精品解析：青海省海东市平乐区2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 20 3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过（ ）年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 8. 已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. 数列中存在三项成等比数列 C. 数列是公差为1的等差数列 D. 数列的前项和为 10. 在平行六面体中，，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，，，则_____. 13. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 16. 已知正项数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， （1）若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； （2）若点在抛物线上，满足，求取值范围． 18. 四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且 （1）求的方程； （2）过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）证明：存在定点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 (满分150分时间：120分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项符合题目要求. 1.直线V5r-3y-5=0 的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定方程求出直线的斜率即可求得倾斜角作答. 详解】直线V3r-3y+7=0的斜室、 3,由斜率的定义得直线√3x-3y+7=0的倾斜角为30°， 所以所求倾斜角为30° 故选：A 2.己知等差数列{a的前n项和为S,若2a,+3a,=5,则S=（) A.13 B.14 C.16 D.20 【答案】A 【解析】 【分析1由2a,+3a=5a,及S,=13a即可求解 【详解】设等差数列的公差为d, 第1页/共26页 命学科网命组卷网 2a4+3a,=2a,+6d+3a,+24d=5a1+30d=5a7=5 所以41 5,=13(a+ae）-13(a+g+12d）=13a,=13 2 2 故选：A 3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘 x2.y2 积。如图，F,下为椭圆E:云+户=1(a>0,b>0)的左、右焦点，中心为原点，椭圆E的面积为 V5元，直线x=4上一点P满足△FP是等腰三角形，且 ∠EFP=120° ,则E的离心率为() =4 5 25 1 A.5 B.5 c.5 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得△FPS是以∠FB,P=12 °为顶角的等腰三角形，列出关于a,b,C的方 程，再由离心率的计算公式，即可得到结果 【详解】由题可知，V5=b,即b=5,aFPS是以∠FEP=120 为顶角的等腰三角形， 则有：FF=PF,∠PFE,=∠F,PF=30°.∠E,PA=30 所以P=2=2(4-c)=8-2c.又因为F=2c,即2e=8-2e,c=2, 第2页/共26页 学科网 命组卷网 ab=√5 a=5 可得： c=2 解得 c=2，故离心率为。c25· a2=b2+c2 b=1 e= a5 故选：B 4如图，在三棱台1BC-4BG中，AC=24C,M、N分别为AC、48的中点，设B=石， AC=i,A4=c,则M可用a,6,c表示为() A a-6+c -a- 1_16+c a A.42 2 B.4 1 1 1 c.2a+4b+ -a- 2 D.2 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理表示向量即可： 【销解1山题，-网++4=号4C+瓜+号g=号4C+双+孤 4 故选：B 5.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金 增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红， 第3页/共26页 6学科网6组卷网 并将剩余资金全部投入下一年生产设第”年年底公司分红后的剩余资金为·万元，则至少经过()年， 公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据： 1.55≈7.59,1.56≈11.39 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】 〔分析】根据题设条件可得*124，一60 60进而得到，=120 +120 ,结合题设条件可得关于n的 不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元 【详解】由题意得，投入生产的启动资金共有50×4=200万元， 4=2001+509%)-60=200×-60=240 4=a1+509%)-60=3。 F24-60=300 0=0.1+50%)-60= 24,-60 4-60-0 则，1-60=33。 3 3 ×60-60 0n-22 3)1 ×60- ×60-60 2 …-4-×0-0-…0 3×60-60 第4页/共26页 学科网命组卷网 -20-m1j++] =240× 03 =120× 3-2 +120 而4=240也满足该式，改0，=120× +120 3 -1 令120x +120≥1200，所以2) ≥9 因为： 1.5≈7.59,1.5≈1.39，n-1≥6即n27 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元 故选：D 6已知点P在+少+0-4=9上，过点P作因C:(x-5+0y-4= 的两条切线，切点分别为 A,B PACB ,则四边形 面积的最大值为() A.4V5 B.3V5 C.37 D.47 【答案】A 【解析】 【分析】P点在圆上，分析可得，要使四边形PACB面积取到最大，只需PC取得最大值，根据点与圆 的位置关系，分析计算，可求出PC,进而可得PAx,计算即可得答案 【详解】设圆x+)+少-4=9的圆心为D,则圆心坐标为D(-14),半径5=3， 第5页/共26页 命学科网命组卷网 圆C:-5)+0-4=1的圆心坐标为C(5,4),半径5=1， 所以点P到圆心C的最大距离为CD+r=V(-1-5)+(4-4)}+3=9, 因为A为切点，所以PA⊥AC, 所以PAx=VPCx-AC=vg2-P=45, 所以2四边形P4CB页积格及大S=×4CPAX2=1x4N5=4W5 故选：A. 7.在棱长为3的正方体 BCD-4BCD中，动点M在线段BD上，动点N在线段MD上，则N长 度的最小值为() A.1 B.2 c.√3 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设DM=DB(0≤入≤，不=4AD(0≤4≤），进而 点M, 的坐标可以用乙，“来表示，白题可知MN⊥BD,MN L AD时，MW取得最小，值利用数量积 九，u 为0，即可求出 ,进而可知 N 的模长 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 第6页/共26页 6学科网列组卷网 D 则D(0,00),A(3,0,0).B(3,3,0).D(0,0,3) .DB=(3,3,0)AD=（-3,0,3)」 因为点M在线段DB上，点N在线段AD上， 所以设DM=ADB(0≤元≤)，AN=uAD(0≤H≤) .DM=(3,3,0）.A=(-3,030,又D(0,0,0),A(3,0,0) 所以M(32,3元，0），N(3-340,30）,则M=(（6-3-3,-3,30) 当MN的长度最小时，有MN L BD,MN上AD, MN.DB=3(3-3μ-32)-31×3=0 所以 m「22=1-4 M.AD=-3(3-3μ-32)+3×3μ=0：即 2=1- 此时M=(L,-山，)，所以N=5 所以MW的长度最小值为V5 故选：C 8已知双曲线C:方-1(a>0,b>0）,直线y=a与双曲线C交于M,V两点，直线y=-b与双曲 线C交于P,Q两点，若MN=V2Pg, 则双曲线C的离心率为() 第7页/共26页 6学科网6组卷网 2V5 V5+1 A.3 B.3 C.2 D.5 【答案】A 【解析】 【分析】将y=a代入双曲线方程可求MN,将y=-b代入双曲线可求P巴，根据MN=V5PO,得 a2 出623 ,从而可求离心率 x2 y2 x2 a2 【详解】将y=a代入了尔1，得行公1， 即r2=a2+0-a62+a2) b2 新得公6+口 段N-兴F+a x2 y x2 将y=6代入京原=1，得京2，即X=20, 解得p=-xg=V2a 所以Pg=2V2a 因为MN=V2PO,所以MN=2Pg, 6+e)=16c,年- 第8页/共26页 6学科网列组卷网 b2 33 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若数列{a,的通项公式为0，=2m,前n项和为S,则() A.S4=14 B.数列{a,}中存在三项成等比数列 1 n C.数列 an 是公差为1的等差数列 D.数列S.了 的前，项和为 n+1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件可得数列{口，}是以2为首项，2为公差的等差数列，表示S可得选项A错误：根据 S4_S2-1 a=a·a4可得选项B正确：根据a1an2可得选项C错误：利用裂项相消法可得选项D正确. 【详解】由0，=2m得，4=2，a1-a,=2(n+1)-2n=2 :数列a,}是以2为首项，2为公差的等差数列， :3-）_2420）=r+m 2 2 A.S4=42+4=20 ,选项A错误. B.由题意得，4=2,4，=4，a4=8 第9页/共26页 6学科网命组卷网 .巧=4a4,即4,42，a4成等比数列，选项B正确 S-n+m=”+1. -"+1-+ ca2n2,·ana,2 S. ·数列a∫是公差为)的等差数列，选项C错误 1=11=11 D.S n2+nn(n+1)nn+1, 1 ∴数列5.广的前n项和为1- 1+1_1+11=1-1=” 223“nn+1n+1n+1,选项D正确 故选：BD. 10.在平行六面体ABCD-AB,CD中， ∠AAD=∠AAB=T 3,ABL AD,AB=2,AD=AA=1, 下列结论正确的是() A.AC=3 1 B.异面直线AC与AD所成角的余弦值为3 5 C.直线AA与平面ABCD所成角的正弦值为3 √6 D.点D到平面AAB的距离为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由AC=(AB+AD+A4)可判断A,由向量法可判断B,如图，设E为枝AB中点，F为棱 CD中点，连接EF,连接DE,MF交于点O,确定四棱锥4-AEFD 是棱长为1的正四棱锥，由线面角 第10页/共26页 6学科网6组卷网 的定义可判断C,由等体积法可判断D. 【详解】因为AD=乙AAB34B1D,B=2,D=丛 所以 B.AD=0,AB.AA=2x1×cos60°=1，AD.A4=1x1xcos60°= 2 可得AC=(AB+AD+AA)=4+1+1+2+1=9, 所以AG=3 ,故A正确： 选项B:因为4D=AD-A石」 所以AD=(AD-AA)=1+1-1=1, 所以4D=1,AC4D=(AB+AD+AA)(AD-AA)=-1, 设异面直线4G与AD所成角为0，则0s0=-{ 1x33,故B正确： A 如图，设E为棱AB中点，F为棱CD中点，连接EF, 连接DE,1厂交于点0，连接40， ZAAD=乙AAB=3,AB⊥AD,AB=2,AD=A4=1 因为 所以AE=DF=AD=AE=1,四边形AEFD为正方形， 所以A01DE,又D6=2,0= 2, 第11页/共26页 6学科网命组卷网 所以月0=② ),又AO=2,A4=1,且AO2+A,O2=(A4)27 所以A01A0,又O为4F中点，则4F=4=1 得到四棱锥A-AEFD 是棱长为1的正四棱锥， 由正棱锥的性质可知401平面AEFD, 则∠440是直线4A与平面ABCD所成角。 2 可得sin∠AA0=2=V2 子=之，放C储误， 设点D到平面 AB 的距离为h」 11 由V4-ADE=VD-4AE,得32 x1x1xxxxsim 60 232 解得 √6 3,即点D到平面4AB的距离为3，故D正确： 故选：ABD 11.设抛物线 C:y=4x 的焦点为F,准线为，经过点F的直线交C于4，B两 ,B两点，O为坐标原点，则 下列说法正确的是() A若FA=3FB,则直线AB的倾斜角为60 B.以线段AB为直径的圆与相切 C.存在直线AB,使得OA⊥OB D.若直线AO交l于点D,则BD⊥I 【答案】BD 第12页/供26页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出片+乃和少的值，再结合F43引FB求出 m，进而得到直线斜率和倾斜角对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与 B刷的关系· 判断圆与准线是否相切对于C选项：通过向量垂直性质，计算O1·OB 看是否能满足OA1OB对于D 选项：先求出直线40与准线交点D的纵坐标，再结合少=一4， 判断D与B纵坐标是否相同，确定BD 与准线的位置关系 【详解】对于A选项，抛物线广=4r的焦点FL,0),准线：x=-1,设直线4B的方程为=my+1, A(x,y）.B(x,) x=my+l 联立y2=4x,消去x得y2-4my-4=0,则y+2=4m,y2=-4. 由抛物线的定义知FA非，+1，|FB卡，+1 因为FA非3到FB,所以+1=3(+D,即m+2=3mw,+2) 又，=-4，联立可解得m三3 3,则直线AB的斜率k=±√3，倾斜角为60°或120°，所以A选项错 误 对于B选项，设AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线，垂足分别为 ',B',M' 根据抛物线的定义， 1 AAHFAI IBB'HFB,则 IMMH0441+1BD-0FA+IFBD-14B1 第13页/供26页 学科网命组卷网 所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确 对于C选项，O1=(G,),0B=G,),若0A10B,则O10丽=6+Xy=0 y4,=4,可得5=16=，则1-430，所以不存在直线B使得0410 16 选项错误， 对于D选项，直线40的方程为x,令r=一，得{ y=-片=-4 4 因为y2=4x,所以 4 又4=-4，则'=力，所以D点的纵坐标与B点的纵坐标相同，即BD1,D选项正确 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12已知等比数列a},4=2,4=8,则l10g4,+1og4, 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可： 第14页/共26页 命学科网命组卷网 【详解】 {a,}为等比数列，aa=a,0, .l0g2a2+log243=l0g2a2a3=l0g2a,a4=l0g216=4 故答案为：4. 13.已知 L0,0).B2,10).C,1D三点，则到直线 BC的距离为 ,16 【答案】2拼2 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解 【件】因方C-L0WC=0L:所设mcC列- AC.BC V2x2, 行m(cd-V-5. 所以A到直线BC的距窝为d=ACsin(AC,BC)=2×5-6 22 √6 故答案为：2。 知双曲线C:等-@>06>0的左右焦点分别为F,B.过F的直线与C的左石 别交于点P0,若P为线段的中点，且PO,OP废等差数列，则双曲线C的离心率的值为 【答案】V13 【解析】 第15页/共26页 6学科网命组卷网 【分析】设PF=m,由题意求出参数m,进面得到PF=5a,PO-P-3a,O=6a,O5=4a, 从而求出∠PO5=90°，再在△05B中由勾服定理即可求解 【详解】连接PO,则由腿意可PO-2Q5PF=|Pg 设PF=m,则PE=m+2a,Pg=m,lF=2m,or=2m-2a 因为PO,QFPE成等差数列，所以25=PO+P, 所以2(2m-2a）=m+(m+2a)→m=3a,所以PFl=5a,Pg=PF=3a,F=6a,Fl=4a, 所以PF=PO+OF,即∠POE=90, 以of+2=F.即36+1o4(日-13 所以双曲线C的离心率的值为e=V13 故答案为： v13 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知圆C的圆心在'轴的正半轴上，半径为2，且被直线4x-3y+4= 截得的弦长为2V5 (1)求圆C的方程： (2)过点P(-2,0)作圆C的切线'，求l的方程。 第16页/供26页 6学科网命组卷网 【答案】(1)x2+(y-3)}2=4 (2)x=-2成5x-12y+10=0 或 【解析】 【分析】(1)利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程. (2)分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程 【小问1详解】 设圆心坐标为(0，a),a>0 ，又因为圆的半径为2 由勾股定理可得圆心到直线的距离d=√22-(V3=1 所d1→a=3 5 所以圆C的方程为：x+(y-3)}2=4 【小问2详解】 由己知： (1)当直线斜率不存在时，直线方程为x=-2,显然符合题意 (2)当直线斜率存在时，设直线方程为'=k(x+2)=+2k 7因为属击正商=三2→k。5 Vk2+1 5x-12y+10=0 所以直线的方程为 综上所述：直线为x=-2或5x-12y+10=0 或 16已正项数列a}的前n项和为S,且满足4=，5- 2. （4)求数列{a,}的通项公式 第17页/供26页 6学科网列组卷网 、1012 2)若5.(4c-)=1,数列c,}的前n项和为，当7，>2025时，求清足条件的最小整数m. 【答案】(l)an=n,n∈N (2)1013 【解析】 【分析】(1)由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解； (②利用裂项求和求出了，然后解不等式即可求解 【小问1详解】 因为、4 2出n=1时，O12,即 2,又4=1，故a2=2, 当n≥2时，8-022，因为5=0 ,两武相减得4=号a-4山， 因为9>0 所以2=aa,所以aa均是以2为公差的等差数列， a1=1a2m-1=1+2n-)=2n-1a2n=2+2(n-1)=2n 所以a,=,n∈N 【小问2详解】 sa-=1w5与omla 11 图务 1-1） 10 1012 2025,所以22n+12025,解得n>1012 所以满足条件的最小整数n为1013. 17已知抛物线E:广=4r的焦点为F,过点40，)的直线1与E相交于B(,少)，C(少)两点，且 第18页/共26页 6学科网6组卷网 %>0 (1)若F为线段AC的中点， (i)求直线l的斜率： (ii)求AC; （2)若点P(x2%)在抛物线E上，满足BP⊥BC,求卢取值范围. 【答案】(1①22；iG ex P 【解析】 【分析】(4)（①由题意可求得5=2，可求得C2,2W2),进而求得直线'的斜率，(）利用 AC=2FC 求解即可； hoc=4 4 (2)求得直线BC的斜率为 片+乃，线BP的斜率为K即= y+2y,利用已知可得 2%=-16--y丛 久十，进面可行二3？，可求得取值范围》 【小问1详解】 ,1=0+x2 (i)由题意知，焦点F(L,0),因为F为线段AC的中点，所以2，即=2， 所以乃=-22，即C(2,-22),所以直线/的斜率为 0+22=-22 1-2 (i)由题意及(1)，|ACF21FC=2V1+(2√2)2=6 【小问2详解】 第19页/共26页 命学科网命组卷网 kc=占H=为-y=4 由题意知，直线BC的斜率为 x名垃-星与+乃 44 4 同理直线BP的斜率为 y+2y%, 因为BP1C所以=-1.所以2%，=6-业 y+y2, 为直线c的方程为一y三上x-所以点A0】在直2 y+y2 乃+5，所以2-25 所以男=4（)= y+y2 y+y2, 2y2=-16--yy2 所以y+y2+y2 16_4 所以=一 当议当3了.即=4持，所农充国为（国] 16-y VA B 18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PCD为正三角形，∠ADP=90°，E为PD的中点. 第20页/共26页 6学科网组卷网 (1)证明：PB/1平面ACE (2)证明：平面ACE⊥平面PAD」 (3)求平面ACE与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：如图，连接BD,交AC于F,连接EF, 因为E为PD的中点，F为BD的中点， 所以EF为△PBD的中位线，所以 EF PB 因为EFc平面ACE,PBa平面ACE,所以PB∥平面ACE. (2) 证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥CD, 因为∠ADP=90°，CDNDP=D.CD,DPc平面PCD,所4AD⊥平面' PCD 因为CEC平面PCD,所以AD⊥CE 第21页/供26页 6学科网 命组卷网 因为△PCD为等边三角形，且E为PD的中点，所以CE⊥DP. 因为APOPP=D,1D,DPC平面PMD,所CE上平面PAD 因为CEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面PAD. V15 (3)5 【解析】 【分析】(1)利用中位线来证明线线平行，即可证线面平行： (2)利用线线垂直去证明线面垂直，再证明线线到线面再到面面垂直即可； (3)利用空间向量法来求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点P作PO⊥CD,垂足为O,由△PCD是等边三角形，可知O为CD的中点. 又因为AD⊥平面PCD,ADC平面ABCD,所以平面PCD⊥平面ABCD, 又因为平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PDC,所以PO⊥平面ABCD. 设4B的中点为Q,连 O0OQ∥ADOQ⊥mPDC ,则 平面 第22页/供26页 6学科网命组卷网 以O为坐标原点， 00,0C,0P的方向分别为少2轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 5版0-2aA2-0吵c00pa10yPan.0-9 8-西4法8.世%7C-22亚-2号周 i.AC=-2x+2y=0, 所以 i.AE=-2x+二y+ ·得 2 由等边△PCD可知：DM⊥PC, 因为AD⊥平面PCD,DMC平面PCD,所以AD⊥DM, 又因为MD/BC,所以DM LBC 又因为 COPC=C,BC,PCC平面PBC 所DM⊥平面PBC:即DM- 0. 22 为平面PBC的一个法向量. 则cos DM,n= DM.i 3 _V15 DMaV3x√5=5， 5 所以平面ACE与平面PBC夹角的余弦值为5· 19.已知椭圆C:a2+8=1(a>22 的左顶点为A,右焦点为F,且AF=4. (1)求C的方程： (2过4且不与轴重合的直线与C的另一个交点为P,与直线=9交于点°，过4且平行于QF C 的 第23页/供26页 6学科网6组卷网 直线与直线PF交于点R. ①)若PO=2P4,求△AFR的面积： ()证明：存在定点G,使得 ARG=∠FRQ 。=1 【答案】(1)98： (2)(i)8,(i)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，列式求出即可 (2)）(①由已知求出点P的坐标，再借助平行关系求得RF=AF=4 进而求出面积：()由(i) F平分角∠PS,当PF不垂直于‘轴时，设出直线AP方程，并与椭圆方程联立求出点 O 的信息可得 P,O OF 坐标，借助二倍角的正切公式证得 2F平分角∠PFS,结合相似三角形性质推理得证 【小问1详解】 设F(c,0c>0),而4-a,0),则4F=a+c=4 a=3 又a2-c2=8,解得lc=1,则b=√a2-c2=2V2 所以C的方程为98 【小问2详解】 (①由A,P,卫共线，且4,0的横坐标分别为=-3，。=9，PO=2PA, 则由9-p=2(x+3),可得点P的横坐标为1，因F(L,0),则PFL轴 12.y2 由对称性不妨设p在第二一象限，由98一，得y三3，即P,人 =1 8 第24页/供26页 6学科网命组卷网 8 PA1 设09少由名C号%=8孩pe丰w-8二91. 3 设直线r=9与x精的交点为s,因lQs=8=FS,可和∠0四= 4, 又AR1/FQ,则 R4F=∠0s=吾，又R1维，则R==4, 所以aAFR的面积S.R)laF-RF=8 x=9 (ii)由(i)猜想 平分角<PFS OF 由1-3,0，设直线4P的方程为'=x+3k≠0)， y=k(x+3) 后+ =1消去，得 y(8+9k2)x2+54k2x+81k2-72=0 24-27k2 设P(飞y).则3x8+929可得=8492 24-27k248k】 则有8+9k2’8+9k2, Q(9,12k): 当PF斜率不存在时，由①)知=5，∠OFPS=∠PFO, 第25页/供26页 6学科网命组卷网 3+ 当，2时， 斜率存在， tan∠QFS=12k-3k,tan2∠QrS= 2=12k k+习 *4-9 3 PF 9-12 1(2 an∠PFS=y=l2k 且 x-14-9k2,则有2∠QFS=∠PFS,即∠QFS=∠PFQ, 由AR1/PO,符2R1F=∠OS.又∠RS=∠RF+∠AF=2∠OFS=2∠RF 于是∠ARF=∠R4F,RF=AF=4,设F关于直线x=9的对称点为K,则K(7,O), RFAR AR 取GI3,O):则AG=FK,△AFR”aFQK,则OF FK AG: ∠R4F=∠RFO,因t△FRQARG,∠ARG=∠FRO G(13,0)∠ARG=∠FRQ 所以存在定点 ,使得 x=9 第26页/供26页