精品解析：黑龙江大庆市第五十一中学2025-2026学年七年级（五四制）下学期学情自测数学试卷

大庆市第51中学开学测试 初二数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. （ ） A. 0 B. 1 C. -2025 D. 3. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在射线上．若，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 7. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 8. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 9. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案面积大约为（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A 32 B. 64 C. 128 D. 256 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 计算：______． 12. 如图，直线相交于点O，则_______． 13. 等腰三角形的两边长分别为6和4，则该三角形的周长为______． 14. 如图，把矩形沿折叠，若，则的度数为_______． 15. 我们要节约用水，平时要关好水龙头．据测试，若没有关好水龙头，水龙头每分钟滴60滴水，每滴水约．如果小亮忘记关水龙头，则后，小亮浪费的水与时间之间的函数关系是______． 16. 若，则值是__________． 17. 若，，则的值为________． 18. 光线在不同介质中传播会发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行．若，则______°（用含的代数式表示）． 19. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 20. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题（共6小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： （1）袋子里蓝球有多少个？ （2）任意摸出1个红球概率是多少？ 24. 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． （1）求证：； （2）试探究与数量关系． 25. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. （1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第51中学开学测试 初二数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. （ ） A. 0 B. 1 C. -2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的运算，根据进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B 3. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数时，形式为，其中， 为整数．确定的值时，看原数变成时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵ 1300000 的小数点向左移动 6 位得到 1.3， ∴，即． 故选：C． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解∶A、，计算正确，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项符合题意； 故选∶D． 5. 如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 6. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断． 【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，， ∴距离一定不大于， 故选：C． 7. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得： ， 即， 结合各选项数值可知，第三边长可能是6， 故选：A． 8. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 求出，， ，，，可得到规律，即可求解． 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 故选：B 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可． 【详解】 ． 12. 如图，直线相交于点O，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两边长分别为6和4，则该三角形的周长为______． 【答案】16或14 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分腰长为4和腰长为6两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为6和4，腰长有两种情况，分别为4或6． 若腰长为4，底边长为6，此时三边长为4，4，6，满足，符合三角形三边关系，周长为； 若腰长为6，底边长为4，此时三边长为6，6，4，满足，符合三角形三边关系，周长为． 综上所述，该三角形的周长为16或14． 14. 如图，把矩形沿折叠，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形翻折变换，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变．根据题意求出，再由折叠的性质推出，知由矩形的性质得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得， 四边形纸片是矩形纸片， ∴， ∴． 故答案：． 15. 我们要节约用水，平时要关好水龙头．据测试，若没有关好水龙头，水龙头每分钟滴60滴水，每滴水约．如果小亮忘记关水龙头，则后，小亮浪费的水与时间之间的函数关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本体考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量毫升水龙头每分钟滴出60滴水毫升滴水时间，即可求解． 【详解】根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量毫升水龙头每分钟滴出60滴水毫升滴水时间，根据等量关系列出函数关系式． 故答案为：． 16. 若，则值是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：17． 17. 若，，则的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 18. 光线在不同介质中传播会发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行．若，则______°（用含的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案． 【详解】解：由平行线的性质可得，则， ， ， 故答案为：． 19. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 20. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三、解答题（共6小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可； （2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘多项式运算法则，完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： （1）袋子里蓝球有多少个？ （2）任意摸出1个红球的概率是多少？ 【答案】（1）蓝球有9个 （2） 【解析】 【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据概率求出总数，进行求出蓝球的个数即可； （2）直接根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（个）； 答：蓝球有9个； 【小问2详解】 任意摸出1个红球的概率是． 24. 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【小问1详解】 证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ． ． 25. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 26. （1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）利用配方法得出最小值即可； （2）利用非负数的性质得出、、的值，进一步求得周长即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式取得最小值是． （2）， ， ，，， ，．， 周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $