精品解析：北京第十三中学分校2025－2026学年度第二学期九年级寒假作业验收数学试卷

2025-2026学年度北京市第十三中学分校第二学期 九年级寒假作业验收数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷． 2．本试卷满分100分，考试时间50分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定等于0 D. 是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 是由中国 初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 分解因式：_______． 11. 方程的解为___________． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为______ ． 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标为______． 14. 某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 15 25 10 10 根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为______台． 15. 如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 三、解答题（本大题共7个小题．共52分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 21. 在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A． （1）求证：△DCF∽△CEB； （2）若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长． 22. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在弦上，过点作半圆的切线交射线于点，与半圆交于点，且． （1）求证：平分 ； （2）若半圆的半径为，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北京市第十三中学分校第二学期 九年级寒假作业验收数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷． 2．本试卷满分100分，考试时间50分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A.∵，故选项错误,符合题意； B.∵，则，故选项正确，不符合题意； C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意； D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长 至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长 至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定等于0 D. 是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，先将点A、B代入反比例函数解析式求出，，再相加即可. 【详解】解：∵点A、B在反比例函数图象上 ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B. 5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 6. 是由中国 初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示应为． 故选：D． 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的性质与判定，切线长定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．题中已判定出直线和是的两条切线，可得，则在 与，利用，，即可判定，其判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即可解决． 【详解】解：∵题中判定出直线和是的两条切线， ∴， 在 与， ， ∴， 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D． 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解． 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 如图，的直径 平分弦（不是直径）．若，则的大小为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵直径 平分弦， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把点分别代入和得 的值，再联立方程组，解方程可得B的坐标． 【详解】解：把点代入得， ， ∴； 把点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 联立方程组得， 解得或，经检验符合题意； ∵， ∴； 故答案为：． 14. 某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 15 25 10 10 根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为______台． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本所占比例估计总体数量，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用． 用乘以智能音箱中响应时间小于1秒的音箱所占的比例即可． 【详解】解：估计3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为台． 故答案为：． 15. 如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点 ，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是四边形的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有 条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果 条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过推理即可求解； （）通过推理即可求解． 【详解】解：（）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线最合适，零件生产 天共个，零件生产天共个，天正好可以生产 个， 故答案为：； （）整体比较各条流水线的产能， ，， ， 流水线 只生成最合适，天生成 个； 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 产能最高的流水线，负责调配差额，讨论可得，天生产个， 天生成个， 综上可得，天共生成个零件， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题．共52分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点，此时必定不满足题意；当，可求出关于x的不等式的解集为，根据当 时不等式要成立得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴ ， ∴该函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点， 而当 时，反比例函数的图象在第一象限， 故此时不能满足当 时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， 当，且时，则， ∴， ∴， ∵当 时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 21. 在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A． （1）求证：△DCF∽△CEB； （2）若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BE= 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故△DCF∽△CEB． （2）过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H，由题意可设EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得BE=． 【小问1详解】 证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC ∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180° ∵∠DFE+∠DFC=180° 又∵∠DFE=∠A ∴∠DFC=∠B ∴△DCF∽△CEB 【小问2详解】 ∵△DCF∽△CEB ∴∠CDF=∠ECB ∴tan∠CDF= tan∠ECB= 过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H 在Rt△CEH中 ∴设EH=x，CH=2x ∴CE= ∵CE= ∴x=3，则有EH=3，CH=6 ∵BC=4 ∴BH=6-4=2 在Rt△EBH中有BE= 则BE= 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键． 22. 如图， 为半圆的直径，点在半圆上，点在弦上，过点作半圆的切线交射线于点 ，与半圆交于点，且． （1）求证：平分 ； （2）若半圆的半径为 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 为半圆的直径，是半圆的切线， ∴ ，， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平分 ； （2） 【解析】 【分析】（）由切线的性质和圆周角定理可得， ，再根据等腰三角形和对顶角的性质得 ，即得 ，即可求证； （）连接，设 ， ，由等腰三角形的性质得 ，即得 ，进而由 可得 ， ，得到 ，即得 ，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴设 ， ， ∵ 为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵半圆的半径为 ， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， 在 中， ∵ ，， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段 有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得 ，，又抛物线与线段 有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解： 令，即， 解得 ，， 又∵抛物线与线段 有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； 【小问3详解】 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将 代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $