专题15正方形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题15正方形同步讲义 【题型01 证明四边形是正方形】...................................4 【题型02 理解正方形判定定理】....................................6 【题型03 添条件使四边形是正方形】................................9 【题型04 理解正方形性质】.......................................11 【题型05 根据正方形性质求角度】.................................13 【题型06 根据正方形性质求线段长】...............................16 【题型07 根据正方形性质求面积】.................................19 【题型08 正方形折叠问题】.......................................22 【题型09 由正方形性质证明】.....................................25 【题型10 由正方形性质与判定求线段长】...........................31 【题型11 由正方形性质与判定求面积】.............................37 【题型12 由正方形性质与判定证明】...............................42 【题型13 特殊平行四边形动点问题】...............................46 【解答题5题】...................................................49 ★知识梳理★ 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形与菱形的所有性质。 知识点02:正方形的性质（高频考点） 1. 边的性质 四条边都相等，对边互相平行。 几何语言：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC。 2. 角的性质 四个角都是直角（90∘）。 几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 3. 对角线的性质（核心） 两条对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 几何语言：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠BAC=∠DAC=45∘。 对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 轴对称图形：有4 条对称轴（两条对边的垂直平分线、两条对角线）。 中心对称图形：对称中心为对角线的交点。 知识点03:正方形的判定（核心方法） 1. 定义法（从平行四边形出发） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在□ABCD中，∵AB=BC，∠A=90∘，∴□ABCD是正方形。 2. 矩形法（从矩形出发） 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形。 在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形 3. 菱形法（从菱形出发） 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 在菱形 ABCD 中，∵∠A=90∘,∴菱形ABCD是正方形。 在菱形 ABCD 中，∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形。 4. 四边形直接判定 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA, ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘, ∴四边形ABCD是正方形。 在四边形ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，∵AC⊥BD, OA=OC, OB=OD, AC=BD,∴四边形ABCD是正方形。 四、正方形与特殊平行四边形的关系 ·平行四边形 → 有一个角是直角 → 矩形 → 有一组邻边相等 → 正方形 ·平行四边形 → 有一组邻边相等 → 菱形 → 有一个角是直角 → 正方形 五、常见公式与结论 若正方形边长为a，则： 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 正方形的对角线把正方形分成的等腰直角三角形，锐角均为45∘。 【题型1.证明四边形是正方形】 【典例】下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理．解题的关键熟练掌握判定定理． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动， ∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF， ∴四边形是菱形； ∵是边长为4cm的等边三角形， ∴OD=OB=2； 运动后，OE=OF=， 当OB=OE时，四边形为正方形，即，即． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质与判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3.】如图，菱形的对角线相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为．连接，已知是边长为的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【答案】3 【分析】由题意可知,即,由菱形的性质得，所以当时，四边形是正方形，而是边长为的等边三角形，则,所以据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴由得，解得， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：3． 【题型2.理解正方形判定定理】 【典例】满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形 【答案】A 【分析】根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确，符合题意； 选项，对角线互相垂直的菱形还是菱形，故选项错误，不符合题意； 选项，对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； 选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 【跟踪专练2】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练3】有一组___________相等，并且有一个角是___________的平行四边形叫做正方形． 正方形的___________个角都是直角，四条边都___________． 正方形的对角线___________，并且___________，每条对角线平分一组___________． 正方形既是___________对称图形，又是___________对称图形，有___________条对称轴． 有一组邻边相等的___________是正方形． 有一个角是直角的___________是正方形． 【答案】 邻边 直角 四 相等 相等 互相垂直平分 对角 中心 轴 四 矩形 菱形 【分析】根据正方形的定义、判定与性质：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴．有一组邻边相等的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．结合平行四边形、菱形、矩形与正方形的联系逐个填写即可得到答案． 【详解】解：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ②正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ③正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． ④正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴． ⑤有一组邻边相等的矩形是正方形． ⑥有一个角是直角的菱形是正方形． 故答案为：邻边；直角；四；相等；相等；互相垂直平分；对角；中心；轴；四；矩形；菱形． 【点睛】本题考查正方形的定义、判定与性质，熟记正方形的定义、判定与性质是解决问题的关键． 【题型3.添条件使四边形为正方形】 【典例】如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正方形的判定，根据“对角线相等的菱形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是，理由 ∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 【跟踪专练3】在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 【题型4.