。 【例题9】.（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·周测）当开始音乐喷泉灯光秀表演时，喷泉呈一个如图所示的同心圆． (1)已知外层圆的半径为，内层圆的半径为，请求出大圆与小圆之间的圆环面积． (2)如果要给内外两层喷泉的外侧加装灯带，库房现有的灯带够吗？如果不够用，那么还需要多长的灯带（结果取整数）？ 【答案】(1) (2)现有的灯带够用，理由见解析 【分析】本题考查了圆的面积公式、周长公式及二次根式的运算，掌握圆的面积与周长的计算方法和二次根式的平方展开与合并是解题的关键． （1） 分别计算大圆和小圆的面积，再用大圆面积减去小圆面积得到圆环面积； （2） 分别计算内外两层圆的周长，求和后与比较，判断灯带是否够用． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：，， ． ， ∴现有的灯带够用． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 【题型10】二次根式最值的应用 1.核心知识点 均值不等式（，，，当且仅当时取等号）； 二次根式的非负性与化简。 2.解题方法技巧 构造模型：将所求式子转化为“”形式（、为正实数，为定值）； 套用公式：利用均值不等式求出最小值（或最大值），明确等号成立的条件； 验证取值：确保等号成立时字母取值符合题意（如正数、非负等），代入计算最终最值。 【例题10】.（24-25九年级上·湖南湘西·月考）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 【变式题10-1】.（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 易错点 1.未将二次根式化为最简二次根式就直接合并，如误将合并为； 2.混淆二次根式加减与乘除的运算规则，如误将计算为； 3.混合运算中运算顺序错误，先算加减后算乘除； 4.应用乘法公式时漏项或符号错误，如误算为； 5.忽略二次根式有意义的条件，代入使被开方数为负的字母值求值。 重点 1.掌握同类二次根式的判断方法（先化简，再看被开方数）； 2.熟练运用“化→找→合”三步法进行二次根式的加减运算； 3.掌握二次根式混合运算的顺序，能灵活运用运算律和乘法公式简化计算； 4.能解决含字母的二次根式化简求值问题，注意字母的取值范围； 5.理解并应用二次根式的规律探究题（如裂项相消）和实际情境应用题。 难点 1.分母有理化在规律探究题中的应用（如裂项相消、对偶式化简）； 2.含括号的二次根式混合运算，尤其是括号前为负号时的符号处理； 3.二次根式与数轴、几何图形、实际情境的综合应用，建立数学模型； 4.二次根式的整数部分与小数部分的估算及代入求值； 5.阅读理解型问题中，新方法的迁移应用与创新探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加法，乘法与除法运算．本题需根据二次根式的性质、加法以及乘除法运算法则，逐一判断选项运算的正确性，即可求解． 【详解】解：，故A选项错误． ∵与不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误． ∵二次根式乘法法则为（）， ∴，故C选项正确． ∵二次根式除法法则为（）， ∴，故D选项错误． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列二次根式，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． 先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式为同类二次根式，能合并，反之则不能． 【详解】解：∵ ， 对于选项A： ，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 对于选项B： ，其最简形式被开方数为2，与的被开方数不同，不能合并； 对于选项C：的被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 对于选项D： ，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 故选：B． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南永州·期末）已知长方形的长为，宽为，其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算、平方差公式的运算等，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：该长方形的面积为． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小： ． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 8．（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键； 根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算． 【详解】解：由题可知： ∴ 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．由最简二次根式可以合并可知它们是同类二次根式，被开方数相同，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并， ∴ 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根，乘方，算术平方根，再计算加减； （2）分别计算二次根式的乘除，再计算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 【答案】(1)二、 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）嘉淇的运算过程第二步出错，按照先计算乘除，再计算减法求解即可； （2）由题意得得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：他是从第二步开始出错的， ， ∴正确的结果应该是， 故答案为：二、； （2）解：若原式的计算结果为， 则， ∴ 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算．先计算括号内的加法，再计算除法得到化简结果，把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式                       当时 原式 14．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， (1)二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ． 15．（25-26九年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴的最小值为2； （2）解：， ，， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 二次根式的加法与减法 知识点1：可以合并的二次根式（同类二次根式） 1.定义：将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这类二次根式叫做可以合并的二次根式（同类二次根式）。 2.核心特征： 前提是“化为最简二次根式”，如，故与是可以合并的二次根式； 与根号外的系数无关，只与被开方数有关，如与可以合并。 知识点2：二次根式的加减法则 1.运算步骤（“化→找→合”三步法）： 化：将每个二次根式化为最简二次根式； 找：找出所有可以合并的二次根式（同类二次根式）； 合：类比合并同类项，将根号外的系数相加，根指数和被开方数保持不变，即（）。 2.注意事项： 被开方数不同的最简二次根式不能合并，如无法进一步计算； 运算中涉及整式的，可将整式视为系数为整数的二次根式（被开方数为0，如），单独保留或合并。 知识点3：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算一致，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）。 2.运算依据： 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）仍然适用； 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）可简化计算，如，。 知识点4：二次根式加减与乘除的区别 运算类型 系数处理 被开方数处理 关键步骤 二次根式加减 系数相加（同类二次根式） 保持不变 先化为最简二次根式，再合并同类项 二次根式乘除 系数相乘除 相乘除 直接运算法则，结果化为最简二次根式 【基础必考题型】 【题型1】判断二次根式能否合并 1.核心知识点 同类二次根式的定义； 最简二次根式的化简方法。 2.解题方法技巧 化简为先：将所有选项化为最简二次根式； 对比判断：比较化简后各根式的被开方数，被开方数相同则可合并，反之不能。 【例题1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【题型2】二次根式的加减运算 1.核心知识点 二次根式的加减法则； 最简二次根式的化简。 2.解题方法技巧 三步运算：先化简每个二次根式，再筛选同类二次根式，最后合并系数； 注意符号：合并时保留根号外系数的正负号，非同类二次根式直接保留在结果中。 【例题2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【变式题2-2】.（江苏南通市市直学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）计算： (1) (2) 【变式题2-3】.（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 【题型3】利用乘法公式简化混合运算 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式在二次根式中的应用； 二次根式的化简。 2.解题方法技巧 识别结构：观察式子是否符合乘法公式结构（如符合平方差公式）； 公式简化：优先用公式计算，再化简结果，避免复杂运算。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·期末）计算： 【培优高频题型】 【题型4】二次根式化简求值 1.核心知识点 二次根式的混合运算； 二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.解题方法技巧 先定范围：根据二次根式有意义的条件确定字母取值范围； 化简代数式：将代数式化为最简形式（合并同类二次根式）； 代入求值：将字母的具体值代入，计算时注意符号和运算顺序。 【例题4】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，，则代数式的值等于 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·月考）已知，，求代数式的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 【题型5】定义新运算中的二次根式加减 1.核心知识点 二次根式的加减、混合运算； 新运算规则的理解与应用。 2.解题方法技巧 理解规则：根据题干定义的新运算（如“”），明确运算逻辑； 转化运算：将新运算转化为二次根式的常规运算（加减、乘除），再按法则计算。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 【变式题5-1】.（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·吉林白城·月考）对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 【题型6】二次根式的规律探究 1.核心知识点 分母有理化； 二次根式的加减运算与规律提炼。 2.解题方法技巧 裂项转化：将每一项通过分母有理化转化为两个根式的差（如）； 抵消化简：利用“裂项相消”消去中间项，简化计算，最后整理结果。 【例题6】.（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1： 特例2： 特例3： (1) ； (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)应用运算规律计算：． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【压轴素养题型】 【题型7】分母有理化的进阶化简与求值 1.核心知识点 分母有理化的定义（化去分母中根号的过程）； 平方差公式的应用（常见有理化因式：与、与）。 2.解题方法技巧 单根式分母：分子分母同乘分母的根式，如； 多项式分母：分子分母同乘分母的共轭根式，利用平方差公式化简，如； 求值技巧：先有理化再代入计算，或先化简代数式再整体代入。 【例题7】.（25-26七年级上·河南·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【变式题7-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【题型8】二次根式的整数部分与小数部分求值 1.核心知识点 无理数的估算（确定整数部分）； 二次根式的混合运算。 2.解题方法技巧 估算整数部分：通过缩放法确定二次根式的整数部分（如，则整数部分）； 表示小数部分：小数部分（）； 代入计算：将、代入代数式，结合乘法公式化简求值。 【例题8】.（24-25八年级上·陕西榆林·期中）定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值； (3)如果的整数部分是，小数部分是，求的值． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【题型9】二次根式在几何图形中的应用 1.核心知识点 二次根式的混合运算； 几何图形的面积（长方形、正方形、圆环）、周长公式。 2.解题方法技巧 建模转化：根据图形关系（如绿化面积=长方形面积-正方形面积）列出含二次根式的算式； 化简计算：先运用整式运算公式展开，再代入二次根式的值，按运算法则化简； 实际验证：结合题意判断结果合理性（如长度、面积为正），必要时取近似值解决实际裁剪问题。 【例题9】.（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·周测）当开始音乐喷泉灯光秀表演时，喷泉呈一个如图所示的同心圆． (1)已知外层圆的半径为，内层圆的半径为，请求出大圆与小圆之间的圆环面积． (2)如果要给内外两层喷泉的外侧加装灯带，库房现有的灯带够吗？如果不够用，那么还需要多长的灯带（结果取整数）？ 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【题型10】二次根式最值的应用 1.核心知识点 均值不等式（，，，当且仅当时取等号）； 二次根式的非负性与化简。 2.解题方法技巧 构造模型：将所求式子转化为“”形式（、为正实数，为定值）； 套用公式：利用均值不等式求出最小值（或最大值），明确等号成立的条件； 验证取值：确保等号成立时字母取值符合题意（如正数、非负等），代入计算最终最值。 【例题10】.（24-25九年级上·湖南湘西·月考）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【变式题10-1】.（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 易错点 1.未将二次根式化为最简二次根式就直接合并，如误将合并为； 2.混淆二次根式加减与乘除的运算规则，如误将计算为； 3.混合运算中运算顺序错误，先算加减后算乘除； 4.应用乘法公式时漏项或符号错误，如误算为； 5.忽略二次根式有意义的条件，代入使被开方数为负的字母值求值。 重点 1.掌握同类二次根式的判断方法（先化简，再看被开方数）； 2.熟练运用“化→找→合”三步法进行二次根式的加减运算； 3.掌握二次根式混合运算的顺序，能灵活运用运算律和乘法公式简化计算； 4.能解决含字母的二次根式化简求值问题，注意字母的取值范围； 5.理解并应用二次根式的规律探究题（如裂项相消）和实际情境应用题。 难点 1.分母有理化在规律探究题中的应用（如裂项相消、对偶式化简）； 2.含括号的二次根式混合运算，尤其是括号前为负号时的符号处理； 3.二次根式与数轴、几何图形、实际情境的综合应用，建立数学模型； 4.二次根式的整数部分与小数部分的估算及代入求值； 5.阅读理解型问题中，新方法的迁移应用与创新探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列二次根式，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南永州·期末）已知长方形的长为，宽为，其面积为 ． 7．（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小： ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中 14．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， (1)二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 15．（25-26九年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $