精品解析： 山东省东营市实验中学2024—2025学年下学期九年级开学检测数学试题

九年级数学第二学期开学检测题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值与有理数的运算法则，掌握有理数与数轴的基本知识是解题的关键． 根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：如图，根据数轴可得， ， ∴A，B，D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹、其中数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：； 故选：B 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据俯视图是从上面看到的图形判定． 【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是： ． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式及积的乘方，根据合并同类项、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式及积的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】A．不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么晓晓和洋洋选到同一社团的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与晓晓和洋洋选到同一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，晓晓和洋洋选到同一社团的有3种情况， ∴晓晓和洋洋选到同一社团的概率是：. 故选C. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】根据平行四边形的对角相等,可得∠AOC=∠B,然后根据圆内接四边形的对角互补,求得∠ADC+∠B=180°,最后由圆周角定理等量代换求得: ∠ADC+2∠ADC=180°,解得 ∠ADC=60°,故答案为C. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 9. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ．．．， 由此可知，这列数按4，，，重复出现， ， ． 故选：D． 10. 已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在正五边形中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与边交于点，连接，则______度． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了内接正多边形，角平分线的性质与做法，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作出正五边形的外接圆，易得，结合圆周角定理，得，因为是的平分线，即可作答． 【详解】解：如图：作出正五边形的外接圆，连接 ∵正五边形的外接圆 ∴ ∵ ∴ ∵由题意可知，是的平分线 ∴ 故答案为：18． 12. 在有理数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握提公因式法与公式法因式分解． 先提公因式，再应用平方差公式，即可分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 14. 若关于的不等式组的整数解恰有3个，则的取值范围是为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组及不等式组的整数解的应用，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 根据不等式组的解集求参数，由不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，掌握解不等式组，取值方法是解题的关键． 先解不等式组，根据不等式组有3个整数解即可确定的取值范围． 【详解】解： 解①得，， 解②得，， 不等式的解集为：， ∵不等式组恰有3个整数解，即，，， ∴， 故答案为： ． 15. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则图中的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值，解题的关键是根据函数图象求出甲、乙的速度． 【详解】解：由图象可得， 甲的速度为(米秒)， 乙的速度为(米秒)， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题7小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】（1）1（2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，分式的化简求值： （1）将特殊角的三角函数值代入，利用零指数幂和负整数指数幂的法则，二次根式的性质，进行化简计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代值计算即可． 详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时，原式． 18. 某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图像和性质，下面是他的探究过程，请补充完整． （1）写出函数的自变量的取值范围______； （2）下表是函数与自变量的几组对应值：则______，______； … －3 －2 －1 0 1 3 4 5 6 7 … … 0.6 1 1.5 3 1.5 1 0.75 0.6 … （3）在平面直角坐标系中，补全此函数的图像； （4）根据函数图像，写出函数的性质（至少两条）． 【答案】（1） （2），3 （3）补全图像见解析 （4）①图像关于对称；②图像全部在轴上方（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据分式分母不为零列式求解即可； （2）把和3分别代入即可求得； （3）画出函数图像即可； （4）根据图像得出结论． 【小问1详解】 解：根据分式分母不能为零可知，函数的自变量的取值范围是：； 【小问2详解】 解：把，代入得，； 把，代入得，， 故答案为，3； 【小问3详解】 解：如图所示： 【小问4详解】 解：由图像得可得①图像关于对称；②图像全部在轴上方（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数图像和性质，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图像、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键． 19. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7 （2）条形统计图见解析， （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 20. 如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； 【小问1详解】 连接为直径， ∵为直径， ∴， ∴， ∵过点C作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 21. 如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走48米到达点，再经过一段坡度为，坡长为13米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向左行走40米到达点．在处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为．所在的直线垂直于地面，垂足为，点、、、、、、在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】的高度约为104米 【解析】 【分析】过于，过作于，由坡度的定义求出、的长，得的长，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】过作于，过作于，如图所示，则，，，，， ∴， ∵斜坡的坡度为，， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的高度约为104米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用---仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键． 22. 综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握相关的性质定理， （1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论； （2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论 【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下： 四边形是矩形， 由第一步操作根据折叠性质可知： 四边形为矩形， 又 四边形为正方形， 故甲同学的结论正确； 作于点M， 四边形为正方形， 设， 由第二步操作根据折叠性质可知：， 在中， 在中，, 故乙同学的结论正确； （2）作交于点R，如图所示： 为折痕, 四边形矩形， 在和中， 又 由折叠性质可知： 四边形为菱形， 即 在和中， 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二学期开学检测题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹、其中数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么晓晓和洋洋选到同一社团的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在正五边形中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与边交于点，连接，则______度． 12. 在有理数范围内分解因式：________． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是_________． 14. 若关于的不等式组的整数解恰有3个，则的取值范围是为________． 15. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 16. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则图中的值是______． 三．解答题（本题7小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再代入求值：，其中． 18. 某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图像和性质，下面是他的探究过程，请补充完整． （1）写出函数的自变量的取值范围______； （2）下表是函数与自变量的几组对应值：则______，______； … －3 －2 －1 0 1 3 4 5 6 7 … … 0.6 1 1.5 3 1.5 1 0.75 0.6 … （3）在平面直角坐标系中，补全此函数的图像； （4）根据函数图像，写出函数性质（至少两条）． 19. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 20. 如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 21. 如图是重庆欢乐谷一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走48米到达点，再经过一段坡度为，坡长为13米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向左行走40米到达点．在处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为．所在的直线垂直于地面，垂足为，点、、、、、、在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 22. 综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $