精品解析：山东日照市东港区新营中学2025-2026学年下学期九年级学情自测数学试卷

山东省日照市东港区新营中学2025-2026学年下学期 九年级开学考试数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 2. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 下列几何体中，俯视图是三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从几何体的上面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得答案． 【详解】解：A.圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B.三棱锥的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C.长方体的俯视图是矩形，故此选项不合题意； D.六棱柱的俯视图是六边形，故此选项符合题意； 故选B. 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键． 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 分别利用同底数幂乘除运算法则以及结合幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则化简求出答案． 【详解】A、不能合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 6. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡的数量加上兔的数量等于35，鸡的脚的数量加上兔子的脚的数量等于94可列方程组． 【详解】解：若设兔子有x只，鸡有y只，则兔有条腿，鸡有只脚， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 8. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点，与交于点，作于，于，连接，，设与交点为，根据正六边的性质可知和是等边三角形，根据正六边形内切圆的半径为，可知，设，则，利用勾股定理可得，从而求出正六边形的边长为，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可知，从而可得，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如下图所示， 设与交于点，与交于点， 作于，于， 连接，，设与交点为， 六边形是正六边形， ，，，，，， 和是等边三角形， 正六边形内切圆的半径为， ， 设，则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得：， 正六边形的边长为， 过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据圆的基本性质和正六边形的性质找到两个阴影的关系． 9. 某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A. 位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖 C. 位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，掌握平移点的坐标规律：左减右加，上加下减是解题的关键． 【详解】解：点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点得坐标为， ∵点的横坐标和纵坐标相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵函数 与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，E，F，G，H四点分别在正方形的四条边上，．若，则的内切圆半径为___________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】设的内切圆圆心为点I，与分别相切于点P、Q、R，由正方形的性质得，设，由勾股定理得，，解得或，连接，设，令，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的内切圆圆心为点I，与分别相切于点P、Q、R， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，则， 当时，则， ∴及时，的形状和大小相同， 连接， 则， 设，令， ∵， ∴， 解得， ∴的内切圆半径为2， 【点睛】勾股定理求出三边的长，面积法求出内切圆的半径． 15. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， 当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值， ∵点E是的中点， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算平方，三角函数，0指数幂，负整数指数幂，再相加即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式化简，再去括号将除法转化为乘法，然后约分，最后将代入计算即可． 【详解】（1） ； （2） ， 将代入得原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由作图可知，． 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 18. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价9万元，型机器人单价为6万元． 【小问2详解】 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 19. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%，见解析 （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 20. 如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交于点F，连接，过点C的直线分别交的延长线于点G、N，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）OE 【解析】 【分析】（1）证明，得，根据切线判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则则，在中得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中：，即：， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】当直径垂直弦时，常连接圆心，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．当不能直接证明切线时，运用8字形和同弧对的圆周角相等作角和转化，证明切线的平行线，间接证明切线． 21. 下面为某中学科学探索小组的学生在完成“测量南淝河两岸距离”之后撰写的项目报告（部分）． 项目主题 测量南淝河两岸距离 项目背景 南淝河是合肥的母亲河，对其两岸距离的精确测量，有助于河道生态保护、景观规划以及桥梁建设等工作的开展．某中学科学探索小组决定开展测量南淝河两岸距离的实践活动． 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 测量过程 1．在南淝河南岸的点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角； 2．使用卷尺从点处沿南岸方向量取12米，到达点，在点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角． 请你根据报告中的测量数据，计算南淝河两岸之间的距离．（精确到1米．参考数据：，） 【答案】南淝河两岸之间的距离为48米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，一元一次方程的应用，过点作于点，设米，则，，根据米得关x的一元一次方程，解方程即可． 详解】解：如图，过点作于点， 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得， 答：南淝河两岸之间的距离为48米． 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过，求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可； （2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性分类讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数经过， ， ， ∴二次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口方向向上， ， ， ∴这个抛物线的顶点为， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴最低点， ∵， ∴当时，， ∴最高点， ∴，解得：， ∴点和点坐标为：； 【小问3详解】 解：①当时，如图所示： 则有当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， 又 ∵当时，总有，此时， ； ②当时，如图所示： 则有当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 又 ∵当时，总有，此时， 综上，当时，；当时，． 23. 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是_____ ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 【答案】探究感悟：8﹣4；深入探究：；拓展延伸： 【解析】 【分析】探究感悟：根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； 深入探究：分和两种情况进行讨论求解即可； 拓展延伸：连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】探究感悟：∵正方形，边长为4， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 深入探究：当时，如图，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； 拓展延伸：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市东港区新营中学2025-2026学年下学期 九年级开学考试数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A 1 B. 0 C. D. 2. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，俯视图是三角形的是( ) A. B. C. D. 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 6. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（　　） A. B. C. D. 9. 某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A. 位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖 C. 位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解___________ 12. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．若点横坐标和纵坐标相等，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 14. 如图，E，F，G，H四点分别在正方形的四条边上，．若，则的内切圆半径为___________ ． 15. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求代数式的值：，其中． 17. 如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． （1）求证：； （2）当时，求的长． 18. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 19. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 20. 如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交于点F，连接，过点C的直线分别交的延长线于点G、N，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 下面为某中学科学探索小组学生在完成“测量南淝河两岸距离”之后撰写的项目报告（部分）． 项目主题 测量南淝河两岸距离 项目背景 南淝河是合肥的母亲河，对其两岸距离的精确测量，有助于河道生态保护、景观规划以及桥梁建设等工作的开展．某中学科学探索小组决定开展测量南淝河两岸距离的实践活动． 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 测量过程 1．在南淝河南岸的点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角； 2．使用卷尺从点处沿南岸方向量取12米，到达点，在点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角． 请你根据报告中的测量数据，计算南淝河两岸之间的距离．（精确到1米．参考数据：，） 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过，求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 23. 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是_____ ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $