第二章 专题 自由落体运动规律的综合应用　竖直上抛运动 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

自由落体运动规律的综合应用　竖直上抛运动 [学习目标]　 1.能够灵活运用自由落体运动规律解决滴水、物体过窗等复杂问题(难点)。 2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动，知道竖直上抛运动的对称性(重点)。 3.会分析竖直上抛运动的规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题(重难点)。 一、滴水问题　杆过窗问题 例1　小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，则：(尝试用多种方法求解) (1)滴水的时间间隔是多少？ (2)此屋檐离地面多高？ 答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m 解析　方法一　公式法 (1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。 由公式h＝gt2得 第2滴雨滴下落的位移h2＝g(3T)2 第3滴雨滴下落的位移h3＝g(2T)2 且h2－h3＝1 m 解得T＝0.2 s (2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。 方法二　比例法 (1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s， 由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m， 屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。 由s＝gT2得滴水的时间间隔T＝＝0.2 s。 “水滴下落”类问题 像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。 例2　(2024·上海市浦东新区高一期中)如图所示，有一根长L1＝0.5 m的木棍，悬挂在某房顶上，木棍的上端与窗台上沿的竖直距离h＝4.55 m，窗口高为L2＝1.5 m。某时刻木棍脱落，不计空气阻力，g取10 m/s2。求： (1)从脱落开始计时，木棍下端到达窗口上沿所用的时间； (2)木棍通过窗口所用的时间。 答案　(1)0.9 s　(2)0.2 s 解析　(1)根据自由落体运动位移与时间的关系 h－L1＝g 解得木棍下端到达窗口上沿所用的时间为t1＝0.9 s (2)设木棍上端到达窗口下沿所用时间为t2， 则h＋L2＝g，解得t2＝1.1 s 所以木棍通过窗口所用时间为t＝t2－t1＝0.2 s “落杆”类问题 由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。 二、竖直上抛运动 1.竖直上抛运动：将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动。 2.(1)上升阶段：初速度为v0，方向竖直向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速直线运动。 (2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动。 (1)定性画出竖直上抛物体的v－t图像。 (2)竖直上抛运动全过程(包括上升阶段、下降阶段)能否看成匀变速直线运动？ 答案　(1)如图所示 (2)可以，因为整个过程中加速度大小和方向都不变。 3.竖直上抛运动的规律 将物体以初速度v0竖直向上抛出， 取向上为正方向，则加速度a＝－g。 (1)速度：v＝v0－gt，若v<0，表示速度方向向下。 (2)位移：h＝v0t－gt2，若h<0，表示物体在抛出点下方。 (3)速度与位移的关系：v2－＝－2gh。 (4)上升的最大高度：H＝。 (5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间： t＝。 例3　在高为25 m的塔的顶部，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一物体。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)物体上升的最高点距抛出点的距离； (2)物体上升的时间与从最高点落回抛出点的时间； (3)物体落回抛出点时的速度大小； (4)物体从抛出至落地的时间及落地时的速度大小。 答案　(1)20 m　(2)2 s　2 s　(3)20 m/s (4)5 s　30 m/s 解析　(1)取向上为正方向， 则v0＝20 m/s，a＝－g 由0－＝－2gh 得h＝＝20 m (2)采用逆向思维法，向上减速过程倒过来看成自由落体运动，由h＝g 得上升时间t1＝＝2 s 由对称性得t2＝t1＝2 s (3)由v＝gt2得 落回抛出点时的速度大小v＝20 m/s (4)方法一　分段处理法 上升过程t1＝2 s 下降过程h＋25 m＝g 得t3＝3 s 总时间t＝t1＋t3＝5 s 落地速度大小v地＝gt3＝30 m/s 方法二　全过程处理法 由x＝v0t＋at2 将x＝－25 m，v0＝20 m/s，a＝－10 m/s2 代入得－25＝20t－5t2 解得t＝5 s 由v地＝v0－gt得v地＝－30 m/s。 则落地时速度大小为30 m/s，方向竖直向下。 拓展　物体位移大小为15 m时，求物体可能通过的路程及对应的时间。 答案　①15 m　1 s　②25 m　3 s　③55 m (2＋) s 解析　若物体位于抛出点上方15 m位置处 对应的路程s1＝15 m，s2＝25 m 由15 m＝v0t－gt2得， 对应时间分别为t1＝1 s，t2＝3 s 若物体位于抛出点下方15 m位置处，对应路程为55 m 由－15 m＝v0t－gt2得t3＝(2＋) s。 1.竖直上抛运动的对称性 (1)时间对称 物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t上＝t下。 (2)速率对称 物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反。 (3)位移对称 物体上升和下降通过同一位置时物体发生的位移相同。 2.竖直上抛运动的多解问题 (1)当物体处于抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。 (2)只给出位移大小时，可能处于抛出点上方，也可能处于抛出点下方，造成多解。 3.竖直上抛运动的处理方法 (1)分段分析法：上升阶段是初速度为v0、加速度a＝－g的匀减速直线运动；下降阶段是自由落体运动。 (2)全过程分析法：全过程看作初速度为v0、加速度a＝－g的匀变速直线运动 ①v>0时，上升阶段；v<0，下降阶段 ②x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方。 专题强化练 [分值：60分] [1~5题，每题4分] 1.(多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是(　　) A.做竖直上抛运动的物体先后两次经过同一位置时速度相同 B.做竖直上抛运动的物体从某点到最高点和从最高点回到该点所用的时间相等 C.以初速度v0做竖直上抛运动的物体上升的最大高度为(g为重力加速度) D.做竖直上抛运动的物体上升阶段与下降阶段加速度相同 答案　BCD 解析　做竖直上抛运动的物体先后两次经过同一点时，速度大小相等、方向相反，故A错误；因竖直上抛运动的加速度不变，由对称性可知，物体从某点到最高点和从最高点回到该点的时间相等，故B正确；由＝2gh可得，以初速度v0做竖直上抛运动的物体上升的最大高度为h＝，故C正确；无论上升、下落过程还是在最高点时，物体的加速度一直保持不变，均为重力加速度g，故D正确。 2.以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程的v－t图像中正确是(　　) 答案　C 解析　因不计空气阻力，加速度恒定，设其初速度为v0，根据匀变速直线运动规律，据题意有v＝v0－gt，可知其图像为直线且斜率为负，故A、B、D错误，C正确。 3.(2024·桂林市高一期中)近年来学校都非常重视足球。在某学校举行的颠球比赛中，小明在颠球过程中脚部几乎不动，足球颠起高度约为0.8 m，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，估算足球刚被颠起时的速度大小约为(　　) A.6 m/s B.4 m/s C.1 m/s D.0.5 m/s 答案　B 解析　足球颠起高度约为0.8 m，由逆向思维根据速度—位移公式得v2＝2gh，估算足球刚被颠起时的速度大小约为v＝4 m/s。故选B。 4.(2024·东营市高一期末)如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度之比h1∶h2∶h3＝3∶2∶1。若同时由静止释放炸弹a、b、c，不计空气阻力，则以下说法正确的是(　　) A.a、b、c下落时间之比为3∶2∶1 B.a、b、c落地前瞬间速度大小之比为3∶2∶1 C.a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差 D.a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差 答案　D 解析　根据h＝gt2，可得t＝∝，可知a、b、c下落时间之比为ta∶tb∶tc＝∶∶1，则a与b落地的时间差与b与c落地的时间差之比为<1，可知a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差，故A、C错误，D正确；根据v＝gt，可知a、b、c落地前瞬间速度大小之比为va∶vb∶vc＝ta∶tb∶tc＝∶∶1，故B错误。 5.(2024·广州市高一期末)某同学借助高速照相机对亭台檐边下落的雨滴进行探究：雨滴每隔0.2 s自檐边静止滴下，当第1滴落地时第6滴恰欲滴下，不考虑空气阻力，雨滴处于无风环境中，g取9.8 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.雨滴做匀速直线运动 B.雨滴落地的时间为1.2 s C.檐边距地面高度为4.9 m D.相邻雨滴均在空中下落时两者距离不变 答案　C 解析　由于雨滴处于无风环境中，且不考虑空气阻力，则雨滴做自由落体运动，故A错误；当第1滴落地时第6滴恰欲滴下，则雨滴落到地上的时间为t＝(6－1)×0.2 s＝1 s，故B错误；根据位移与时间关系式可知h＝gt2＝×9.8×12 m＝4.9 m，故C正确；两个相邻雨滴中先落下的雨滴相对于后落下的雨滴做匀速直线运动，故两者在下落时距离不断增大，故D错误。 [6~8题，每题5分] 6.(多选)(2025·宝鸡市高一期中)为了研究竖直上抛的规律，将一物体从地面上方高15 m的位置，以10 m/s初速度竖直向上抛出，若不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，以抛出点为初始位置，则下列说法正确的是(　　) A.物体在空中运动的时间为2 s B.物体落地时速度大小为20 m/s C.物体被抛出的第2.5 s末的位移大小为8.75 m D.物体距离地面的最大高度是20 m 答案　BD 解析　物体运动至最高点的过程中， 有h'＝gt2，t＝ 解得t＝1 s，h'＝5 m 则离地面的最大高度为H＝h＋h'＝20 m 从最高点到落地的时间满足H＝gt'2 解得t'＝2 s 则物体在空中运动的时间为 t″＝t＋t'＝3 s，故A错误，D正确； 根据速度公式有v＝gt'＝20 m/s，故B正确； 物体上升到最高点需用时1 s，从最高点运动1.5 s的距离为h″＝g＝11.25 m 则物体被抛出的第2.5 s末的位移大小为 h1＝h″－h'＝6.25 m，故C错误。 7.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)(　　) A.0.3 s B.0.4 s C.0.7 s D.1.2 s 答案　B 解析　悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝＝0.4 s，B正确。 8.一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(重力加速度为g)(　　) A.g() B.g() C.g() D.g(TA－TB) 答案　A 解析　物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝，则A、B两点的距离x＝ggg()，故选A。 9.(8分)(2024·汉中市西乡县第一中学高一期中)雨后屋檐还在不断滴着水滴，如图所示。小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗户下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗户下边沿的距离为H＝3.2 m，窗户的高度为h＝1.4 m。不计空气阻力的影响。求：(重力加速度g取10 m/s2) (1)(2分)水滴下落到达窗户下边沿时的速度大小； (2)(6分)水滴经过窗户的时间。 答案　(1)8 m/s　(2)0.2 s 解析　(1)水滴下落至窗户下边沿通过的距离为H＝3.2 m 由v2＝2gH， 得v＝ m/s＝8 m/s (2)水滴下落至窗户上边沿的时间为 t1＝ s＝0.6 s， 水滴下落至窗户下边沿的时间为 t2＝ s＝0.8 s， 水滴经过窗户的时间为Δt＝t2－t1＝0.8 s－0.6 s＝0.2 s。 10.(8分)(2024·镇江市高一期中)在高为h＝40 m的山崖顶上将一小球以v0＝10 m/s的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)(2分)小球能上升到离地面的最大高度H； (2)(2分)小球从抛出到落回抛出点所经历的时间t； (3)(4分)小球从抛出到落到地面的时间和落地时的速度大小。 答案　(1)45 m　(2)2 s　(3)4 s　30 m/s 解析　(1)小球竖直向上抛出上升的最大高度 h1＝＝5 m 小球能上升到离地面的最大高度H＝h＋h1＝45 m (2)设小球上升过程的时间为t1，则0＝v0－gt1 由对称性得，小球从抛出到落回抛出点所经历的时间t＝2t1 解得t＝2 s (3)规定竖直向上为正方向，整个过程小球做匀变速直线运动，则－h＝v0t'－gt'2 v＝v0－gt' 解得t'＝4 s，v＝－30 m/s 即小球从抛出到落到地面的时间为4 s，落地时的速度大小为30 m/s。 11.(9分)(2023·深圳市高一期末)如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部由静止随机落下的圆棒。已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)(3分)圆棒下落到A点所用的时间t1； (2)(6分)圆棒通过AB所用的时间t2。 答案　(1)0.4 s　(2)0.2 s 解析　(1)圆棒底部距离上边界A高度 h1＝2.3 m－0.4 m－1.1 m＝0.8 m， 圆棒做自由落体运动下落到A点有h1＝g， 代入数据解得t1＝0.4 s。 (2)方法一　圆棒通过AB的过程即圆棒底部到达上边界A和圆棒顶端离开下边界B这一过程， 可知圆棒底部到达上边界A的速度为 v1＝gt1＝4 m/s， 圆棒通过AB下落的高度为 h2＝1.1 m－0.5 m＋0.4 m＝1.0 m， 圆棒通过AB过程有h2＝v1t2＋g， 代入数据解得t2＝0.2 s 方法二　圆棒下落到上边界A所用的时间 t1＝0.4 s， 圆棒顶端到B点下落的高度 h3＝2.3 m－0.5 m＝1.8 m， 圆棒顶端离开B点的时间 t'＝＝0.6 s， 故圆棒通过AB所用的时间t2＝t'－t1＝0.2 s。 学科网（北京）股份有限公司 $