8.4乘法公式（平方差公式）（巩固练习）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 8.4乘法公式（平方差公式） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【例2】在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【例3】计算：20252﹣20242＝　　． 【例4】已知，则代数式的值为 ． 【例5】运用平方差公式计算 （1）（x﹣y）（x+y）； （2）（x+3y）（x﹣3y）； （3）（2+a）（2﹣a）； （4）（1﹣3m）（1+3m）． 【例6】先化简，再求值：，其中． 【举一反三】 【变式1】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（3a+2b）（3b﹣2a） B．（1﹣2x）（﹣1﹣2x） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（y﹣3）（3+y） 【变式2】如图，将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】用简便方法计算： ． 【变式4】小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算： ． 【变式5】计算： (1)； (2)． 【变式6】利用乘法公式有时能进行简便计算． 例：． 请参考给出的例题，通过简便方法计算： （1）； （2）； 【巩固练习】 1.下列运算正确的是（　 ） A． B． C． D． 2.在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 3.若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 4.若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 5.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（   ） A．502 B．520 C．525 D．205 6.利用乘法公式化简下列式子： ． 7.（ ）． 8. ． 9.两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    10.发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 11.运用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） （5） 12.（1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 13.如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 14.观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… (1)将2024写成两整数平方差的形式： __________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 15.【知识生成】 （1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．图中剩余部分的面积为______，图的面积为______，请写出这个代数恒等式； 【知识应用】 （2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为的有理数，已知，，比较、大小； 【知识迁移】 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．    答案解析 【典型例题】 【例1】计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【答案】B 【例2】在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【例3】计算：20252﹣20242＝　　． 【答案】4049 【例4】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【例5】运用平方差公式计算 （1）（x﹣y）（x+y）； （2）（x+3y）（x﹣3y）； （3）（2+a）（2﹣a）； （4）（1﹣3m）（1+3m）． 【答案】（1）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2； （2）（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣（3y）2＝x2﹣9y2； （3）（2+a）（2﹣a）＝22﹣a2＝4﹣a2； （4）（1﹣3m）（1+3m）＝12﹣（3m）2＝1﹣9m2． 【例6】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 将代入得，原式． 【举一反三】 【变式1】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（3a+2b）（3b﹣2a） B．（1﹣2x）（﹣1﹣2x） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（y﹣3）（3+y） 【答案】A 【变式2】如图，将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【变式3】用简便方法计算： ． 【答案】1 【变式4】小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算： ． 【答案】2 【变式5】计算： (1)； (2)． 【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6】利用乘法公式有时能进行简便计算． 例：． 请参考给出的例题，通过简便方法计算： （1）； （2）； 【答案】（1） =3999996； （2） =314； 【巩固练习】 1.下列运算正确的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 2.在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 【答案】D 3.若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 【答案】A 4.若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 【答案】A 5.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（   ） A．502 B．520 C．525 D．205 【答案】B 6.利用乘法公式化简下列式子： ． 【答案】 7.（ ）． 【答案】 8. ． 【答案】 9.两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    【答案】 10.发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 11.运用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 12.（1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 【答案】（1）∵左边， 右边 ， ∴左边=右边， ∴； （2）∵，， 由（1）知：， ∴， 或 又， ∴， 即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和． 13.如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【答案】（1）解：根据题意得：梯形的面积为， 或：； 故答案为：或； （2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即； 方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即． 14.观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… (1)将2024写成两整数平方差的形式： __________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】（1）解：， 故答案为：506，，． （2）由题意可知：（的整数）， 证明：右边左边； （3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别：， 根据题意可知：， ∵的整数， ∴为奇数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 15.【知识生成】 （1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．图中剩余部分的面积为______，图的面积为______，请写出这个代数恒等式； 【知识应用】 （2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为的有理数，已知，，比较、大小； 【知识迁移】 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．    【答案】（1）图中剩余部分的面积为， 图的面积为， 所以代数恒等式为； （2），， 因为是不为的有理数， 所以，即，所以； （3）图3中左图的体积为， 图3中右图是长为，宽为，高为的长方体， 因此体积为，所以有． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $