第一章三角形的证明专项训练培优（10大知识点&+单元强化练习） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

数学第一章专项训练培优（10大知识点&+单元强化练习）原卷版 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点3 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点4：等腰三角形的性质与判定 类别 内容 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等 性质2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 拓展性质 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等 知识点5：等边三角形的性质与判定 类别 内容 性质 ①三边都相等；②三个内角都相等，且每个角都为；③具备等腰三角形的所有性质 判定1 三边都相等的三角形是等边三角形 判定2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 知识点6：直角三角形的性质与判定 1.性质 直角三角形的两个锐角互余； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为、，斜边为，则； 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 2.判定 有一个角是的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 知识点7：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 4.三角形性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等（外心）。 知识点8 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点9 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点10：命题与逆命题、定理与逆定理 1.每个命题都有逆命题，将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题； 2.真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题也不一定为假； 3.每个定理都有逆命题，但只有当逆命题为真命题时，才称为原定理的逆定理； 4.常用的互逆定理：勾股定理与勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理。 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是的外角，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，中，是边的中线，有，垂足为点交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论： ①；②； ③；④； 错误的有（    ）个． A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在直角三角形中，．若，则 ． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，,D是边的中点，在的延长线上取一点E,连接并延长，交边于点F．若，则的长为 ． 9．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 12．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则__________； (2)当时， ①如图2，连接，当时，求的长； ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上一动点．当的值最大时，探索与之间的数量关系． 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第一章专项训练培优（10大知识点&+单元强化练习）解析版 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点3 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点4：等腰三角形的性质与判定 类别 内容 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等 性质2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 拓展性质 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等 知识点5：等边三角形的性质与判定 类别 内容 性质 ①三边都相等；②三个内角都相等，且每个角都为；③具备等腰三角形的所有性质 判定1 三边都相等的三角形是等边三角形 判定2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 知识点6：直角三角形的性质与判定 1.性质 直角三角形的两个锐角互余； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为、，斜边为，则； 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 2.判定 有一个角是的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 知识点7：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 4.三角形性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等（外心）。 知识点8 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点9 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点10：命题与逆命题、定理与逆定理 1.每个命题都有逆命题，将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题； 2.真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题也不一定为假； 3.每个定理都有逆命题，但只有当逆命题为真命题时，才称为原定理的逆定理； 4.常用的互逆定理：勾股定理与勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理。 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是的外角，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于F， 在中，， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，中，是边的中线，有，垂足为点交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论： ①；②； ③；④； 错误的有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质，灵活构造辅助线并运用全等三角形的判定定理是解题的关键．通过证明多组三角形全等，分别对四个结论进行逐一验证，进而判断结论的正确性． 【详解】解：如图，作交延长线于， ，，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，，故②③正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，，故①④正确． 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在直角三角形中，．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，,D是边的中点，在的延长线上取一点E,连接并延长，交边于点F．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识. 过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：． 9．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】15或30或60 【分析】设，当点E在线段上时， 由折叠的性质可求，分当时，当时，当时，三种情况讨论；当点在线段的延长线上时，，是钝角等腰三角形，只能．由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， 当点在线段上时， ∵将沿翻折至处， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴不存在； 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 由折叠可知，， ∴， ∴是钝角等腰三角形， ∴只能， ∴， 在中，， ∴． 综上，的度数或或． 故答案为：15或30或60． 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，分类讨论，是解题的关键． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 是的平分线， （2） 12．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其外角性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 即的周长为． 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）证明，即可证明； （2）分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形内角和的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； ； 当时， ， ， 这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角矛盾，不成立； 综上所述，等于或． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 【答案】(1)3 (2) (3)当全等时，a的值为或 【分析】（1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵边长为的等边三角形， ∴， 如图1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒， ∴，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，， 故答案为：3； （2）解：①当点Q在边上时，如图2.1， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，如图2.2， 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，点从A向B运动到中点时静止， ∴，点运动的时间为， ∵，点M以每秒的速度从点B向C运动， ∴点的运动时间为； 由题意可知：， ∴， 若，则， ∴， 解得，，此时点在线段的中点处，处于静止， ∴， ∴， 解得：， 若，则， ∴， 解得，，此时点在未到线段的中点出，处于运动， ， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则__________； (2)当时， ①如图2，连接，当时，求的长； ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上一动点．当的值最大时，探索与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． （1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①根据（1）中的方法得到，证明是等边三角形；则；②作点关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明和，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①如图2中， ∵点E是线段的垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据证明，得出，再根据，即可得到； （3）根据证明，得出，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在的数量关系为．理由： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $