第5章特殊平行四边形单元综合测试卷 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第5章特殊平行四边形单元综合测试卷 考试时间：90 分钟满分：120 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列说法中，正确的有（    ） ①平行四边形和矩形都是中心对称图形； ②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③矩形是轴对称图形，连接两组对边中点的线段是它的对称轴； ④矩形具有平行四边形的所有性质． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】平行四边形和矩形都是中心对称图形，①说法正确； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，②说法正确； ∵对称轴是直线，而连接两组对边中点的线段是线段，不是直线， ∴③说法错误； 矩形具有平行四边形的所有性质，④说法正确. 综上，正确的说法有①②④，共3个． 【点睛】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合；矩形是特殊的平行四边形． 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长即可． 【详解】解：∵，， ∴两对角线的一半分别为，， 由勾股定理得，边长， 故选：A． 5．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 7．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 8．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 9．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 13．如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】24 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 14．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，连接，，．若，的周长为，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 在延长线上截取，连接，证明，，对应边相等，根据的周长可得正方形的边长，设，根据勾股定理列方程求解即可得的长． 【详解】解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 15．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是______．    【答案】①②④⑤ 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M，    ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①④正确； 在与中，， ∴， ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 故正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 16．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键． 先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】 AIAI 如图，连接 四边形是矩形 ， ∵ 如图，作B点关于A点的对称点，连接 ， 的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． 18．（8 分）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． 19．（8 分）如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 20．（8 分）如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 21．（8 分）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点与重合，折痕，若长方形的长为，宽为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．设，则，在中利用勾股定理求出的值，过点作于，则四边形是长方形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 由图形翻折变换的性质可知，，， ∴， ∴， ∴． 过点作于，则四边形是长方形， ∴,, ∴， ∴在中，由勾股定理得 ． 22．（10 分）如图①，已知正方形和正方形，点在的延长线上，点在边上． (1)求证：； (2)现将正方形绕点按顺时针方向旋转，当正方形旋转至图②的位置时，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，利用即可得证； （2）证明，得到，推出，即可． 【详解】（1）证明：在正方形和正方形中， ，，． 在和中， ． （2）证明：， ， ． 又，， ， ． ， ， ． 23．（10 分）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 24．（10 分）如图，正方形的边长为12，菱形的三个顶点分别在正方形的边上，且，连接． (1)当时，求的度数； (2)设，用含的代数式表示的面积； (3)判断的面积能否等于4，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能．理由见解析 【分析】（1）由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，而，易证，从而有，等量代换可得，即可解决问题； （2）欲表示的面积，由已知表示的长易求，只需求出边的高即可； （3）不能．求出AE长度与正方形边长比较，推出点E不在正方形的边AB上，不合题意. 【详解】（1）解：四边形是正方形，． 四边形是菱形，． 又，， ． ，， ． （2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接． ． ， ． 在和中， ． ，，． （3）解：不能．理由如下： 当的面积等于4时，结合（2）可得，解得，即， ， ， 此时点不在正方形的边上，与题意不符， 的面积不能等于4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章特殊平行四边形单元综合测试卷 考试时间：90 分钟满分：120 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列说法中，正确的有（    ） ①平行四边形和矩形都是中心对称图形； ②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③矩形是轴对称图形，连接两组对边中点的线段是它的对称轴； ④矩形具有平行四边形的所有性质． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 8．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 12．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 13．如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 14．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，连接，，．若，的周长为，，则的长为______． 15．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是______．    16．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 18．（8 分）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 19．（8 分）如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 20．（8 分）如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 21．（8 分）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点与重合，折痕，若长方形的长为，宽为，求的长． 22．（10 分）如图①，已知正方形和正方形，点在的延长线上，点在边上． (1)求证：； (2)现将正方形绕点按顺时针方向旋转，当正方形旋转至图②的位置时，分别交，于点，．求证：． 23．（10 分）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 24．（10 分）如图，正方形的边长为12，菱形的三个顶点分别在正方形的边上，且，连接． (1)当时，求的度数； (2)设，用含的代数式表示的面积； (3)判断的面积能否等于4，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $