精品解析：北京第六十五中学2025-2026学年度第二学期开学学情自测初三数学试卷

北京市第六十五中学2025-2026学年度第二学期开学达标测试题 初三数学试卷 考试时间120分钟 满分100分 一、本部分共8题，每题2分，共16分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 6. 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，，O是 边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交， 于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线 同侧； （3）作直线，交 于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线分别交函数图象于点 ， ，则以点 ， ， 为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每题2分，合计16分） 9. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 10. 使分式有意义的的取值范围是________． 11. 如图，已知，其中，，则与 的面积比为______． 12. 如图，小树 在路灯 的照射下形成影子 ．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 14. 如图，在中， 切于点 ，连接交于点，过点 作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点 、 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线 的函数表达式是__________． 16. 如图，菱形 中，，点E是 边上的点，，，点F是 上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线 上运动时，线段的最小值是_____ 三、解答题（17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分，合计68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在 中，，，，求的长． 21. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 22. 如图，在四边形 中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求的长． 23. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 24. 如图，是的直径， 是弦，是的中点，与交于点， 是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点 ，连接．若，，求的长． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴 ．小华将液滴 的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴 边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴 距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴 的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴 与液滴 “明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 27. 已知，在 中， ，，点是 上一点，将 绕点 逆时针旋转得到 ，过点作 的垂线，分别交延长线于点 ， 于点 ． （1）如图，点与点重合，点 与点 重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于外的点P和弦 ，给出如下定义：若弦 上存在一点Q，使，则称点P是弦 关于的关联点，如果点C为上一点，则称是弦 关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点________是弦 关于的“关联点”； ②若是弦 关于的“关联角”，，当最大时，则________； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦 关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第六十五中学2025-2026学年度第二学期开学达标测试题 初三数学试卷 考试时间120分钟 满分100分 一、本部分共8题，每题2分，共16分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，它等于原数的整数数位与1的差；据此即可求解． 【详解】解：； 故选：B． 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到判别式等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 6. 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：B． 7. 如图，在 中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 二、填空题（每题2分，合计16分） 9. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项． 【详解】解：设二次函数为，由开口向上得 ，由过点得， 取 ，，即函数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 使分式有意义的 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求 的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 11. 如图，已知，其中，，则与 的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴小树高度． 故答案为：8． 13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 14. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交 、 轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交 轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式. 【详解】因为一次函数的图像分别交 、 轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是． 【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 16. 如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结 ．当点F在直线上运动时，线段 的最小值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．过点 作，则点四点共圆，从而得到，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：过点 作于点，作于点 ，作于点， ， 点四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分，合计68分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先化简各式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握负整数指数幂的法则，实数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】先做括号内的减法，确定最简公分母进行通分，做除法时把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后代值进行二次根式化简计算． 【详解】解：原式= 当时， 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 如图，在 中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作 ，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，得出，由勾股定理得，，解方程即可求解． 【详解】解：过点作 ，垂足为． 在中，，， ， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得，， 解得 或（舍去）， 21. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【解析】 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，点E在对角线 的延长线上，， 交于点O，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，得到，即可得得证； （2）过点作，利用正切值和勾股定理求出的长，三线合一求出 的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作与点 ， 在中，， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质．熟练掌握矩形的判定方法，以及正切的定义，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 23. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分 组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第 组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出 的值； （3）下面五个结论中，① 的值一定在这一组；② 的值可能在这一组；③ 的值可能在这一组；④ 的值不可能在这一组；⑤ 的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】（1） 补全统计图如下； （2） （3）③⑤ （4）件 【解析】 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第3组的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴ 的值为； 【小问3详解】 解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴ 的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． 【小问4详解】 解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点 ， 是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点 ，连接 ．若，，求 的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过 作，垂足为 ．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过 作，垂足为 ． ∵是的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵ 为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离 （单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用及解一元二次方程，无理数比较大小，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）当，，分别求出对应的x值，进而可得和的值，再比较即可． 【小问1详解】 解：将 代入得： ， ， ， 将 代入得：， 液滴距离圆心处的沉积厚度为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， 当，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， ∵，， ∴，即， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解； （3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）由抛物线，可知． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）∵抛物线与y轴交于点A， 令x=0，y=1 ∴点A的坐标为． ∵点B是点A关于直线的对称点， ∴点B的坐标为． （3）∵点A ，点B ，点 P，点Q， ∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上． ①当时，，点Q在点A的右侧． （i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点； （ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点 ②当时，，点Q在点B的左侧． （i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点； （ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解． 27. 已知，在 中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点 作的垂线，分别交 延长线于点 ，于点 ． （1）如图，点与点重合，点 与点重合，求证：； （2）如图 ，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． （1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定（），证明对应边相等； （2）先通过“”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线垂线的条件，用“”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ，证明如下： 如图，连接 ， 由题意知，，， 在中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于外的点P和弦 ，给出如下定义：若弦 上存在一点Q，使，则称点P是弦 关于的关联点，如果点C为上一点，则称是弦 关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点________是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则________； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①；②2 （2）或 【解析】 【分析】（1）①先作出与直线平行的边界直线，判断点是否在两条平行线之间及直线上，且在外，从而确定“关联点”；②作平行于且距离为的直线，当与相切时，最大，利用勾股定理求解； （2）根据“关联角”，确定点的轨迹，再结合直线与该轨迹有交点，求解的取值范围． 【小问1详解】 ①如图，由题意知，分别作直线和， 在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点符合题意， 是弦关于的“关联点”； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点在上角度会更大， 在上任取一点，作，且， 此时当与相切时，有最大， ，， 过点作， ， 当点往方向运动时，点也会随之向左运动， 此时的值减小，的值增大，的值增大， 的值在减小， 当点落在时，最小，此时最小， 最大， 设，则， 关于点对称， ， ，， 在中，由勾股定理得，； 【小问2详解】 解：如图，设是垂直于 轴的弦， 分别过点、作轴与轴交点 ，， 此时若点在上，可无限接近于， 则当最大时，与相切， 当点无限接近于时，的最大值超过， 点越靠近时，相切状态的的值会越大， 当点落在点时，， 此时越大时，的值越小， ， 如图，延长交 轴于点 ， 此时， ， 在中，， ， ， 当越大时，点到 轴距离越大， 当时，，此时， 点的轨迹即满足， 如图，作以点为圆心，为半径的， 当过点，时，； 过点，时，， 当与半径为的相切时，， 的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $