精品解析：广东广州市第二中学2025学年第二学期第一阶段学情反馈九年级 数学试卷

广州市第二中学2025学年第二学期第一阶段学情反馈 初三年级 数学试卷（满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，，相交于点O，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于圆O， ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（ ） A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 9. 如图，二次函数 的图象经过点A，B，C．下面推断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 直线经过点A，C，当时，x的取值范围是 D. 当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 12. 近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与 是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为_____ ． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________ ． 15. 如图，四边形是正方形，E为上一点，将 绕点A顺时针旋转 至，连接，于点H，交于点G．若 ，，则的长为________． 16. 如图，在 中，，，将射线 绕点C顺时针旋转 到，在射线上取一点D，连接，使得面积为12，连接，则的最大值是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： ． 18. 如图，已知点O和．请在网格中画图： （1）画出，使与关于点O成中心对称； （2）把绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后对应的． 19. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”、“秋”、“冬”图案的不透明卡片（分别记为卡片A、卡片B、卡片C、卡片D）．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”季节的概率是______； （2）从中随机抽取两张不同的卡片，请你用树状图或列表法求抽出的两张卡片中包含“春”季节的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， （2）若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 22. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作出的角平分线，与边交于点O，以O为圆心，为半径作 ，与交点为D． （2）在（1）所作图形中； ①试判断 与直线的位置关系，并说明理由； ②若， ，求的长． 23. 根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口 米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知某函数的图象G由抛物线（y轴左侧的部分）与抛物线（y轴右侧部分）组合而成，此函数的函数表达式，也可以表示为，点A、B均在此函数图象上，横坐标分别为m，． （1）当时，求点A与点B纵坐标的差； （2）当 时，连接，过线段的中点P作垂直于y轴的直线l，当直线l与该函数的图象G有三个交点时，请画出图象，并结合图象，求m的取值范围； （3）当时，函数图象G在时，有最高点和最低点，把最高点和最低点纵坐标的差记作，若，求m的取值范围． 25. 【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性． 纸是我们常见的矩形打印纸，将 纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为 纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形 矩形；将 纸类似的对折，得到与之相似的 纸……， 纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设 ，则 纸的宽______（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接，过点E作 交于点G． 证明：点G为边的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2025学年第二学期第一阶段学情反馈 初三年级 数学试卷（满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 3. 在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设总颗数为，根据题意得，解方程即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】解：设总颗数为， ∵摸到红色玻璃珠的频率稳定在， ∴ ， 解得， ∴估计布袋里玻璃珠的总颗数为， 故选：． 4. 如图，在四边形中，，，相交于点O，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 ，解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 即． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∴， ∴． 故选：D 6. 如图，四边形内接于圆O， ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ， ∵ ， ∴， 由圆周角定理得，． 7. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 8. 某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（ ） A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得： ． 则桥拱半径为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 9. 如图，二次函数 的图象经过点A，B，C．下面推断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 直线经过点A，C，当时，x的取值范围是 D. 当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】解：如图， A．由图可知抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； B．当时，取最大值，则点A和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，故B错误，不符合题意； C．观察图象得：当时，x的取值范围是或，故C错误，不符合题意； D．观察图象得：二次函数 有最大值，且最大值大于4，则当时，二次函数 的图象与直线有两个交点，即当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故D正确，符合题意． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为 ， 点横坐标为 ，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】 ##60度 【解析】 【分析】本题考查求正多边形的中心角．根据正n边形中心角的公式直接求解即可． 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角． 故答案为： ． 12. 近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设月平均增长率为 ，十二月份的件数为，然后列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为 ． 根据题意可列方程为． 【点睛】增长率问题可用公式列方程求解． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与 是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似三角形的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与 是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 【解答】解：设该圆锥的母线长为l． 由题意，得． ∴（cm）， ∴． 故答案为：． 15. 如图，四边形是正方形，E为上一点，将 绕点A顺时针旋转 至，连接，于点H，交于点G．若 ，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转知，则和 ，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴， ，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵ ，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵ ， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 16. 如图，在 中，，，将射线绕点C顺时针旋转 到，在射线上取一点D，连接，使得面积为12，连接，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先整理得，过点C向上作线段 ，使得，则，结合整理得 ，证明，即，运用定角定弦，故点D在以为直径的圆上，由，可得当点三点共线时，且点在延长线上，取得最大值，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转 到，在射线1上取一点D，连接， ∴ ∵面积为12， ∴ ∴， 过点C向上作线段 ，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径， 连接， ∵， ∴当点三点共线时，且点在延长线上，取得最大值， ∵ ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： ． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得， ． 18. 如图，已知点O和．请在网格中画图： （1）画出，使与关于点O成中心对称； （2）把绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后对应的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点绕点按顺时针旋转 所得的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，△即为所求． ． 19. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”、“秋”、“冬”图案的不透明卡片（分别记为卡片A、卡片B、卡片C、卡片D）．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”季节的概率是______； （2）从中随机抽取两张不同的卡片，请你用树状图或列表法求抽出的两张卡片中包含“春”季节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是； 【小问2详解】 解：画出树状图为： 所有等可能发生的情况共12种，其中抽出的两张卡片中包含“春”季节的情况共6种， 所以两张卡片包含“春”季节的概率． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， （2）若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式 ，通过配方判断 恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，点C的坐标为 （2）或 （3）6 【解析】 【分析】（1）先把点，B的坐标代入反比例函数解析式，可得点A，B的坐标，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可； （3）利用，确定底和高后计算即可． 【小问1详解】 解：把点，代入反比例函数得：，， ∴， ∴点，， 把点，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可得不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：∵点，，， 则 ． 22. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作出的角平分线，与边交于点O，以O为圆心，为半径作，与交点为D． （2）在（1）所作图形中； ①试判断与直线的位置关系，并说明理由； ②若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①与直线相切，理由见解析；②2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，切线长定理，勾股定理： （1）根据题意画出图形，即可； （2）①过点O作 于点E，根据角平分线的性质可得 ，即可解答；②设的半径为r，则，根据切线长定理可得 ， 在 中，利用勾股定理求出，可得在中，求出 ，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：①与直线相切，理由如下： 如图，过点O作 于点E， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵为半径， ∴与直线相切； ②设的半径为r，则， ∵ ，为半径， ∴与相切， ∵与直线相切， ∴ ， ∵ ， ∴， 在 中，， ∴， 在中，， ∴， 解得： ， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口 米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵矩形， 米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入即可求解； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线 ， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6米得到的， 当时， 解得 ， （舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知某函数的图象G由抛物线（y轴左侧的部分）与抛物线（y轴右侧部分）组合而成，此函数的函数表达式，也可以表示为，点A、B均在此函数图象上，横坐标分别为m，． （1）当时，求点A与点B纵坐标的差； （2）当 时，连接，过线段的中点P作垂直于y轴的直线l，当直线l与该函数的图象G有三个交点时，请画出图象，并结合图象，求m的取值范围； （3）当时，函数图象G在时，有最高点和最低点，把最高点和最低点纵坐标的差记作，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式求得函数值，最后作差即可： （2）根据的正负分情况讨论中点纵坐标的取值范围即可； （3）分类讨论，结合图象找到不同情况下对应的点的位置，逐一分析是否符合题目要求，即可找到取值范围． 【小问1详解】 解：把代入，得，， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：当时； ∴， ∵过线段的中点作轴的垂线， ∴， 由图可知，当时；图象最高点为， 当时：图象最低点为， ∴当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴ 由图可知，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， ∴解得：， ∴， 综上所述：当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，或； 【小问3详解】 解：当时，点纵坐标大于小于0，点纵坐标小于大于， 此时，最高点为点，最低点为点，由函数图象知最高点和最低点纵坐标的差小于5； 当时，最高点为点，最低点为，点纵坐标小于1， ∴； 当时，最高点为，最低点为， ∴； 当点纵坐标为1时，，解得， ∴的值为； 当时，最高点为，最低点为， ∴； 当点纵坐标为时，，解得， ∴的值为； 当时，最高点为点，最低点为， ∴； 当时，最高点为点，最低点为点，此时； 综上，当时，． 25. 【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性． 纸是我们常见的矩形打印纸，将 纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为 纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形 矩形；将 纸类似的对折，得到与之相似的 纸……， 纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设 ，则 纸的宽______（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接，过点E作 交于点G． 证明：点G为边的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求 的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴点G为边的中点； （3）① ， ；② 的最小值为 ． 【解析】 【分析】（1）设 ．利用矩形的性质得出 ， ，再根据矩形 矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出 ，进一步可得出答案； （2）根据矩形的性质以及直角三角形两锐角互余结合相似三角形的判定方法证明 ，由相似三角形的性质得出，得出，进一步可说明点G为边的中点； （3）①设 ，在 中，，构建方程求出y，再证明 ，再得出 ，根据相似三角形的性质可得出答案； ②取的中点，连接，证明 ，求得 ，当 三点共线时， 取得最小值，最小值为的长，即 取得最小值，最小值为 ，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设 ． ∵ ，矩形 矩形， ∴ ， ，， 即， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①连接交于点O，如下图： 由翻折变换的性质可知 ， ， 设 ， 在 中，， 即， 解得：， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ； ②取的中点，连接， 由折叠的性质知 ， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴，即 ， ∴， ∴当 三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 即 取得最小值，最小值为 ， ∵ ， ∴ 的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $