专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学讲义通过分类模型框架图系统梳理了特殊平行四边形中的最值问题，涵盖将军饮马（双线段和、差及多线段和）、遛马、造桥模型，明确各模型的条件、转化方法及图形表征，突出轴对称、平移等核心思想与特殊平行四边形性质的内在联系。 讲义亮点在于“模型-真题-应用”的递进设计，以“将军饮马”历史典故引入，精选中考真题和期中期末题，如正方形中双线段和最小值、菱形中周长最小值等例题，引导学生通过几何直观转化问题，培养推理意识和模型观念，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

专题03 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25九年级上·福建三明·月考）如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 例2（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 例3（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 例4（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为___________． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）“将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．            【模型应用】 (1)问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． (2)问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． (3)问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 例3（2021·新疆·二模）如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 例4（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 例5（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（25-26八年级下·河南·期中）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，点、在上．且满足，则四边形周长的最小值为（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 例2（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 例3（山东省德州市天衢新区2026年九年级第二次练兵考试数学试题）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 例4（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 例5（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，点是边上一动点，作射线，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点，连接，当的周长最大值时，则的长为____． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 例2（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 例3（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 例4（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 例5（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，E为的中点，点P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为______． 1．（2026·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形 中，，，动点 满足 则点 到， 两点距离之和 的最小值为（    ） A． B． C． D．6 3．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，菱形的周长为是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是__________． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 9．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的边长为2，E是的中点，F，G是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为__________． 0．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 12．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，，点在边上，，连接，点，在线段上运动（点在点上侧），且，连接、，则的最小值为_____． 13．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，是面积为6的正方形的对角线，点E在正方形内，连接、、是等边三角形，在对角线上有一点P，连接、，则的最小值为______． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 15．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 16．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，O为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，则的最小值是_____． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 18．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点是的中点，点在边上运动，点在对角线上运动，且．若当时，则_____；在运动过程中，的最小值为_____． 20．（25-26八年级下·山东日照·期中）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】 (3)应用数形结合思想，求的最大值． 21．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 22．（25-26八年级下·广东汕头·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示______，用含n的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示） ②已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 23．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 24．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，已知正方形边长为4，点为边上一点（不与、重合），连接，将沿折叠得到，延长交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图2，若直线与直线交于点，作，垂足为，交于点，求证：； (3)若，边有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，求的最小值． 25．（2026·陕西咸阳·一模）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25九年级上·福建三明·月考）如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键. 由于点B与D关于对称，所以连接，设与交于点，连接，此时最小，直角中，利用勾股定理即可得出结果. 【详解】解：如图，连接，设与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴是最小. 即P在与的交点上时，最小，即为的长度. ∴直角中，，， ∴. 故选：B. 例2（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点关于的对称点，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键． 根据题意，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点，根据三角形三边数量关系可得，，根据点到直线垂线段最短可得，，则有当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小，根据折叠的性质，勾股定理，等面积法可得的值，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点， ∵对称， ∴， ∴， 根据三角形三边数量关系可得，， 根据点到直线垂线段最短可得，， ∴当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C ． 例3（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 【答案】5 【分析】要解决的最小值问题，需利用轴对称（反射法）将折线转化为直线段．结合正方形的性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性），找到点关于的对称点，则，因此．根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，最小值为到的垂直距离（或对应线段长度）． 【详解】正方形的对角线． 设正方形边长为， 由勾股定理（正方形邻边相等，）， 得：， 整理得：， 解得：， 即正方形边长为， 是的平分线，． 作点关于的对称点，则是的垂直平分线， ． ， 根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，的最小值为到的距离（或对应线段长度）． ∵,， ,由勾股定理得：， 设代入得：， 解得（负值舍去）， 即， 的最小值为5． 故答案为：． 【点睛】本题核心是利用轴对称（反射法）将折线距离转化为直线距离，结合正方形的对角线性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性）简化问题．关键步骤是找到对称点，将转化为两点间的线段长度，再利用正方形的几何特征确定最小值． 例4（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，． 的长度固定， 要使的周长最小，只需要的长度最小即可． 四边形是菱形， 与互相垂直平分， ， 的最小长度为的长，此时点P与点重合． 菱形的周长为8，为的中点，， ，， 是等边三角形， ，，， ∴， 的最小周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）“将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．            【模型应用】 (1)问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． (2)问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． (3)问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米 (2) (3)作图见解析，的最小值 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点P，过点作并交于点，根据矩形的性质分别求出米，米，，根据勾股定理求出，得到，即可求解； （2）连接，设与交于点，得出最小，即在与的交点上时，最小，为的长度，再由勾股定理可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，利用对称的性质得到，则，的值最小；点关于轴对称的点的坐标为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：作点关于直线的对称点，连接，过点作并交于点， ∴米， 在中，米， 米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ∴， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 利用对称的性质得到， 则，的值最小； 点关于轴对称的点的坐标为， 的最小值． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 例3（2021·新疆·二模）如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，根据待定系数法求得直线PD解析式，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴AC垂直平分OB，直线l为y=-x+6， ∴点E关于直线l的对称点在OB上， ∵，B（6,6）， ∴， ∴（1,1）， 连接，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，如图， 设直线PD解析式为：y=kx+b， 将D（4，-1），（1,1）代入解析式得： ， 解得， ∴直线PD解析式为：， 解，得， ∴当的值最大时，P点的坐标为（13，-7）， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型． 例4（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 【答案】 【分析】分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称， 连接 取点A关于的对称点，连接 在中， 由三角形三边关系可得：， ，， ， 当P、、在同一直线上时， 有最大值 连接交于点O， ，， ∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为． 例5（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，结合轴对称性质得到点与点重合时，有最大值，最大值即为的长，利用菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，再结合，等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接， ，当三点共线，即点与点重合时，有最大值，最大值即为的长． 在菱形中，， 为等边三角形， ， 点为的中点， ． ， ， ，． ，， 为等边三角形， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（25-26八年级下·河南·期中）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，点、在上．且满足，则四边形周长的最小值为（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】先说明当最小时，四边形的周长最小．如图，在上取，连接交于点，连接，利用矩形的性质可证明四边形是平行四边形，即；再利用垂直平分线的性质、线段的和差可得的最小值为，最后利用勾股定理以及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小． 如图，在上取，连接交于点，连接， ∵、分别是、的中点，四边形是矩形， ∴， ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ， ， ∴， ∴当三点共线时，即的最小值为， ∵ ∴四边形周长的最小值为． 例2（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 例3（山东省德州市天衢新区2026年九年级第二次练兵考试数学试题）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成“将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为6的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于点、，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴． 例4（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 例5（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，点是边上一动点，作射线，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点，连接，当的周长最大值时，则的长为____． 【答案】 【分析】如图，连接，设与的交点为，由点关于射线的对称点为点，证明，，证明是等边三角形，可得，当重合时，最大，最大，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，，而， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当重合时，最大，最大，如图， 此时：， ∴，． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为． 例2（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 例3（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 例4（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 例5（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，E为的中点，点P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，为定值，可得最小时，四边形周长最小，在上取一点F，使，作点E关于的对称点G，连接，交于Q，则取得最小值，求得的长即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点B在原点， ∴，即轴，轴， ∵点D的坐标为， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当最小时，四边形周长最小， 如图，在上取一点F，使，作点E关于的对称点G，连接，交于Q，此时取得最小值， ∵， ∴， 由对称可得，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的最小值为， ∴四边形周长最小为． 1．（2026·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标为，作点关于的对称点，则，将向左平移个单位，则点的对应点的坐标为，点的对应点为，根据两点之间线段最短得当四点在同一条直线上时，的最小值为的长，求出的长即可． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图： ∵矩形ABCD中，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，即， 作点关于的对称点，则， 设点， ∵， ∴， 将向左平移个单位，则点的对应点的坐标为，点的对应点为， 则：， 当四点在同一条直线上时，的最小值为的长， 而， ∴的最小值为． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形 中，，，动点 满足 则点 到， 两点距离之和 的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】解：设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是的直线上， 如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．    在中，，， ， 即的最小值为． 3．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】推出当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度．再利用矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形是矩形，，， 四边形和四边形是矩形． ，． 的最小值即为的最小值． 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度． 四边形是矩形，，， ． 的最小值为． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 6．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 7．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，菱形的周长为是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质可得点与点关于直线对称，从而，将的最小值转化为求的长，再根据已知条件证明是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 菱形的周长为 ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形 ， 四边形是菱形 ， 点与点关于直线对称 ， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当 三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长 ， 是等边三角形，是的中点 ， ， ， 在中，由勾股定理得 ． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 9．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的边长为2，E是的中点，F，G是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，连接，，证明为的中位线，，得出，，再证明四边形为平行四边形，得出，根据正方形的对称性可得，则，当、、三点共线时，取得最小值，即此时的最小值为线段的长度，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，连接，， ∵E是的中点，点是中点， ∴为的中位线，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据正方形的对称性可得：， ∴， 当、、三点共线时，取得最小值，即此时的最小值为线段的长度， ∵， ∴的最小值为． 0．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点三点共线时，取得最小值， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 12．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，，点在边上，，连接，点，在线段上运动（点在点上侧），且，连接、，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】连接、，作于点，连接，由正方形的性质容易证明，则．容易判断是等腰直角三角形，则，进而证明四边形是平行四边形，进而得到．因此，当、、三点共线时，取得最小值．计算出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，解得， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 13．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，是面积为6的正方形的对角线，点E在正方形内，连接、、是等边三角形，在对角线上有一点P，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用正方形的对称性，将转化为，则的最小值转化为的最小值，即线段的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形的对角线是对称轴， 点关于的对称点是， ∴． ， ∵两点之间线段最短，　 ∴当P在与的交点时，最小，最小值为的长度， ∵正方形的面积为6， ∴正方形的边长为， ∵是等边三角形， ， ∴的最小值为． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，此时的值最小，最小值为的长．证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 15．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小，最小值为的长． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 16．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，O为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则， 将沿着的方向平移长的距离，得到，连接， 则四边形是平行四边形， ，， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长， 连接，交于， 由轴对称的性质，可得垂直平分， 又矩形中，， 是的中点， 是的中位线， ， ， 又， ， 中，． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接、、、、、，根据矩形的性质及垂直平分线的性质得，，，证明四边形是矩形得，根据勾股定理得，根据两点之间线段最短得，可得答案． 【详解】解：如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交的延长线于点，在的延长线取点，使，连接、、、、、， ∴，垂直平分， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的最小值为的长，最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 18．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 【答案】 【分析】在上截取，过点G作于点Q，交于点H，根据垂线段最短，勾股定理求解即可 【详解】解：在上截取，过点G作于点Q，交于点H， ， 垂直平分， ， 故当P与点H重合时，的值最小，且最小值为，， ，， ， 故， 根据三角形的面积，得， 故， ， 故的长为 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点是的中点，点在边上运动，点在对角线上运动，且．若当时，则_____；在运动过程中，的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，由可知为等腰直角三角形，结合为中点即可求出的长．设点到的距离为，利用勾股定理分别表示出和的长度，发现的值等价于对角线上一点到点和点的距离之和，利用轴对称性质（将军饮马模型）将折线转化为直线，最后利用勾股定理求解最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ∴， 是的中点，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 过点作于点，作于点，连接，，设， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ， ， ， ， ∴， 由对称性知，， ∴， ∴， ∴当三点共线时取等号，此时为最小值． ∵是中点， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， 即的最小值为． 20．（25-26八年级下·山东日照·期中）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】 (3)应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）如图：作点D关于的对称点，连接，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）如图：设点是x轴上的动点，点，，即；再利用三角形的三边关系以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． （2）解：如图：作点D关于的对称点，连接，与交于点P，则，， 此时的值最小，且，即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为． （3）解：∵，， ∴如图：设点是x轴上的动点，点，， ∴， ∵， ∴当且仅当、A、B三点共线，且B在与A之间时，等号成立，即的最大值为， ∵， ∴的最大值为，即的最大值为． 21．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 22．（25-26八年级下·广东汕头·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示______，用含n的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示） ②已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①；②图见解析， 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②连接，利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作交的延长线于点H，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出的长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，同理（1）即可求解； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的矩形，利用勾股定理构图即可求解； ②用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， ∵（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点H，如图， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5． （2）解：如图，设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， ∵（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于H， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． （3）解：①分别以，为边长作矩形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴，，， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为； ②画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 23．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得四边形是平行四边形，再由，即可证明结论； （2）由四边形是菱形，可得，，则的最小值为线段的长，设，在中利用勾股定理列方程可得，在中即可求得的长，即可得的最小值． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，连接，连接交于点G，连接， 由（1）得四边形是菱形， ∴点E，F关于直线对称，，， ∴， ∴当点P与点G重合时，取得最小值，最小值为线段的长， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴的最小值为．                24．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，已知正方形边长为4，点为边上一点（不与、重合），连接，将沿折叠得到，延长交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图2，若直线与直线交于点，作，垂足为，交于点，求证：； (3)若，边有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由折叠性质可得，结合正方形的性质证明，则，即可推出； （2）根据正方形的性质以及全等三角形的性质证明，则，结合，可得为线段的垂直平分线，从而推出，即可得证； （3）先根据勾股定理求出线段，分析点的运动轨迹可得点的运动轨迹是线段，作点关于线段的对称点，则，，则根据即可求出的最小值． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，，，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； （3）设，则由（1）知，，，，， 在中，， 即， 解得，即， 如图，过点作于点L， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点与点重合时，点在点正上方（设为点），， 当点与点重合时，点在点正上方（设为点），，， 点的运动轨迹是线段， 作点关于线段的对称点，连接，，则，， 令与交于点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 由对称性质得，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 25．（2026·陕西咸阳·一模）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）由矩形的性质得到，可证明，，则可证明，得到； （2）在上取一点T，连接使得，可证明，得到，则可证明，得到，进而证明，则可推出，故点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上；作点D关于射线的对称点K，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为；由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点T，连接使得， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上； 如图所示，作点D关于射线的对称点K，连接， ∵点D为的中点， ∴米； 由轴对称的性质可得米，， ∴； ∵的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为； 在中，由勾股定理得米， ∴的周长的最小值为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $