专题01 三角形内角问题的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题01 三角形内角问题的四种考法 类型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 2．【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 3．如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，外角和定理，等积法等． （1）根据题意利用平行线性质列出等式，继而得到本题答案； （2）①利用角平分线定义得到和，再利用外角和定理表示出与，再等量代换即可得到本题答案；②按题意画图，利用条件关系可求得，继而得，再利用等积法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由题意画图如下：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 4．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)不变，2 (3)①②或4或9 【分析】（1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质和平行线的性质，得到，，进行求解即可； （3）①先求出，在用平角的定义求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不变，； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：； ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，三角形的内角和定理等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 5．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 类型二、与角平分线线有关的三角形内角和问题 1．在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由角平分线的定义易得，根据外角的性质，即可求出，代入，即可求解； （2）根据折叠及外角的性质，可得，求出，由上即可求出的度数． 【详解】（1）∵，的角平分线，交于点F， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴根据三角形外角的性质可得，； ∵， ∴， 则∠BFD的度数为； （2）∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴； 则的度数为． 2．如图1，已知一次函数分别与x轴、y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且． (1)求线段的长； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）令得，令得，用勾股定理得； （2）由得，然后利用待定系数法，即可求得答案； （3）由角平分线得，，计算，再由三角形内角和得． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∴，， ． （2）解：， ． 设直线的函数表达式为， 依题意，得， 解得， 直线的函数表达式为． （3）证明：平分， ， 平分， , ， ， ． 【点睛】考查知识点一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，求一次函数解析式，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．【问题背景】 如图，在和中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且，A为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为________°； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点F，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）360°；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，结合三角形内角和定理表示出求解，即可解题； （2）根据平行线性质和角平分线定义，推出，再结合三角形内角和定理进行代换，即可解题； （3）结合三角形外角性质得到，，再结合角平分线定义得到，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 有， ， 故答案为：； （2）， . 平分， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； （3）. 由（2）知， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 4．点D，E分别在的两边，上，，相交于点F． (1)如图1，若平分，平分． （ⅰ）已知，，求； （ⅱ）已知，求；（用含α的式子表示） (2)如图2，设，，，若与的周长相等，与的周长相等，分别求和的长．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【分析】本题考查了三角形的角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理， （1）（ⅰ）根据角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求即可； （ⅱ）先求，然后利用三角形内角和定理求即可； （2）根据与的周长相等，得，结合，消去用表示，同理根据与的周长相等可求． 【详解】解：（1）（ⅰ），，平分， ， 在中，， （ⅱ）， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， （2）与的周长相等， ， 即， ， ， ， ，解得； 与的周长相等， ， ，即， ， ， ． 5．如图，在中，的平分线交于点D，延长交于E，点分别在上，连接． (1)填空：若，则________； (2)若， ①设，且为锐角，判断的形状并加以证明； ②求证：． 【答案】(1) (2)①是直角三角形，理由见解析；②见解析． 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的性质，先求出的度数，再得出的度数，最后根据三角形内角和求出． （2）①先根据角平分线性质和三角形内角和求出与的关系，再结合已知推出，从而判断三角形形状． ②通过作辅助线延长交于，先证明，再证明，进而推出结论． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴在中，． （2）①解：是直角三角形，理由如下： 设，在中，． ∵、分别平分、， ∴，． ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵， ∴． 是直角三角形． ②证明：延长交于， ∵， ∴， 平分， ∴， ∵， 和中， ∴（）， ，， 在和中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 类型三、三角形中折叠问题 1．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 2．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 3．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 4．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 5．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 类型四、三角形外角性质综合 1．在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意可证，所以，因为，所以，即，则题目可证； （2）同（1）可证，所以，因为，，所以即； （3）证明，所以，因为，所以即，结合已知条件，则题目可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即； （2）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．当时，，解得．即可得出结果． 【详解】（1）解：①在△中，，， ， ， 在△中，， ， 故答案为：； ②在△中，；在△中，， 且，， ． 故答案为：； （2）证明：，交于点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的度数为或；理由如下： 设，则由折叠的性质得， ，， ，， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， 依题意得：， 解得：， ； 当时， 依题意得：，解得：， ； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 3．【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定和性质得出，然后根据，结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）延长交的延长线于点，首先由角平分线得到，根据全等三角形的判定和性质得出，即，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （3）解：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中，，∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∴． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A作x轴平行线． (1)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数； (2)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求K点的坐标； (3)如图2，连接，若平分，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）构造轴，利用平行线的性质求解即可； （2）先求出直线的解析式为，利用，求出，再设出直线的解析式为，得到，利用，得到，建立方程即可求解． （3）利用三角形的外角的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过D点作轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴，， 又∵m，n满足， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则：， ∴， ∴． （3）证明：在中，， ∵平分， ∴， 在中，，即：， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象与性质，涉及到了解一元一次方程、算术平方根的非负性和平行线的性质，三角形的外角等知识，解题关键是会进行面积的转化以及求一次函数的解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形内角问题的四种考法 类型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 2．【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 3．如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 4．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 5．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2) 当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 类型二、与角平分线线有关的三角形内角和问题 1．在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数． 2．如图1，已知一次函数分别与x轴、y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且． (1)求线段的长； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点求证：． 3．【问题背景】 如图，在和中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且，A为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为________°； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点F，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 4．点D，E分别在的两边，上，，相交于点F． (1)如图1，若平分，平分． （ⅰ）已知，，求； （ⅱ）已知，求；（用含α的式子表示） (2)如图2，设，，，若与的周长相等，与的周长相等，分别求和的长．（用含a，b，c的式子表示） 5．如图，在中，的平分线交于点D，延长交于E，点分别在上，连接． (1)填空：若，则________； (2)若， ①设，且为锐角，判断的形状并加以证明； ②求证：． 类型三、三角形中折叠问题 1．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 2．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 3．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 4．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 5．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    类型四、三角形外角性质综合 1．在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 2．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 3．【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 5．如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A作x轴平行线． (1)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数； (2)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求K点的坐标； (3)如图2，连接，若平分，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $