精品解析：山东菏泽市郓城县郓城县第一初级中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

初三数学阶段性质量检测（寒假开学） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，答案填在后面表格内） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可． 【详解】解：A. ，故A 选项错误； B. ，故B 选项错误； C. ，故B 选项错误； D. ，故D 选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键． 2. 下列因式分解正确是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案． 详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 3. 一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：设上山的路程为x千米， 则上山的时间小时，下山的时间为小时， 则上、下山的平均速度千米/时． 故选D． 【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 4. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可． 【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4， 此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4； ②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3； 综上，k的值为3或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形． 5. 已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≤3且m≠2 C. m＜3 D. m＜3且m≠2 【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围. 【详解】=1， 解得：x=m﹣3， ∵关于x的分式方程=1的解是负数， ∴m﹣3＜0， 解得：m＜3， 当x=m﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2， 故m的取值范围是：m＜3且m≠2， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键． 6. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为：2，3，4， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组． 7. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积． 【详解】作BD⊥BC交y轴于D， ∵轴，， ∴四边形ACBD是矩形， ∴S矩形ACBD=6+2=8， ∴的面积为4． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质． 8. 已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3， ∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3）， ∵1>0，开口向上， ∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大， ∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15， ∴当x=a时，y=15， ∴2（a-1）2-3=15， 解得：a=4或a=-2（舍去）， 故a的值为4． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 9. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得4a＋b＝0，故②正确； 由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时， x＜－2或x＞6，故③错误， 由图像可知，当x＝1时，，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可． 【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知，则的值是__________； 【答案】10 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a，b计算即可； 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是10． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值． 【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3， 当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3． 故答案为3． 【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 13. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是_______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查动点的函数图象、勾股定理和三角形的面积，根据动点的函数图象推理线段的长度是解题的关键． 首先根据函数图象不断增大得到，再根据曲线图象得到，，即可计算的面积． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， ∴由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为10，即， 当点P在上运动时，先减小再增大， ∵M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴此时， ∵由于图象的曲线部分是轴对称图形，图象右端点函数值为10， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：48． 14. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可 【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点． 故答案为：1或 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质． 15. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由题意易得BE=AB=2cm，进而可得∠EBC=30°，∠ABE=60°，然后可得EC=1cm，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：连接BE，如图所示： 由题意得BE=AB=2cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴∠EBC=30°，∠ABE=60°， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题的关键． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的最小整数解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值、代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可； （2）先将分式化简，再解不等式组得到a的值，最后将a的值代入计算． 【详解】解：（1） ． （2） ， ， 解①得， 解②得， ∴该不等式组的解集是， ∵是不等式组的最小整数解， ∴， 代入，则原式． 17. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3 【解析】 【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D， 在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝． ∴OD＝2，即点D（0，2）， 把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣， ∴直线的关系式为y1＝﹣x+2； 把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9． （3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键． 18. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内； （3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人． 【答案】（1）24人；（2）C组；（3）150人． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数； （2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可； （3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案． 【详解】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%， ∴本次抽取的总人数为：（人）， ∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）； （2）∵总人数为60人， ∴中位数为第30,31个人成绩的平均数， ∵，且 ∴中位数落在C组； （3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：， 故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组的学生人数有：（人）． 【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为8，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵矩形中， ∴在中，． 21. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 【解析】 【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得 与x之间的函数关系式是． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ∴抛物线开口向下，W有最大值 当时， 答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 22. 如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出，根据圆周角定理得到，推出，即可得出结论； （2）根据得出，再根据勾股定理得出CE即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 由（1）知， 在和中， ∵，， ∴， 即， ∴， 在中， ，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）求线段AC的长； （2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长； （2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可； （3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可． 【小问1详解】 与x轴交点： 令y=0，解得， 即A（-1，0），B（3，0）， 与y轴交点： 令x=0，解得y=-3， 即C（0，-3）， ∴AO=1,CO=3, ∴; 【小问2详解】 抛物线的对称轴为：x=1， 设P（1，t）， ∴，， ∴ ∴t=-1， ∴P（1，-1）； 【小问3详解】 设点M（m,m2-2m-3）， ， ， ①当时， ， 解得，（舍），， ∴M（1，-4）； ②当时， ， 解得，，（舍）， ∴M（-2，5）； ③当时， ， 解得，， ∴M或； 综上所述：满足条件的M为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学阶段性质量检测（寒假开学） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，答案填在后面表格内） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C D. 3. 一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时． A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≤3且m≠2 C. m＜3 D. m＜3且m≠2 6. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，是直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知，则的值是__________； 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____. 13. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是_______． 14. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 15. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为_______． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的最小整数解． 17. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 18. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求大小及的值； （2）求的长及的值． 19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内； （3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人． 20. 如图，菱形对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为8，，求的值． 21. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）求线段AC的长； （2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $