陕西省咸阳市2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年陕西省咸阳市高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.若一扇形的面积和半径均为4，则其圆心角的弧度数为(    ) A. B. 1 C. 2 D. 4 5.要得到函数的图象，只需将函数的图象(    ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6.某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为(    ) A. B. C. D. 7.已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是(    ) A. 函数为偶函数 B. 若，则 C. D. ， 8.已知函数的定义域为R，是奇函数，是偶函数，则(    ) A. B. C. D. 0 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知，，则下面不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，则(    ) A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为 C. 函数的一条对称轴为直线 D. 方程在区间上只有1个实数根 11.已知实数x，y满足，且，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数在上的最小值为______. 13.若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______. 14.函数在区间内的零点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，且为第二象限角. Ⅰ求的值； Ⅱ求的值. 16.本小题15分 已知函数且 Ⅰ求函数的定义域； Ⅱ证明：函数是奇函数. 17.本小题15分 已知函数 Ⅰ求函数的最小正周期； Ⅱ求函数图象的对称中心； Ⅲ当时，求函数的单调区间. 18.本小题17分 已知函数，且关于x的不等式的解集为 Ⅰ求函数的解析式； Ⅱ若，讨论在区间上的最值. 19.本小题17分 若在函数定义域内存在，使得成立，则称具有性质 Ⅰ试判断函数是否具有性质P； Ⅱ证明：所有二次函数都具有性质P； Ⅲ若函数且具有性质P，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：“，”的否定为：“，”． 故选： 存在改任意，将结论取反，即可求解． 本题主要考查命题的否定，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：集合，， 则 故选： 根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：根据题意，函数的定义域为R，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，，，则，该函数的图象在x轴下方，故排除 故选： 首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：设圆心角的弧度数为，半径为r， 因为扇形的面积和半径均为4，即， 所以其圆心角的弧度数 故选： 根据扇形的面积公式求解即可． 本题主要考查扇形的面积计算，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：因为， 故把的图象向左平移个单位可得的图象． 故选： 由已知结合三角函数图象的平移变换即可求解． 本题主要考查了三角函数图象的平移，属于基础题． 6.【答案】B  【解析】解：设居民的用水量为，费用为元， 则有， 当时，易知， 所以， 解得 故选： 将水费写成与用水量x的分段函数，再令，求解即可． 本题考查了分段函数在生活中的应用，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：设，因为图象经过点，所以，所以， 所以，因为为非奇非偶函数，故A错误； 若，，所以，故B错误； ， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选： 先求解幂函数的解析式，由函数奇偶性的定义即可判断A；作差法即可判断B和C；根据幂函数的解析式可判断 本题考查幂函数的解析式及性质，属于基础题． 8.【答案】C  【解析】解：根据题意，是奇函数，则有， 令可得：①， 是偶函数，则有， 令可得：②， ①+②，变形可得 故选： 根据题意，由奇函数、偶函数的定义可得和，两式相加，变形可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：因为，， 当，，，时，A显然错误； 由可得，B正确； 当，，，时，C显然错误； 因为， 所以， 因为， 所以，D正确． 故选： 由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：， 所以函数的最大值为1，所以A正确； 函数的最小值为，所以B不正确； 令，所以，， 当时，，所以C正确； 因为，所以，当，即，，所以D正确． 故选： 先将原式变形，由函数的最值可判断A，B；令，可求对称轴，即可判断C；先求出整体角的范围结合图象即可求解 本题考查两角和与差的余弦公式，余弦函数的性质，属于基础题． 11.【答案】AD  【解析】解：因为，所以， 因为，所以，即 又因为在 单调递增，且，，， 所以，则，A选项正确，B选项错误； 作出对数函数为大于1的常数和为大于1的常数且的图象，如图所示， 可得，故C选项错误，D选项正确． 故选： 本题利用指数函数、对数函数的单调性以及对数函数的图象特征进行求解． 本题主要考查指数函数的单调性以及对数函数的图象，属于中档题． 12.【答案】6  【解析】解：当时，，当且仅当时取等号． 故答案为： 由已知结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：若，不等式恒成立， 则， 解得 故答案为： 由已知结合二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，属于基础题． 14.【答案】6  【解析】解：令，得或， 作出与，在内的图象，如图所示： 观察共有6个交点． 故答案为： 转化为函数图象的交点个数问题即可求解． 本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，考查了对数函数、三角函数的性质，属于基础题． 15.【答案】解：Ⅰ因为，且为第二象限角， 所以； Ⅱ  【解析】Ⅰ利用同角三角函数基本关系式即可求解； Ⅱ利用诱导公式即可求解． 本题考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16.【答案】解：Ⅰ由题意可知，，解得， 即函数的定义域为 Ⅱ由知，函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以， 所以函数是奇函数．  【解析】Ⅰ根据对数的真数大于零列不等式组，即可求函数的定义域； Ⅱ先判断函数的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的定义可证明函数是奇函数． 本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 17.【答案】解：函数，它的最小正周期为； 令，解得， 故图象的对称中心为，； 因为，所以，即， 令，得， 令，得， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是  【解析】由正弦函数的周期公式可求得函数的最小正周期． Ⅱ令，可求得函数图象的对称中心； Ⅲ由条件利用正弦函数的单调性可求得函数的单调区间． 本题考查正弦函数的周期性、单调性及对称性，考查运算能力，属于中档题． 18.【答案】解：Ⅰ的解集为， 所以的解为，4， 则，， 即，，； Ⅱ因为的开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递减，故时，函数取得最大值，时，函数取得最小值； 当时，在上单调递减，上单调递增，故时，函数取得最大值，时，函数取得最小值； 当时，在上单调递减，上单调递增，故时，函数取得最大值，时，函数取得最小值  【解析】结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系即可求解； Ⅱ结合二次函数的对称性对m的范围进行分类讨论，即可求解． 本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了二次函数最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题． 19.【答案】解：Ⅰ不具有，理由如下： 因为，， 假设存在，使得成立， 则有， 所以， 上式显然不成立， 所以函数不具有性质P； Ⅱ证明：不妨设二次函数， 则，， 令， 则， 解得， 又函数的定义域为R， 所以存在使得， 所有二次函数都具有性质P； Ⅲ因为函数且的定义域为R，且具有性质P， 所以，使成立， 即，即， 当时，易知，而， 所以关于的方程没有实数解，不符合题意； 当时，， 由，得， 所以此时实数，使得，符合题意． 所以实数a的取值范围是  【解析】Ⅰ根据性质P的定义判断即可； Ⅱ设二次函数，根据性质P的定义证明即可； Ⅲ由指数函数的性质及性质P的定义，分，分别求解即可． 本题属于新概念题，考查了二次函数、指数函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$