精品解析：湖南衡阳市第十四中学等校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2026年初三入学学情摸底测试 试卷说明：本卷共三大题26小题，共计120分，时量120分钟 一、单选题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ） A. 张冠李戴 B. 水中捞月 C. 瓮中捉鳖 D. 拔苗助长 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 7. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时有最小值 C. 顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减少 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H，给出下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③ 二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 使在实数范围内有意义的应满足的条件是________． 12. 计算：_______． 13. 已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为___________． 14. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是 ___________． 15. 已知二次函数与x轴没有交点，则a的取值范围是___________． 16. 如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 三、解答题。（共72分，请写出必要解答过程或说明过程） 17. 计算或解方程： （1） （2） 18. 一个不透明的布袋里装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． （2）现再将个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求的值． 19. 如图，D是的边上的一点，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）若，，求的长． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 21. 如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高. 22. 某商户试销一种成本50元/千克的肉制品，规定试销时的销售价不低于成本，又不高于80元/千克，试销中销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系是一次函数（如下图所示）． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）设商户获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为S（元），销售单价定为多少时，该商户获利最大？最大利润是多少？ 23. （1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； （2）拓展应用：如图②，在△ABC和△ADE中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，且，求的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． （3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三入学学情摸底测试 试卷说明：本卷共三大题26小题，共计120分，时量120分钟 一、单选题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ） A. 张冠李戴 B. 水中捞月 C. 瓮中捉鳖 D. 拔苗助长 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、张冠李戴，是随机事件，故本选项符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，故本选项不符合题意； C、瓮中捉鳖，是必然事件，故本选项不符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、除法运算法则分别判断即可． 【详解】解：A选项：∵3与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误； B选项：，计算正确，∴B正确； C选项：∵，∴C错误； D选项：，D错误． 3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得， 又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值． 【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴ ∵b=3cm，c=8cm，d=12cm， ∴ 解得：a=2cm． 故答案为A． 【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式的值与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：对于方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得出b＝，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴b＝， ∴＝＝． 故选：D． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据DE∥BC，平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得，代数解答即可． 【详解】解: ∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3， ∴， 即， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键． 7. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：，错误； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 故选：． 8. 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是． 9. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时有最小值 C. 顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减少 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由二次函数可知对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意； 由二次函数可知开口向上，当时有最小值，故选项B正确，符合题意； 由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意； 由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H，给出下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和等边三角形的性质，易得：，，进而得到；②根据两个角对应相等的两个三角形相似证明；③根据相似三角形的性质得出；④根据，得到，进而推出，利用正方形的对角线平分一组对角，推出，进而得到，根据，推出，即可证明． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 综上：正确的是①②③④． 二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 使在实数范围内有意义的应满足的条件是________． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵式子在实数范围内有意义，∴x-1≥0,解得x≥1. 故答案为x≥1. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 13. 已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依据坡度的定义，坡度为坡面与水平面的夹角的正切值，结合特殊角的三角函数值即可求出夹角的度数． 【详解】解：设斜坡的坡面与水平面的夹角为，根据坡度的定义可知， 坡度． 是锐角，且， ． 14. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法解答即可，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6， ∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率的算法，熟记如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键． 15. 已知二次函数与x轴没有交点，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据根的判别式小于零，解不等式即可求解； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴令时，根的判别式小于零； 即， 解得：． 16. 如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题。（共72分，请写出必要解答过程或说明过程） 17. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简二次根式，特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 一个不透明的布袋里装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． （2）现再将个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值． 【详解】（1）树状图如下： ∴一共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有2种， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为： ． （2）由题意得： 解得：n=4． 经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题主要考查列表法 ，树状图法和概率公式，解题的重点在于要分析出所有等可能出现的结果，而解题的关键在于要根据概率公式求解或列方程. 19. 如图，D是的边上的一点，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴． 【小问2详解】 解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 21. 如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高. 【答案】32米 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD，构造两个直角三角形ACE和直角三角形AED，分别解2个直角三角形即可. 【详解】过点A作AE⊥CD， 在Rt△ABD中，∠ADB=β，AB=24, ∴BD=， 在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD=, ∴CE=8. ∴CD=CE+AB=32(米). 【点睛】本题考查了非直角三角形的解法，方法是作垂线把非直角三角形转化为直角三角形来求解. 22. 某商户试销一种成本50元/千克的肉制品，规定试销时的销售价不低于成本，又不高于80元/千克，试销中销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系是一次函数（如下图所示）． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）设商户获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为S（元），销售单价定为多少时，该商户获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价是75元时，利润最大，最大利润是625元 【解析】 【分析】（1）将图象上表示的两点代入所设函数解析式，解方程组即可得解； （2）先表示出，然后根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设； 将，代入得：， 解得：； ； 【小问2详解】 解： ； ，，， ∴当时， ， 所以，当销售价是75元时，最大利润是625元． 23. （1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； （2）拓展应用：如图②，在△ABC和△ADE中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）由题意得出，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，可证得结论； （2）连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE=∠ABD=∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出，则可求出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，， ∴，， ∴△ABD∽△ACE； （2）解：如图，连接CE． ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴△ABC∽△ADE， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴，． ∵，， 设，则，， ∴． ∴． ∵，， ∴△AFD∽△EFC． ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． （3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）Q点坐标为或 （3）存在，点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，解方程组即可； （2）由可得点到的距离与点到的距离相等，利用平行线间的距离处处相等可得，利用一次函数图象平行时相等可求出的解析式，结合抛物线解析式即可求解； （3）由题意可得，分射线在的右侧和射线在的左侧两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，，即， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：存在． ∵抛物线交y轴于点，经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当射线在的右侧时， ∵， ∴轴， ∴点与点重合， ∵， ∴， ∴； ②当射线在的左侧时， ∵， ∴， 设，则， ∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】解题时重点运用平行线间距离处处相等，方程的思想，分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $