精品解析：山东省日照市东港区北京路中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

北京路中学九年级寒假开学考试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 3. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　） A. 24.24千米 B. 72.72千米 C. 242.4千米 D. 727.2千米 【答案】D 【解析】 【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可． 【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得 解得： ∴等腰三角形底边长为毫米千米． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算． 4. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 5. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 6. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 8. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 9. 不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组有3个整数解，可得答案． 【详解】解：不等式组， 由﹣x＜﹣1，解得：x＞4， 由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a， 故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a， 由关于x的不等式组有3个整数解， 得：7≤2﹣a＜8， 解得：﹣6＜a≤﹣5． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键． 10. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 14. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求和公式列出算式，再依据裂项求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式，并熟练掌握，是解题的关键． 15. 已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为_． 【答案】7 【解析】 【详解】分析：∵共有9个1位数，90个2位数，900个3位数， ∴2013﹣9﹣90=1914，1914÷3=638． ∴第2013个数字是第638个3位数的第3位． ∵第638个数为637，∴第638个3位数第3位是：7． ∴在该数中从左往右数第2013位上的数字为：7． 16. 定义：表示不大于的最大整数，例如：，．有以下结论： ；；；存在唯一非零实数，使得． 其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式，根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题，明确题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解：，故正确； ，故正确； ，故正确； 若时，，，若时，，， 则，故错误； 故答案为：． 三、解答题（72分） 17 （1）计算： （2）先化简，再求值：，并从，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、有理数的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、有理数的乘方可以解答本题； （2）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后从，0，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 当等于或2时，分式无意义， 当时，原式． 18. （1）解方程组： （2）解分式方程： （3）解不等式组 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，分式方程，一元一次不等式组，一元二次方程，熟练进行计算是解题的关键． （1）先将第二个方程变形，用含的代数式表示，再代入第一个方程求出，将的值代入第二个方程求出的值； （2）通分去分母，再解一元二次方程即可； （3）分别解两个不等式，再把解集合并即可． 【详解】解：（1）， 解②得③， 把③代入①可得， 解得， 把代入③，可得， 是方程组的解； （2）， ， ， 解得， 经检验，当时，分母为， 是方程的解； （3）， 解①得， 解②得， 不等式的解集为． 19. 人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程的另一个根． 【答案】（1）-5 （2）3 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值. （2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根. 详解】解：（1）分式方程去分母得：m－1＋x=0， 由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2， ∴当m=2时，关于x的方程无解， 将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=－5； （2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3， ∴方程的另一个根是3. 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式： （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； 【小问3详解】 解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 21. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示． （1）请解释图中点的实际意义； （2）求出图中线段所表示的函数表达式； （3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【答案】（1）快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 （2） （3）小时 【解析】 【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解； （2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 【小问2详解】 解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为， 此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为， ∴ 设直线的表达式为 ∴ 解得： ∴直线的表达式为 【小问3详解】 解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则， 解得： ∴甲乙两地的距离为千米， 设快车返回的速度为千米/小时，根据题意， 解得：， ∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）；；； （2） （3）b的值为或． 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； 【小问2详解】 解：，， ， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京路中学九年级寒假开学考试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A -2 B. 2 C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　） A. 24.24千米 B. 72.72千米 C. 242.4千米 D. 727.2千米 4. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 6. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 9. 不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 因式分解：___________． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 14. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算______． 15. 已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为_． 16. 定义：表示不大于的最大整数，例如：，．有以下结论： ；；；存在唯一非零实数，使得． 其中正确是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，并从，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. （1）解方程组： （2）解分式方程： （3）解不等式组 19. 人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k值； （2）求方程的另一个根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式： （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示． （1）请解释图中点的实际意义； （2）求出图中线段所表示的函数表达式； （3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $