2.3.2 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

　匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式 [学习目标]　 1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题。 2.理解位移差公式并能解决相关问题。 3.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度。 一、平均速度公式 1.如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导。 答案　方法一　解析法 中间时刻的瞬时速度＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得＝v0＋at＝，又＝v0＋at＝，即。 方法二　图像法 0~t时间内的位移x＝t 平均速度 中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故。 2.适合于所有的变速直线运动吗？ 答案　不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋at2均来自匀变速直线运动中的公式，故只适用于匀变速直线运动。 1.匀变速直线运动的平均速度公式： (1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 (2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，宜选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即，。 2.三个平均速度公式的比较 适用于任何运动； 及仅适用于匀变速直线运动。 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为。比较与的大小。 答案　方法一　定性分析法 实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快， 前时间内的位移x1<，故<。 方法二　公式法 如图，＝2a v2－＝2a 得 >0 故> 方法三　图像法 由图知>。 (1)中点位置的瞬时速度公式：。 (2)适用条件：匀变速直线运动。 (3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即>。 例1　(2023·揭阳市高一期末)小张通过无人机来拍摄城镇的风景，t＝0时刻，无人机由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1＝6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2＝15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求： (1)无人机上升过程中的最大速度； (2)无人机悬停时距地面的高度。 答案　(1)18 m/s　(2)135 m 解析　(1)无人机做匀加速直线运动阶段有 h1＝t1， 所以无人机上升过程中的最大速度为 vmax＝18 m/s (2)无人机做匀减速直线运动阶段有 h2＝(t2－t1)＝×9 m＝81 m， 所以无人机悬停时距地面的高度为 h＝h1＋h2＝54 m＋81 m＝135 m。 二、位移差公式 1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。 答案　v1＝v0＋aT x1＝v0T＋aT2 x2＝v1T＋aT2 x2与x1的位移差：Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2 2.对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝　　　　。  答案　方法一　如图所示 设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则v3＝v0＋3aT x1＝v0T＋aT2 x4＝v3T＋aT2 x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。 方法二　由x2－x1＝aT2 x3－x2＝aT2 x4－x3＝aT2 得x4－x1＝3aT2。 位移差公式：Δx＝aT2 1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。 2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。 例2　(多选)(2024·襄阳市高一期中)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第4 s内的位移为16 m，则该质点运动过程中(　　) A.第5 s内位移为20 m B.加速度大小为4 m/s2 C.第1 s初的速度大小为零 D.前5 s内的位移为50 m 答案　AB 解析　根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4－x3＝aT2，x5－x4＝aT2，联立解得a＝4 m/s2，x5＝20 m，故A、B正确；由中间时刻瞬时速度与平均速度关系可知，2.5 s时的瞬时速度满足v2.5＝ m/s＝12 m/s，第1 s初即初始时刻，此时的速度满足v2.5＝v0＋at2.5，解得v0＝2 m/s，故C错误；前5 s内的位移满足x＝v0t5＋a＝(2×5＋×4×52) m＝60 m，故D错误。 例3　(2024·厦门市双十中学月考)某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s由静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后，某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球，而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求： (1)小球的加速度大小； (2)小球在C点的速度大小； (3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球？ 答案　(1)5 m/s2　(2)2.25 m/s　(3)2个球 解析　(1)由推论Δx＝aT2 小球的加速度为a＝ m/s2＝5 m/s2 (2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知 vB＝ m/s＝1.75 m/s 小球在C点的速度为vC＝vB＋aT 代入数据得vC＝2.25 m/s (3)由vA＝vB－aT 得小球在A点的速度为vA＝1.25 m/s 则小球从静止释放到运动到A点所需时间 tA＝＝0.25 s 由于＝2.5 故A点上方还有2个球。 三、逐差法求加速度 一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2－x1＝aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？ 答案　偶然误差较大，没有充分利用实验数据。 纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，a1＝，a2＝， a3＝，a＝ ＝。 此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。 技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝。 如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度的表达式。 答案　a＝。 例4　(2024·黔西市高一期中)在做“研究匀变速直线运动”实验中，打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示，若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s。由图可知， (1)小车做　　　　　　运动。  (2)从图中给定的数据，可求出小车的加速度大小是　　　　 m/s2，打下C点时小车的速度大小是　　　　 m/s。(均保留两位有效数字)  (3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。  答案　(1)匀变速直线　(2)2.0　0.70　(3)偏小 解析　(1)由题图可知Δx＝BC－AB＝CD－BC＝DE－CD＝2 cm 且计数点间的时间间隔相同，故小车做匀变速直线运动； (2)由于每相邻的计数点间的时间间隔T＝0.10 s， 根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2 可以求出加速度的大小为 a＝×10－2 m/s2＝2.0 m/s2 根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度，打下C点时小车的瞬时速度大小为vC＝×10－2 m/s＝0.70 m/s。 (3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；由Δx＝aT2，可知加速度的测量值与实际值相比偏小。 专题强化练 [分值：70分] [1~5题，每题5分] 考点一　匀变速直线运动的平均速度公式 1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由平均速度公式t＝x可知t＝，故A正确，B、C、D错误。 2.(2023·广州执信中学高一期末)一滑雪运动员不借助滑雪杖，以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡，当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动，则运动员上坡和下坡所用的时间之比为(　　) A.5∶4 B.4∶5 C.2∶3 D.3∶2 答案　B 解析　设运动员上坡的路程为x，上坡时所用时间为t1，下坡时所用时间为t2，则有x＝(0＋v0)t1＝5t1 (m)，x＝(0＋v)t2＝4t2 (m)，联立解得t1∶t2＝4∶5，故选B。 3.(2023·成都市高一期末)如图，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道，车头刚进隧道时速度是10 m/s，车尾刚出隧道时速度是12 m/s，则列车通过隧道所用的时间是(　　) A.81.8 s B.90.9 s C.100 s D.109.1 s 答案　C 解析　列车通过隧道的位移为 x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m 设所用时间为t， x＝t， m/s＝11 m/s 解得t＝100 s，故C正确。 考点二　位移差公式 4.(2024·绵阳市高一月考)利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是(　　) A.xⅡ－xⅠ＝aT2 B.xⅢ－xⅠ＝2aT2 C.xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ D.xⅢ－xⅡ＝ 答案　D 解析　对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx＝aT2，对应于该题有xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝aT2，而xⅢ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＋xⅡ－xⅠ＝2aT2，A、B、C正确，D错误。 5.(2024·宁波市镇海中学高一期中)校运会时，高空无人机在完成拍摄任务后返回地面，某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中，前0.5 s内的位移为3.5 m，前1 s内的位移为8 m，则其加速度的大小为(　　) A.3.5 m/s2 B.4 m/s2 C.7 m/s2 D.条件不足，无法求解 答案　B 解析　根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2＝8 m－3.5 m＝4.5 m，根据匀变速直线运动规律Δx＝aT2可知加速度为a＝ m/s2＝4 m/s2。故选B。 考点三　逐差法求加速度 6.(8分)(2024·福州市高一期中)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验，装置如图甲所示： (1)(2分)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V；  (2)(6分)交流电源的频率为50赫兹，实验中得到的纸带如图乙所示，图中的点为计数点，在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s；打下B点时，小车的瞬时速度为　　　　 m/s；小车运动的加速度为　　　　 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。  答案　(1)220　(2)0.4　0.16　0.81 解析　(1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源； (2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t＝4×5×＝0.4 s 打下B点时，小车的瞬时速度为vB＝×10－2 m/s≈0.16 m/s 小车运动的加速度为 a＝×10－2 m/s2 ≈0.81 m/s2 [7~9题，每题6分] 7.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图所示，那么0~t0和t0~3t0 两段时间内(　　) A.加速度大小之比为3∶1 B.位移大小之比为1∶2 C.平均速度大小之比为2∶1 D.平均速度大小之比为1∶1 答案　BD 解析　加速度a＝，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t轴所围图形的面积之比，即，B项正确；平均速度，＝1，C项错误，D项正确。 8.物体做匀减速直线运动，相继经过两段距离为24 m的路程，第一段用时2 s，第二段用时4 s，则物体的加速度是(　　) A.1 m/s2 B.－2 m/s2 C.6 m/s2 D.12 m/s2 答案　B 解析　第一段平均速度为v1＝ m/s＝12 m/s，第二段平均速度为v2＝ m/s＝6 m/s，根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，两个中间时刻的时间间隔为Δt＝1 s＋2 s＝3 s，加速度为a＝ m/s2＝－2 m/s2，故选B。 9.如图所示，一质点做匀加速直线运动，依次经过A、B、C、D四点。已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段的时间相等，均为1 s，则(　　) A.BC段的距离为9 m B.质点的加速度大小为2 m/s2 C.质点的加速度大小为8 m/s2 D.质点在B点的速度大小为6 m/s 答案　A 解析　质点做匀加速直线运动，且AB、BC、CD所用的时间相等，故 xCD－xBC＝xBC－xAB 解得xBC＝9 m，故A正确； 根据xCD－xBC＝at2 解得a＝4 m/s2，故B、C错误； 根据vB＝ 解得vB＝7 m/s，故D错误。 10.(9分)(来自粤教教材)在“研究匀变速直线运动”的实验中，小车拖着纸带运动，打点计时器每隔0.02 s打一个点，打出的纸带如图所示。选出A、B、C、D、E共五个计数点，每相邻两点间还有四个点(图中未画出)。已知靠近点A一端的纸带与小车相连，由此可得小车运动的加速度的大小为　　　 m/s2，方向与小车的运动方向　　　　　　(选填“相同”或“相反”)；打点C时，小车运动的速度的大小为　　　　 m/s。  答案　0.737　相反　0.472 解析　根据xDE－xAB＝3aT2 可得a＝ m/s2≈－0.737 m/s2 负号表示加速度方向与小车的运动方向相反； AB中间时刻的速度为 v1＝ m/s＝0.583 m/s 则打点C时，小车运动的速度的大小为 vC＝v1＋a×1.5T＝(0.583－0.15×0.737) m/s≈0.472 m/s。 11.(10分)(2024·珠海市第四中学高一期中)做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时，某同学得到一条点迹清晰的纸带，从比较清晰的点起，每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出)，分别标为0、1、2、3、4、5、6…，用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示，已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz，则： (1)(3分)打点计时器每隔　　　　 s打一次点。  (2)(3分)打点计时器打计数点1时，小车的速度v1＝　　　　 m/s(结果保留两位有效数字)；  (3)(4分)小车的加速度a＝　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。  答案　(1)0.02　(2)0.34　(3)0.88 解析　(1)打点计时器的打点时间间隔为 t＝ s＝0.02 s (2)相邻计数点的时间间隔为T＝5t＝0.1 s 打计数点1时，小车的速度为 v1＝ m/s＝0.34 m/s (3)小车加速度为 a＝ ＝×10－2 m/s2＝0.88 m/s2 学科网（北京）股份有限公司 $