理解正方形性质】 【典例】图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 【跟踪专练1】将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是． 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、 ∴两个空白小正方形的边长是、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是． 故选：B 【跟踪专练3】如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形、等边三角形的性质可得，，，，则，，再求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5.根据正方形性质求角度】 【典例】如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，可得，，则，再根据等边对等角，可得，结合，即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴，， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定等知识，由四边形是正方形，得，，，然后证明，故有，然后通过等边三角形的性质可得，，从而求得，再根据三角形外角性质求得即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型6.根据正方形性质求线段长】 【典例】若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 【答案】 【分析】首先由周长求边长，再由边长用勾股定理求对角线即可． 【详解】解：正方形周长为16 边长为4 对角线 故答案为 【点睛】本题考查了正方形的性质与勾股定理的结合，熟悉正方形的性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上一动点，，，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列哪个条件（   ） A．的长 B．矩形对角线的长 C．矩形的周长 D．的长 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用正方形的性质．连接，，根据正方形的性质可得和都是等腰直角三角形，的面积等于和之和，根据三角形面积公式、勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，， ∵正方形中，为对角线上一动点， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴阴影部分的面积， ∴要知道阴影部分的面积，则只需要知道矩形对角线的长． 故选：B． 【跟踪专练2】青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 【答案】3 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积分别为45、9， ∴，，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 【题型7.根据正方形性质求面积】 【典例】已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答． 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴正方形的面积， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形性质，根据正方形性质和线段中点的定义得到，进而得到，同理可得，最后根据四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别为边，，，的中点， ∴， ， 同理可得， 四边形的面积 ， ∵正方形的面积为8，即， ∴四边形的面积， 故答案为： 4． 【跟踪专练2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是____． 【答案】32 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接AC交BD于点O，根据正方形性质及勾股定理求出，则，根据得，由三角形面积公式得，继而可得出四边形AECF的面积． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，， ，， ， ， ，， 故答案为： 【题型8.正方形折叠问题】 【典例】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，从而在∠BAC+∠DAC＝90°，从而可求解． 【详解】解：由题意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝90°， ∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠EAF∠BAC∠DAC （∠BAC+∠DAC） ＝45°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查角的计算，解答的关键是熟记折叠的性质，明确角与角之间的关系． 【跟踪专练1】如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，分母有理化．由折叠的性质知，利用等积法列式计算即可求解． 【详解】解：设点的对应点为点，连接， ∵正方形边长为1， ∴， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质．由翻折的性质得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，可得，结合计算出，从而可得． 【详解】解：由翻折的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【题型9.由正方形性质证明】 【典例】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为______． 【答案】相等且垂直 【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF． 【详解】解：AE=BF，且AE⊥BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=AB=BC，∠ADE=∠BAF=90°， ∵CE=DF，, ∴AF=DE， 在△BAF和△ADE中， ∴△BAF≌△ADE（SAS）， ∴AE=BF，, 又∵, ∴， ∴ , ∴AE⊥BF． 故答案为：相等且垂直． 【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和证明全等的方法． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H，可证四边形是正方形，可得，即可判断结论①；根据结论①可证矩形是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得，由结论②可得，由此可判断结论③；根据点E在上，当时，可判断结论④；由此即可求解． 【详解】解：①如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线，，， ∴，， ∴四边形是矩形，且，， ∴，都是等腰直角三角形，即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②由结论①正确可知，DE=EF，且四边形DEFG是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，即，且， ∵四边形是正方形， ∴，即，且， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ③∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 由结论②正确可知，， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵四边形是正方形，是对角线，点E是上的点， ∴当时，点F于点C重合， ∴与不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③共3个， 故选：C． 【跟踪专练2.】如图，正方形的顶点C是线段的中点，过点B作于点，连接，若，正方形的面积为17，则_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．过点作，交的延长线于点，设，则，在中，由勾股定理求出，得到，，再证明，得到，，，最后在中，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵点是的中点， ∴设其中， ∴ ∵， ∴， ∵正方形的面积为17， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 【题型10.由正方形性质与判定求线段长】 【典例】如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，，作交于F，则____________． . 【答案】 【分析】连接AF，由正方形的性质和已知条件证明Rt△ABF≌Rt△AEF全等即可得到BF＝EF，再根据等腰三角形的判定得出EC＝EF．设未知数列方程即可求解． 【详解】连接AF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠AEF＝90°，∠ACB＝∠EFC＝45°， 在Rt△ABF和Rt△AEF中， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF． ∵EF⊥AC， ∴∠ACB＝∠EFC＝45°， ∴EC＝EF． 设BF为x，则CF为(1-x)， ∵, ∴， 解得，，（舍去） ； 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质和直角三角形全等判定和性质以及勾股定理，解题关键是根据相关性质得出线段之间的关系，利用勾股定理列方程． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【题型11.由正方形性质与判定求面积】 【典例】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4． 【详解】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F， ∵∠ABC=90°，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠FCD+∠BCD=180°， ∴∠A=∠FCD， 又∠AED=∠F=90°，AD=DC， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴DE=DF， ∴四边形DEBF为正方形， S四边形ABCD=S正方形DEBF=16， ∴DE=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据正方形的性质可得DH=OH=1，根据勾股定理可求CF，AD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，A，O，E共线， ∴∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE==2， ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H， 四边形DOFE为正方形 ， OH=DH=OE=1， ∠GOF=45°， 则FG=1， ∴CF===， AD===， 即CD=AD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×CO×GF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度． 【跟踪专练2】如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【题型12.由正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___． 【答案】 【分析】根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积． 【详解】四边形是正方形， ，， 是∠DCE的平分线， ， ， ， 正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 【跟踪专练2】如图所示，在梯形ABCD中，，，，，若，则的长为_______． 【答案】4或6/6或4 【分析】过B作的垂线交的延长线于M，M为垂足，延长到G，使，连接．求证，，设，在直角中，根据求x的值，可以求的长度． 【详解】过B作的垂线交的延长线于M，M为垂足， 延长到G，使，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， ∴， 则与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， 在中，， ∴， 即； 解得：． ∴故的长为4或6． 故答案为：4或6． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求即是解题的关键． 【跟踪专练3】如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： 四边形为正方形，为对角线， ，，， ， ， 的周长， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 矩形为正方形， ， ， 的周长， ∵， 的周长， 故选：A． 【题型13.特殊平行四边形动点问题】 【典例】如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动．______秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 【跟踪专练1】1.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得PD=CQ，列出方程可求解． 【详解】解：∵四边形PDCQ为矩形， ∴PD＝CQ， ∴6﹣2t＝t， ∴t＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的性质，找到正确的数量关系列出方程式解题的关键． 【跟踪专练2】已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为______．    【答案】1或或 【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可． 【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 则有：或或， 解得或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 【解答题】 1．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 3．△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 【答案】(1)8 (2)14； (3) 【分析】（1）利用正方形与等腰直角三角形的对称性求出与的长，从而可得平移距离； （2）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可； （3）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由正方形与等腰直角三角形的对称性可知， ， 当平移的距离时，正方形恰好完全移出三角板． （2）解：当时，； 当时，． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了求正方形重叠部分面积，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】100平方厘米 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于正方形的面积． 过作于，求出四边形是矩形，求出，根据证，得出的面积等于的面积，，求出四边形的面积等于正方形的面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ∴的面积等于的面积，， ∴矩形是正方形， ∴四边形的面积． 5．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15正方形同步讲义 【题型01 证明四边形是正方形】....................................3 【题型02 理解正方形判定定理】....................................5 【题型03 添条件使四边形是正方形】................................5 【题型04 理解正方形性质】........................................6 【题型05 根据正方形性质求角度】..................................7 【题型06 根据正方形性质求线段长】................................8 【题型07 根据正方形性质求面积】..................................9 【题型08 正方形折叠问题】........................................9 【题型09 由正方形性质证明】.....................................10 【题型10 由正方形性质与判定求线段长】...........................11 【题型11 由正方形性质与判定求面积】.............................12 【题型12 由正方形性质与判定证明】...............................13 【题型13 特殊平行四边形动点问题】...............................14 【解答题5题】...................................................15 ★知识梳理★ 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形与菱形的所有性质。 知识点02:正方形的性质（高频考点） 1. 边的性质 四条边都相等，对边互相平行。 几何语言：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC。 2. 角的性质 四个角都是直角（90∘）。 几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90∘。 3. 对角线的性质（核心） 两条对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 几何语言：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠BAC=∠DAC=45∘。 对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 轴对称图形：有4 条对称轴（两条对边的垂直平分线、两条对角线）。 中心对称图形：对称中心为对角线的交点。 知识点03:正方形的判定（核心方法） 1. 定义法（从平行四边形出发） 几何语言：在□ABCD中，∵AB=BC，∠A=90∘，∴□ABCD是正方形。 2. 矩形法（从矩形出发） 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形。 在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形 3. 菱形法（从菱形出发） 在菱形 ABCD 中，∵∠A=90∘,∴菱形ABCD是正方形。 在菱形 ABCD 中，∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形。 4. 四边形直接判定 在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA, ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘, ∴四边形ABCD是正方形。 在四边形ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，∵AC⊥BD, OA=OC, OB=OD, AC=BD,∴四边形ABCD是正方形。 四、正方形与特殊平行四边形的关系 ·平行四边形 → 有一个角是直角 → 矩形 → 有一组邻边相等 → 正方形 ·平行四边形 → 有一组邻边相等 → 菱形 → 有一个角是直角 → 正方形 五、常见公式与结论 若正方形边长为a，则： 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 正方形的对角线把正方形分成的等腰直角三角形，锐角均为45∘。 【题型1.证明四边形是正方形】 【典例】下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【跟踪专练3.】如图，菱形的对角线相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为．连接，已知是边长为的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【题型2.理解正方形判定定理】 【典例】满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形 【跟踪专练1】如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 【跟踪专练2】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【跟踪专练3】有一组___________相等，并且有一个角是___________的平行四边形叫做正方形． 正方形的___________个角都是直角，四条边都___________． 正方形的对角线___________，并且___________，每条对角线平分一组___________． 正方形既是___________对称图形，又是___________对称图形，有___________条对称轴． 有一组邻边相等的___________是正方形． 有一个角是直角的___________是正方形． 【题型3.添条件使四边形为正方形】 【典例】如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【跟踪专练1】如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【跟踪专练3】在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【题型4.理解正方形性质】 【典例】图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则__________． 【题型5.根据正方形性质求角度】 【典例】如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数______． 【跟踪专练1】如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6.根据正方形性质求线段长】 【典例】若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上一动点，，，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列哪个条件（   ） A．的长 B．矩形对角线的长 C．矩形的周长 D．的长 【跟踪专练2】青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【题型7.根据正方形性质求面积】 【典例】已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【跟踪专练2】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是____． 【题型8.正方形折叠问题】 【典例】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【跟踪专练1】如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 【跟踪专练2】如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________． 【题型9.由正方形性质证明】 【典例】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2.】如图，正方形的顶点C是线段的中点，过点B作于点，连接，若，正方形的面积为17，则_______． 【跟踪专练3】如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【题型10.由正方形性质与判定求线段长】 【典例】如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，，作交于F，则____________． . 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【题型11.由正方形性质与判定求面积】 【典例】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为_____． 【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【跟踪专练3】．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型12.由正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【跟踪专练2】如图所示，在梯形ABCD中，，，，，若，则的长为_______． 【跟踪专练3】如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 【题型13.特殊平行四边形动点问题】 【典例】如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动．______秒时四边形是平行四边形？    【跟踪专练1】1.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为______．    【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【解答题】 1．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 2．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 3．△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 4．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 5．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $