精品解析：山东东营市晨阳学校2025-2026学年度下学期九年级数学开学收心检测

2025-2026学年第二学期开学收心检测数学试题 一、选择题（3分*10，共30分） 1. 下列命题中：①4的平方根是±2；②16的算术平方根是2；③若=9，则x=3；④若=﹣8，则x=﹣2．其中是真命题的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 6 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 6. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图一束光线从点出发，经过y轴上的点B反射后经过点，则BC所在直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为________． 12. 分解因式：_____． 13. 如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________． 14. 如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 16. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O、 A 、B 、C 、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为________． 17. 如图，在中，以点为圆心，以合适的长为半径画弧，分别交于点，分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，过点作，交于点，若，则长度的最小值为 ____________________． 18. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ． 三、解答题（62分） 19. （1）求值：； （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 21. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，， ，） 22. 云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； （1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； （2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 23. 如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； （3）过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 25. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，，则线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期开学收心检测数学试题 一、选择题（3分*10，共30分） 1. 下列命题中：①4的平方根是±2；②16的算术平方根是2；③若=9，则x=3；④若=﹣8，则x=﹣2．其中是真命题的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平方根的概念、算术平方根的概念和立方根的概念进行判断即可得到答案.4的平方根是±2，①正确；16的算术平方根是4，②错误；若=9，则x=±3，③错误；若=﹣8，则x=﹣2，④正确， 考点：命题与定理 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；利用积的乘方和幂的乘方对C进行判断；根据约分对D进行判断． 【详解】解：A、原式＝，所以A选项错误； B、原式＝，所以B选项错误； C、原式＝9x2y6，所以C选项错误； D、原式＝，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．也考查了整式的运算． 3. 已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 5. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2＋∠3＋∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设先安排x人工作，则x人工作2小时完成的工作量为： 再增加3人和他们一起做4小时，完成的工作量为： 利用两部分工作量之和等于1，从而可得答案. 【详解】解：设先安排x人工作，则 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“工程问题中，各部分的工作量之和等于1”列方程是解本题的关键. 7. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：B． 8. 如图一束光线从点出发，经过y轴上的点B反射后经过点，则BC所在直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴，垂足为D，证明，求出，利用待定系数法即可求解﹒ 【详解】解：如图，作轴，垂足为D﹒ ∵，， ∴﹒ 由题意得， ∵轴，， ∴﹒ ∴， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 设BC所在直线的解析式为， ∴， ∴， ∴BC所在直线的解析式为﹒ 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 10. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分∠HDC，所以①正确； 利用，得到四边形是矩形，有，，由①有DE平分∠HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，，所以②正确； 过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以③正确； 根据是等腰直角三角形，，∵是的中点，是的中点，得到，，，易证，所以④正确； 利用AAS证明，则有，，易的，，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以⑤不正确； 【详解】解：∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE， ∴ 又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD， ∴，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴ ∴， ∴ ∴，∴, 又∵ ∴ ∴由三角形的内角和可得， 即：DE平分∠HDC，所以①正确； ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 由①有DE平分∠HDC，∴ ∵， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴，所以②正确； 过作于，并延长交于点， ∵ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴是的中点， ∵四边形是矩形， ∴是的中点， ∴是的中点，所以③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴ 又∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∴ 即有：，所以④正确； 在和中， ， ∴， ，， ∵ ∴， ∴ ∴不是直角三角形，并 即有：，所以⑤不正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可﹒ 【详解】解：﹒ 13. 如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解． 【详解】点C是OA的中点， ∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB, ∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB, ∴S△ABD = S△OBD, 点B在双曲线上，BD⊥ y轴， ∴S△OBD=×8=4, ∴S△ABD =4, 答案为：4. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 14. 如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ∴，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 16. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O、 A 、B 、C 、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键． 根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，，, 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 17. 如图，在中，以点为圆心，以合适的长为半径画弧，分别交于点，分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，过点作，交于点，若，则长度的最小值为 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，设交于点，过作于，根据两点之间线段最短和垂线段最短，，求长度的最小值转换为求的最小值，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意的作图得：平分， 如图所示，设交于点，过作于， ∴，且根据两点之间线段最短和垂线段最短，， ∵在中，， ∴， 根据平分，可知，是公共边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对称轴-最短路径，相似三角形的判定和性质的综合，掌握尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，依题意得，进而得，则，由此可求出，再由三角形的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线直线，得，则，再由直线得，则，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：直线与轴交于点，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵直线中， ∴直线与轴的夹角为， ， ∵直线经过坐标原点，， ∴直线与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， ∵直线直线， ， ， 由勾股定理得：， ∵直线， ∴在中，，则， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， 同理可得：点，点， 以此类推，点的坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（62分） 19. （1）求值：； （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】（1）；（2），2 【解析】 【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，乘方，零指数幂，去绝对值、负整数指数幂运算，再进行乘法运算，最后算加减即可； （2）本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，根据分式的混合运算法则，进行化简，求出不等式组的整数解，挑选一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 解，得：， ∴不等式组的整数解为：0，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50，见详解 （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； 【小问3详解】 解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． 21. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，， ，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 如图所示，，利用正弦的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∴A到地面l的距离为． 22. 云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； （1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； （2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒 （2）购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据“单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒”列方程求解即可； （2）设购进玫瑰鲜花饼a盒，商店利润为W元，根据用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒，茉莉鲜花饼不少于20盒，可得，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒． 【小问2详解】 解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元． 由题意得：， 根据题意得：，解得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，， 此时，， 答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，涉及一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 23. 如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据切线的性质可得，即，再根据圆周角定理可得，进而得到，最后根据等量代换即可解答； （2）先说明，再利用三角函数可得；再说明，然后运用三角函数可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：与相切于点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ， ， 在中，， ， 的长为2． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； （3）过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）的周长最小为，的坐标为 （3）四边形的面积最大为，此时 【解析】 【分析】（1）把两点代入抛物线的解析式得到，求解即可得出答案； （2）求得，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出直线的解析式为，联立得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，求出，即可得解； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，设点的坐标为，则，则，求出，由二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线可得，当时，， ，对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入点，点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， ∵如图，关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为点，此时， ∴最小， ∴的周长为最小， ∵直线的解析式为，当时，， 的坐标为， ∵， ∴的周长最小为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点， 设点的坐标为，则，其中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为，此时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，，则线段的长为______． 【答案】探究：成立，证明见解析；应用：①45；②． 【解析】 【分析】探究：根据旋转的性质得出，然后利用证明即可； 应用：①根据全等三角形的性质可得答案； ②利用勾股定理求出，可得的长，根据全等三角形的性质可得的长，求出，根据勾股定理可得答案． 【详解】探究：成立， 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 应用：①∵是等腰直角三角形， ∴， 同探究可得：， ∴， 故答案为：45； ②∵在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $