精品解析：青海海南州高级中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

海南州高级中学2025~2026学年第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 87.5 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知直线与，则与之间距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ） A B. 3 C. D. 4 8. 直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则离心率（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 13. 直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 16. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 17. 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为上的一个动点，求面积的最大值； （3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州高级中学2025~2026学年第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为方程表示圆，，即可求得答案. 详解】方程表示圆 ， 解得： 故选：B. 【点睛】本题解题关键是掌握圆的一般方程的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2. 抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 87.5 【答案】D 【解析】 【分析】该学生10次的英语成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的50%分位数. 【详解】该学生10次的英语成绩从小到大分别为84，85，86,86,87，88，88，89，89，91.又，这10次成绩的50%分位数为. 故选：D. 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得，即， 因此，所以. 故选：B 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 5. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】， 直线， 直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为， ． 故选：D． 6. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合可求得的值，将点代入方程即可求解. 【详解】因为，所以，即，，， 又∵，∴. 故选：A. 8. 直线与双曲线相交于两点，且两点横坐标之积为，则离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，求得，根据题意，得出方程，求得，结合双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线交于两点，设 又因为两点的横坐标之积为，即， 因为过原点，所以关于原点对称，即，所以， 将代入上式，可得，解得，所以， 则双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 【答案】AC 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，然后求出离心率，渐近线方程，焦距，逐项判断即可. 【详解】因为双曲线， 所以的标准方程为， 故焦点在轴上，， 故焦距为，离心率为，渐近线为， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆方程化为圆的标准方程可判断选项AB；由点到直线距离公式可判断选项C；利用圆的弦长公式求解可判断D. 【详解】对于AB，圆，即圆， 则圆心，半径， A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果. 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件． 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A错误； 对于B，因为， 则，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确． 故选:BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的定义求解即可. 【详解】由题意，男、女生共有200人，其中女生有80人，则男生有120人， 按照分层随机抽样的方法，男生应该抽取人． 故答案为：15. 13. 直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的内接四边形和得到，利用椭圆的定义得到，利用换元法和函数的单调性得到，进而求出. 【详解】设，由点P第一象限，知， 因为P，Q在椭圆C和以为直径的圆上， 所以四边形为矩形，． 由，可得， 由椭圆的定义可得①， 平方相减可得②， 由①②得． 令，令， 则在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以， 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【答案】直线l与圆C相交， 【解析】 【分析】解法1：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可判断出直线与圆的位置关系，再根据两点间的距离公式求弦长即可.解法2：求出圆心到直线的距离，即可判断出直线与圆的位置关系，再根据圆的弦长公式求弦长即可. 【详解】解法1：联立直线l与圆C的方程， 得， 消去y得，解得，， 所以直线l与圆C相交， 把，分别代入方程①，得，， 所以直线l与圆C的两个交点是，. 因此直线l被圆C所截得的弦长为. 解法2：圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相交， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. 16. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【小问1详解】 过点，，解得， 抛物线，准线方程为； 小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为， 设直线，，， 由得，则， 则 17. 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 【答案】（1），100 （2）71 （3） 【解析】 【分析】（1）利用各组的频率和为1，列方程可求出的值，根据频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得答案； （2）利用平均数定义结合频率分布直方图求解； （3）利用分层抽样的定义求出成绩在和内所抽取的人数，然后利用列举法求解概率. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 所以测试成绩在内学生的人数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为 ； 【小问3详解】 抽取的成绩在内的人数为，记为， 抽取的成绩在内的人数为，记为， 则从5人中随机抽取2人的情况有：，共10种， 其中恰有一人的成绩在内的有，共6种， 所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）在菱形中证明，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直． （2）以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）证明：连 ∵底面为菱形，∴ ∵，，∴ ∵平面，平面，∴ ∵，，，平面， ∴平面 （2）由（1）知，又由， 可得，可得、、两两垂直 令，可得，， 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系 可得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，， 由（1）可知为平面的法向量 设平面的法向量为， 有，取，， 可得 由，，， 有 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法： （1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角． （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为上的一个动点，求面积的最大值； （3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得方程； （2）设，根据点到直线的距离结合三角函数分析可知：取到最大值，即可得面积最大值； （3）设直线：，，，根据向量夹角结合向量运算分析可得，进而可得，即可得定点. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，则直线的斜率为，且， 可知直线：，即， 因为点为椭圆上的一个动点，设， 则点到直线的距离， 其中， 可知当时，取到最大值， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，， 因为，则，即， 又因为点在椭圆上，则，即， 可得， 同理可得：， 且，， 可得，则， 整理可得， 显然，则，即， 可得直线：， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $