精品解析：辽宁盘锦市双台子区第一中学2025-2026学年下学期九年级寒假学情反馈 数学试卷

双区一中2025—2026第二学期九年级寒假学情反馈 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数，若公元前年记作年，则公元年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线与直线，分别相交于，两点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法：①当时，分式有意义；②长为，宽为的矩形面积一定比2大比3小；③反比例函数的图象位于第一、三象限；④命题“对顶角相等”的逆命题也是真命题，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，若，，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 9. 电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年北京天安门阅兵仪式中，某型装备的射程可达2850000米．将2850000用科学记数法表示为______． 12. 如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是_____． 13. 某商场为了拓展销路决定把进价为120元的商品打8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_______元． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． （1）求甲、乙两种盘锦大米的单价； （2）若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 18. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 20. 图1是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图2所示的平面示意图，四边形，为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗，已知，雕塑总高（点到的距离）为，基座上的团旗柱，点在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）请通过计算说明团旗柱与斜面的位置关系． （结果精确到．参考数据：） 21. 已知：如图，四边形是的内接四边形，，是的直径，过点C作的切线，交延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 22. 图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，，F为边的中点，E，G为上的两个动点（点E在点G的左侧），将沿折叠得到，使点C的对应点H落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点E，G在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）若点E，G在射线上，连接，过点G作交于点P，连接，若，直接写出的面积． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双区一中2025—2026第二学期九年级寒假学情反馈 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数，若公元前年记作年，则公元年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 本题考查相反意义的量，理解公元前与公元后的表示方法是解题关键． 【详解】解：∵公元前500年记作年，∴公元年应记作年，即年． 故选：A． 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘除运算，涉及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中计算错误，不符合题意； B、，选项中计算正确，符合题意； C、，选项中计算错误，不符合题意； D、，选项中计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，直线，直线与直线，分别相交于，两点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线．先根据垂直的定义和平角求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图： ∵于点A，， ∴， ∵直线， ∴， 故选：B． 6. 下列说法：①当时，分式有意义；②长为，宽为的矩形面积一定比2大比3小；③反比例函数的图象位于第一、三象限；④命题“对顶角相等”的逆命题也是真命题，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：判断分式有意义的条件： 分式有意义要求分母不为0，对于分式，即， 正确． 计算矩形面积并估算范围： 矩形面积长宽， 面积， 又， 面积比大比小，正确． 判断反比例函数图象象限： 反比例函数中，， 它的图象位于第二，四象限，错误． 判断逆命题的真假： “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角， 逆命题是假命题，错误． 综上，正确的说法共有个． 7. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先画出树状图，可得所有可能结果数，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能结果，然后即可求出甲、乙两个小组选择同一剧种的概率．本题考查列表法或树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 【详解】解：依题意，晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别用、、、表示， 树状图如下， 由上可得，一共有16种等可能性，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能性有4种， 甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为， 故选：C． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，若，，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得出都是等腰直角三角形，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转的性质得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 9. 电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，第一天票房为3000万元，三天累计票房为2.4亿元（即24000万元），每天增长率相同为x．累计票房包括第一天、第二天和第三天的票房之和，其中第二天票房为万元，第三天票房为万元，因此列方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 10. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年北京天安门阅兵仪式中，某型装备的射程可达2850000米．将2850000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减．根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案． 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故答案为：． 13. 某商场为了拓展销路决定把进价为120元的商品打8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_______元． 【答案】165 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据利润公式，售价=进价×（利润率），结合折扣，列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元，打8折后售价为元， 获利10%即利润为进价的10%， 所以售价元， 因此， 解得． 故答案为：165． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，点M、N分别是边、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）3 【解析】 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算加减法； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 本题考查了实数的运算以及分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． （1）求甲、乙两种盘锦大米的单价； （2）若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 【答案】（1）甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克 （2）500千克 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种盘锦大米的单价分别为x元每千克，y元每千克， 则， 解得， 即甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克． 【小问2详解】 解：设购进甲种盘锦大米m千克， 则， 解得， 即超市最多购进甲种盘锦大米500千克． 18. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：9；8 任务2：综合成绩最高的是B款机器人 任务3：选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断 B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴， ∴测试员对 B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：（1）由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； （2）的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：（分） 的综合成绩为：（分） ， 机器人的综合成绩最高； （3）略 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵轴于点，即， ∴四边形是矩形； （2）当时，的值最大，最大值是8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，一次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点，求得关于m的表达式是解题的关键． （1）根据对边相等且平行的四边形为平行四边形，再结合轴，即可证得结论； （2）先求得点C的坐标，根据点P的坐标得到点E的坐标，从而得到点B的坐标，进而得出，然后根据，结合矩形的性质，可得关于m的表达式，最后利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，轴，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵直线与轴交于点， 令，则，解得， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∴当时，的值最大，最大值是8． 20. 图1是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图2所示的平面示意图，四边形，为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗，已知，雕塑总高（点到的距离）为，基座上的团旗柱，点在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）请通过计算说明团旗柱与斜面的位置关系． （结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2）团旗柱与斜面平行 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点F作于点P，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出即可； （2）过点A作于点Q，求出，解直角三角形得出．根据平行线的性质证明．根据平行四边形的性质得出，根据平行公理得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：基座由两个全等的平行四边形（，）组成，如图，过点F作于点P． ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴平行四边形基座的高度约为； 【小问2详解】 解：雕塑总高，平行四边形基座的高度为，如图，过点A作于点Q． ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴团旗柱， ∵基座是平行四边形， ∴， ∴， 即团旗柱与斜面平行． 21. 已知：如图，四边形是的内接四边形，，是的直径，过点C作的切线，交延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】对于（1），先根据“弧，弦，圆心角”的关系得出，进而得出，再根据“等边对等角”得，即可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”得，接下来结合切线的性质得出答案； 对于（2），设，可得再表示出，即可得出，然后根据圆内接四边形的性质得，同时结合，可求出，最后根据弧长公式得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长． 22. 图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，，F为边的中点，E，G为上的两个动点（点E在点G的左侧），将沿折叠得到，使点C的对应点H落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点E，G在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）若点E，G在射线上，连接，过点G作交于点P，连接，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）①线段和线段之间的关系为，，理由如下： ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵F为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段和线段之间的关系为，； ②；（2）或 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可得，，结合题意得出，由等边对等角得出，再结合三角形外角的定义及性质可得，从而得出，证明，由相似三角形的性质即可得出结果；②连接交于点，连接交于点，证明，再由正切的定义并结合勾股定理计算即可得出结果； （2）分两种情况；当点、在边上时，过点作于点，连接；当点、在射线上时，过点作于点，连接，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：（1）①略． ②如图，连接交于点，连接交于点， ， ∵将沿折叠得到，使点C的对应点H落在线段上， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵F为边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴在中，，在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，当点、在边上时，过点作于点，连接， ， 由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点、在射线上时，过点作于点，连接， ， 由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】折叠之后对应边相等、对应角相等；采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，．②的值为．③或 【解析】 【分析】（1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． 【小问2详解】 解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，． ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 【点睛】本题考查新定义的理解与应用，二次函数解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，函数与方程的综合应用，分段函数的最值与取值范围，准确理解新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $