精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试题

辽宁省实验中学2025-2026学年度高二下学期期初测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王晓强 一、单选题（共8题，每题5分，满分40分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由抛物线，可化为其标准方程为， 则抛物线的焦点在上，且，所以抛物线的焦点坐标为. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，．以下四个点中，与点，，共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为不成立， 所以向量不是共线向量. A：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； B：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； C：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； D：. 设， 则有， 假设成立，因此点与，，共面. 3. 的二项展开式中，第四项的系数是（ ） A. B. 560 C. 84 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式直接求解即可． 【详解】根据二项式展开式，可知第四项为， 所以第四项的系数是． 4. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点向圆作的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，根据题设得，从而有，求解不等式即可求解. 【详解】因为圆心为，半径， 设两个切点分别为，则由题意可得四边形为正方形，故有， 所以圆心到直线的距离小于或等于， 即，整理得到，解得， 所以实数的取值范围是. 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 因为点在双曲线的右支上，所以， 又，所以，. 在中，， 即， 所以，所以，又，所以. 6. 设，若，则实数的值为（ ） A. 3或 B. 或1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以令，可得，， 所以，解得， 7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），且满足，则直线的斜率为（ ） A B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，并结合基本的几何关系即可求解直线l的斜率． 【详解】设抛物线的准线为， 分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示， 过点作交于点， 则，，因为， 则，根据可得， 解得， 又因为轴，所以， 也即直线的斜率为． 8. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及中垂线的性质求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式列出方程，进而求出三角形周长. 【详解】因为椭圆离心率为，故，则， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线为，联立，得， 又，故， 设，则， 故，解得， 故，则的周长为. 二、多选题（共3题，每题6分，满分18分） 9. 已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则点四点共面 C. 点可能共线 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 10. 已知直线：，：，则下列选项正确的为（ ） A. 直线过定点 B. 当时，或 C. 当时，和相交 D. 当时，两直线，之间的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A，由垂直的条件求得参数范围，判断B，由两直线平行的条件求得的值可得相交的条件，判断C，由两直线平行，然后求得值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算． 【详解】直线方程整理为， 由，解得，因此直线过定点，A正确； ，则，解得或，B正确； 由得或， 所以且时，和相交，C错； 时，两直线方程分别为，，两直线平行，它们的距离为， 时，两直线方程分别为和，即和，两直线平行，距离为， D错． 故选：AB． 11. 已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ） A. 椭圆的离心率的取值范围是 B. 椭圆上存在点使得 C. 已知，椭圆的离心率为，则的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据条件得，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，即可求解；对于C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的参数方程，即可求解；对于D，根据椭圆的定义得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为， 因为在椭圆外，所以，解得， 因为，所以，故A正确； 对于B，由选项A知，，所以，所以， 则以原点为圆心，为半径圆与椭圆有四个交点， 不妨设其中一个交点为，由圆的性质可知，，所以椭圆上存在点使得，故B正确； 对于C，由离心率，所以，所以椭圆方程， 设点，则， 当时，有最大值为，此时，故C正确； 对于D，， ， 当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，故D错误. 三、填空题（共3题，每题5分，满分15分） 12. 双曲线的渐近线方程为___________ 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以其渐近线方程为. 13. 已知，则___________． 【答案】5 【解析】 【详解】由组合数的性质有，又， 所以，解得 14. 如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面角的定义，结合线面垂直找出线面角对应的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】取中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形，所以. 同理可得，. 因为，，所以，所以为等腰直角三角形， 且，. 又，，所以，所以为等腰直角三角形， 且. 在中，，所以. 又，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角. 在中，，所以. 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）1440 （2）240 【解析】 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【小问1详解】 首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. 【小问2详解】 首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 16. 如图，四棱锥中，底面，，平面，． （1）证明：； （2）若点B到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，结合线面平行性质定理可得，可得结论； （2）方法1：过点B作，可知平面，点B到平面的距离即为，建立空间直角坐标系，再求出两平面的法向量，可求出其夹角的余弦值； 方法2：建立空间直角坐标系，设，根据点到平面距离的向量公式可解得，求出两平面的法向量，即可求出其夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为底面，，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直， 以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系． 方法1： 过点B作，交于点M， 因为底面，平面，所以， 因为，所以平面， 又点B到平面的距离为1，所以， 中，由可得； 设，则，即，解得； 因此为中点，，所以． 可得，，，，， 所以，． 设是平面的法向量，则，， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2： ，，设，则 易知， 设平面的法向量为， 所以，解得，令，则； 可求得平面的法向量为，则，得． 因此，，，又，， 所以，． 设是平面的法向量，则，， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为，由求解. （2）当直线斜率不为零时，设直线为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得和，由三角形面积求解即可，当直线斜率为零时，设其方程为,与椭圆方程联立，求出坐标，直线与的斜率之积为，即可求出n，进而求得的面积． 【小问1详解】 由题意得， 解得， ∴，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，， 联立，消元得， 由韦达定理得：， 已知，即， 则 ， ， 代入韦达定理化简得，， 又 ， 则， 当直线斜率为零时，设其方程为， 联立，解得， 设在左侧，则， 由，则， 解得，此时， 则， 所以的面积是 . 18. 如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． （3）在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【小问1详解】 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. 【小问2详解】 因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 19. 造型○可以看作图中曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为1． （1）求的值； （2）当点在上时，求证：；（并指出等号成立的条件） （3）如图，过点作两条互相垂直的弦，分别交曲线于，其中．求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析；当且仅当时，等号成立 （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线过坐标原点，结合题意，得出方程，即可求解； （2）根据题意，求得的方程，得到，求得，即可得证； （3）化简曲线为，当直线的斜率为0，直线的斜率不存在，求得；当直线的斜率为，倾斜角为，求得的方程，联立方程组，结合曲线的弦长公式，求得，同理得到，求得，结合三角函数的性质，求得面积的最小值，进而得到答案. 【小问1详解】 因为曲线过坐标原点，可得原点到直线的距离为， 又因为点，可得，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，即定直线的方程为， 即曲线上的点到点的距离与到定直线的距离之积为1， 所以曲线的方程为，整理得， 因为点在上时，可得， 则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 【小问3详解】 因为曲线满足，所以， 当直线的斜率为0时，则直线的斜率不存在， 令，可得，则； 令，可得，则； 此时四边形面积为； 当两直线的斜率均存在时且不为0时，设直线的斜率为，倾斜角为， 不妨设，可得，直线的方程为，其中， 直线的方程为，联立， 整理得，则，且， 所以，则， 此时， 同理可得：， 所以， 令，设， 因为，可得，可得且，即， 所以，由二次函数的性质，得在上为单调递增函数， 所以当时，，此时， 综上可得四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025-2026学年度高二下学期期初测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王晓强 一、单选题（共8题，每题5分，满分40分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，．以下四个点中，与点，，共面的是（ ） A B. C. D. 3. 的二项展开式中，第四项的系数是（ ） A. B. 560 C. 84 D. 4. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点向圆作的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若，则实数的值为（ ） A. 3或 B. 或1 C. D. 3 7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），且满足，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ） A 24 B. 26 C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，满分18分） 9. 已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确是（ ） A. B. 若，则点四点共面 C. 点可能共线 D. ，则 10. 已知直线：，：，则下列选项正确的为（ ） A 直线过定点 B. 当时，或 C. 当时，和相交 D. 当时，两直线，之间的距离为1 11. 已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ） A. 椭圆的离心率的取值范围是 B. 椭圆上存在点使得 C. 已知，椭圆的离心率为，则的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（共3题，每题5分，满分15分） 12. 双曲线的渐近线方程为___________ 13. 已知，则___________． 14. 如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16. 如图，四棱锥中，底面，，平面，． （1）证明：； （2）若点B到平面距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 18. 如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． （3）在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 19. 造型○可以看作图中曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为1． （1）求的值； （2）当点在上时，求证：；（并指出等号成立的条件） （3）如图，过点作两条互相垂直的弦，分别交曲线于，其中．求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $