精品解析：河北张家口市第九中学2025-2026学年下学期九年级数学自学学情测试试卷

2025-2026学年第二学期第一次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共16个小题，每题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 判断下列图形中的角是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 2. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一次函数的图象经过点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 6. 如图，点A，B，C在 上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加 米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 12. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 13. 如图，与是位似图形，则位似中心可以是（ ） A. 点M B. 点N C. 点Q D. 点P 14. 如图，点是 的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 15. 如图，一个半径为 的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在中，，分别以点为圆心、 的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题每小题4分，共16分） 17. 计算：______． 18. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为 ， 处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取 ） 19. 如图，， 的顶点A在射线上，顶点B在射线 上，已知，，连接 ．则 的最大值是_______． 20. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． 三、解答题（本大题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图．四边形的对角线 ， 相交于点，， ，点在上，． （1）求证：； （2）若 ，求证： ． 22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了 后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离，点P到 的距离， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求 的大小及 的值； （2）求 的长及的值． 23. 如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP. （1）求证：AP=BQ； （2）当BQ= 时,求的长(结果保留 )； （3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围. 24. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度 米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点 的坐标； （2）在点 处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线 的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共16个小题，每题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 判断下列图形中的角是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 2. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在 中，， ∴． 故选：B 3. 已知一次函数的图象经过点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将 ，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点 所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是 ， 故选：D． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式的图象与性质，由 的符号确定抛物线开口方向、由顶点式性质确定对称轴、最值及定点坐标即可得到答案，熟记抛物线顶点式的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数， A、由 可知，抛物线开口向下，选项错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线 ，选项错误，不符合题意； C、由 可知，抛物线开口向下， 有最大值，当 时，，选项错误，不符合题意； D、由抛物线顶点式性质，的顶点坐标是，选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，点A，B，C在 上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 7. 如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到抛物线(x-1)2+7，故顶点为(1，7)，根据轴对称的性质得到新图象的顶点坐标为(1，-7)，于是得到结论． 【详解】解：如图，∵抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7) ∵将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变， ∴新图象的顶点坐标为(1，-7)， ∴直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点， 故新图象与直线y=-7的交点个数是3个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键 8. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为 ，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为，若，则 与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴ 是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 11. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图 中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加米 B. 增加 米 C. 增加米 D. 减少 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作 ，延长 交于，则 ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴光源与小明的距离应减少 米． 故选：D． 12. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当 时， 随的增大而减小， 当时，， 当 时， ∴当时， ， 故选：B． 13. 如图， 与是位似图形，则位似中心可以是（ ） A. 点M B. 点N C. 点Q D. 点P 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 14. 如图，点是 的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接， ∵点是 的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 15. 如图，一个半径为 的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为 的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 16. 如图，在 中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得 ，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题每小题4分，共16分） 17. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得 处的俯角为 ，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取 ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，， 的顶点A在射线上，顶点B在射线 上，已知，，连接 ．则 的最大值是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过点C作 于点D，连接，则，在 中，有，当O，D，C三点共线时， 的值最大． 【详解】解：如图，过点C作 于点D，连接， ， ， ∴，点是 的中点， ∵， ∴， ∵在 中，， 当O，D，C三点共线时， 值最大， ∴ 的最大值为． 20. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． 【答案】 ①. 是 ②. ## 【解析】 【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论； （2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°， ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD， ∵∠ACE+∠FCD=90°， ∴∠ACE+∠CAG=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AB与CD是垂直的， 故答案为：是； （2）AB=2， ∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED， ∴，即， ∴， ∴AE=AB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题（本大题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图．四边形的对角线，相交于点，， ，点在上，． （1）求证：； （2）若 ，求证： ． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵ ， ∴ ， 即 . 【解析】 【分析】（1）先证明，结合， ，即可得到结论； （2）先证明，结合 即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了 后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离，点P到 的距离，的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求 的大小及 的值； （2）求 的长及的值． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解 ，如图，过作于，结合，设 ，则 ，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， ， ，， ∴，， ， ∴ ， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， 如图，过作于， ∵，设 ，则 ， ∴， 解得：， ∴ ， ∴． 23. 如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP. （1）求证：AP=BQ； （2）当BQ= 时,求的长(结果保留 )； （3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）4<OC<8. 【解析】 【分析】（1） 连接OQ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性质即可得证. （2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ，从而可得P、O、Q三点共线，在Rt△BOQ中，根据余弦定义可得cosB=， 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4， 结合题意可得 ∠QOD度数，由弧长公式即可求得答案. （3）由直角三角形性质可得△APO的外心是OA的中点 ，结合题意可得OC取值范围. 【详解】（1）证明：连接OQ. ∵AP、BQ是⊙O的切线， ∴OP⊥AP，OQ⊥BQ， ∴∠APO=∠BQO=90∘， 在Rt△APO和Rt△BQO中， ， ∴Rt△APO≌Rt△BQO， ∴AP=BQ. （2）∵Rt△APO≌Rt△BQO， ∴∠AOP=∠BOQ， ∴P、O、Q三点共线， ∵在Rt△BOQ中,cosB=， ∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ， ∴OQ=OB=4， ∵∠COD=90°， ∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°， ∴优弧QD的长=， （3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点， ∵OA=8， ∴OM=4， ∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC， ∴OC的取值范围为4＜OC＜8． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键． 24. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度 米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线 的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 【答案】（1）船轮廓线所在抛物线的解析式为 ，点的坐标为 ； （2） 解：能砸中， 将点 的坐标代入 ，得 ， 解得，， ， 当 时， 小球能砸到标志杆． （3）若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是 ． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，并且会求二次函数的解析式． （1）设出二次函数的顶点式，代入原点坐标，可得二次项系数，从而可得船轮廓线所在抛物线的解析式，代入点的纵坐标，可得点的横坐标； （2）把点的坐标代入小球所走路线的抛物线解析式，解得 的值，从而可得小球所走路线的抛物线的解析式，代入点的横坐标，通过计算判断抛物线与标志杆是否有交点即可； （3）根据二次函数图象的平移，可得在题设条件下小球所走路线抛物线的解析式，代入点的坐标，求出小球经过标志杆顶端对应的的值，即可确定满足题意的的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，设船轮廓线所在抛物线的解析式为， 将 的坐标代入，得 ．解得． ∴ ， 把代入抛物线解析式，得 ． 解得， ， （舍去）， 点B的坐标为 ， 答：船轮廓线所在抛物线的解析式为 ，点的坐标为 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 水面上涨2米，小船再向右移动米，小球所走路线抛物线的解析式为 若抛物线经过点 ，则 ， 解得， ， ． ． 答：若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $