精品解析：山东省菏泽市郓城第一中学2024-2025学年九年级下学期第开学考试数学试题

初三寒假作业质量检测数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 2. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 4. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形ABCD边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16 9. 如图所示，在中，，过，两点⊙O交于点，交于点，连接并延长交⊙O于点，连接，，若，，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 12. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____． 13. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 14. 已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 15. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 16. 如图，在中，点在边上，与边分别相切于两点，与边交于点，弦与平行，与的延长线交于点若点是的中点，，则的长为_____． 三、解答题（共72分） 17. 四边形为矩形，E是延长线上的一点． （1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形． 18. 某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． （1）当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ （2）从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 20. 2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科． （1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是_______； （2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到学科恰好是历史和地理的概率． 21. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 22. 已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24) 23. 如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且． （1）求点A、、C的坐标及二次函数解析式； （2）假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三寒假作业质量检测数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选A． 【点睛】此题主要考查简单组合图的三视图，解题的关键是熟知三视图的定义. 2. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且 ， 解得，且， 当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根 综上， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 3. 如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形． 【详解】解：如图1, 过A作AI⊥BC垂足为I ∵是边长为1的等边三角形 ∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI= ∴AI= ∴S△ABC=,故①正确； 如图2，当D与C重合时 ∵∠DBE=30°，是等边三角形 ∴∠DBE=∠ABE=30° ∴DE=AE= ∵GE//BD ∴ ∴BG= ∵GF//BD,BG//DF ∴HF=BG=,故②正确； 如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN ∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN ∵∠3=30° ∴∠2+∠4=∠1+∠4=30° ∴∠NBE=∠3=30° 又∵BD=BN，BE=BE ∴△NBE≌△DBE（SAS） ∴NE=DE 延长EA到P使AP=CD=AN ∵∠NAP=180°-60°-60°=60° ∴△ANP为等边三角形 ∴∠P=60°，NP=AP=CD 如果AE+CD=DE成立，则PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立； 如图1，当AE=CD时， ∵GE//BC ∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60° ∴∠AGE=∠AEG=60°， ∴AG=AE 同理：CH=CD ∴AG=CH ∵BG//FH,GF//BH ∴四边形BHFG是平行四边形 ∵BG=BH ∴四边形BHFG菱形，故④正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 4. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 三角形为等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，设长为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比． 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当x=1时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 7. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，点A的坐标为，，求出OB，得到点B坐标，证明和全等，得点C坐标，代入，求出k，得解析式； 【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象过点C， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键． 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可． 【详解】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键． 9. 如图所示，在中，，过，两点的⊙O交于点，交于点，连接并延长交⊙O于点，连接，，若，，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由所求想到勾股定理，则需要将边AE和边BE放到同一个直角三角形中，边BE已经在中，那只需证明出AE=BF，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是的直径，∴， ∴，∴，∴， ∵ ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理和圆的基本性质，本题的解题关键是：利用圆内接四边形对角互补及邻补角互补证明角相等，再利用勾股定理得到答案． 10. 如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵顶点坐标（1，n）， ∴对称轴为直线x=1， ∴ =1，∴b=﹣2a＞0， ∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点）， ∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0， ∴a﹣（﹣2a）+c=0， ∴c=﹣3a， ∴3≤﹣3a≤4， ∴﹣≤a≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴当x=1时，函数有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确； 一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误． 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 【答案】1∶3 【解析】 【分析】先设四边形和四边形的边长为x，然后根据AEM∽ABC可得，进而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴设四边形和四边形的边长为x， 则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC， ∵AD⊥BC， ∴PD＝EF＝x， ∵AD＝5， ∴AP＝AD－PD＝5－x， ∵EMBC， ∴AEM∽ABC， ∴， ∴， 解得：x＝2.5， ∴AP＝2.5，EM＝5， ∴S△AEM＝＝， 又∵S△ABC＝＝25， ∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM ＝25－ ＝， ∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3， 故答案为：1∶3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 12. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____． 【答案】100． 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，=0.03， 解得，n=100， 故估计n大约是100， 故答案为100. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值． 【详解】小正方形的面积为1，则小正方形的边长为， 如图，延长交于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， ， 设， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 即① ② 联立 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 14. 已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标． 【详解】解：∵点A为直线上一点， ∴设点A坐标， 则点B的坐标为， ∵点B在双曲线上， 将代入中得： ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键． 15. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】14． 【解析】 【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可． 【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米， （米）， （米）； 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算． 16. 如图，在中，点在边上，与边分别相切于两点，与边交于点，弦与平行，与的延长线交于点若点是的中点，，则的长为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接交于，根据已知条件可得出，点是的中点，再由垂径定理得出CE垂直平分，由此得出是等边三角形，又因为BC、AB分别是的切线，进而得出是等边三角形，利用角之间的关系，可得出 ，从而可得出OD的长. 【详解】解：连接设交于． 与相切于点， 于． ． ， ． ． 点是的中点； ， ， 是的中点， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 分别是的切线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的半径为． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点有圆的切线定理，垂径定理，以及等边三角形的性质等，解题的关键是结合题目作出辅助线. 三、解答题（共72分） 17. 四边形为矩形，E是延长线上的一点． （1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再根据一组对边平行且相等证明即可； （2）先证矩形是正方形，再证，得出，再证即可． 【详解】证明：（1）∵是矩形， ，， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）， ∴矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明． 18. 某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． （1）当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ （2）从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 【答案】（1）A城生产20件，最小值是5700万元； （2）从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小． 【解析】 【分析】（1）设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元）， 则 ， ∴当时，取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元； 【小问2详解】 设从A城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（万元）， 由题意得：， 解得， ， 根据一次函数的性质可得： P随n增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为110， ∴从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件； 从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使A、两城运费的和最小． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解； （2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， 把点A、B作代入直线解析式得：，解得：， ∴； （2）由（1）可得：，， ∵轴， ∴， ∴点A到PB的距离为， ∴； （3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 20. 2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科． （1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是_______； （2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率公式即可得； （2）先画出树状图，从而可得黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果，再找出抽到的学科恰好是历史和地理的结果，然后利用概率公式即可得． 【详解】解：（1）黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果， 则黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是， 故答案为：； （2）将物理、化学、历史三个学科分别记为，将道德与法治、地理、生物三个学科分别记为， 画树状图如下： 由此可知，黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，抽到的学科恰好是历史和地理的结果只有1种， 则所求的概率为， 答：黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率是． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 21. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 22. 已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24) 【答案】13.4km 【解析】 【分析】根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，从而得出tan∠BAH＝，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，从而得出答案． 【详解】解：根据题意得：BC＝40×＝10 在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8， ∴AB＝ 如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H， 在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°， ∴tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH． 又∵BH2＋AH2＝AB2，即BH2＋(2BH)2＝202， ∴BH＝4， AH＝8． 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2， 即（4）2＋CH2＝102，解得CH＝2； ∴AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4 答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km 23. 如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且． （1）求点A、、C的坐标及二次函数解析式； （2）假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令，求出x的值，即可得出点A和点C的坐标，根据，得出，把点代入，求出a的值，即可得出二次函数解析式； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，证明，得出，得出，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当时，点在的下方，如图，当时，点在的上方，过作轴于，即可解答． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，得到， 解得或， ， ， ， ， 把代入中得：， ， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为：， 由题意可设， 则， 在中，根据勾股定理，得， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， ， 当时，有最大值是； 【小问3详解】 解：， ， 由对称得：抛物线的对称轴是：， ， 设抛物线的对称轴与轴相交于点，当为直角三角形时，存在以下三种情况： 如图，当时，点在的下方， ， ， ， ∴， ，即， ， ； 如图，当时，点在的上方，过作轴于， 同理得：， ，即， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，求二次函数最值的方法． 24. 【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当当，可得到，证明方法同法（2）； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】（1）延长到点G，使， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 延长到点G，使， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接． 则：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$