专题13矩形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题13矩形同步讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................4 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................6 【题型03 由矩形的性质求线段长】..................................8 【题型04 由矩形的性质求面积】...................................11 【题型05 由矩形的性质证明】.....................................14 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】...............................17 【题型07 矩形与折叠问题】.......................................21 【题型08 证明四边形是矩形】.....................................24 【题型09 矩形的判定定理理解】...................................27 【题型10 添条件使四边形是矩形】.................................28 【题型11 由矩形的性质与判定求角度】.............................31 【题型12 由矩形的性质与判定求线段长】...........................34 【题型13 由矩形的性质与判定求面积】.............................37 【解答题5题】...................................................41 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 核心要点：平行四边形 + 一个角为 90°（二者缺一不可）。 符号语言：在平行四边形 ABCD 中，若∠A=90°，则四边形 ABCD 是矩形。 知识点02:矩形的性质（含平行四边形所有性质 + 独有性质） 1. 边的性质 对边平行且相等（同平行四边形）。 邻边互相垂直（独有）。 2. 角的性质 四个角都是直角（90°）（独有）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3. 对角线的性质 对角线互相平分且相等（独有）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD。 推论：矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形。 4. 对称性 既是中心对称图形（对称中心：对角线交点）。 也是轴对称图形，有2 条对称轴（每组对边中点连线所在直线）。 5. 重要推论（直角三角形性质） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定方法 1. 定义判定（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形（四个角均为 90°）。 3. 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 定义判定（基础） 在平行四边形 ABCD 中，∵∠A=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 角判定 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=∠D,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 对角线判定 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， ∵AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， ∵OA=OC, OB=OD, AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. 知识点04:矩形的面积公式 面积 =长 × 宽（S=ab，a、b 为邻边）。 也可由对角线与夹角推导：S=d₁d₂sinθ（d₁、d₂为对角线，θ 为对角线夹角）。 知识点05:易错点提示 1.矩形是特殊平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 2.判定时注意前提：“对角线相等的四边形”不一定是矩形，必须先是平行四边形。 3.直角三角形斜边中线性质仅适用于直角三角形，不可滥用。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则______cm． 【答案】12 【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm， ∴BD=AC=2AO=12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是__________． 【答案】12 【分析】先证明，，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°， 又∵∠ADF=∠BDG， ∴， ∴DF=DG，AF=BG=2， 同理：， ∴EF=EH， ∴GH=2(DF+EF)=2DE=2×3=6， ∴的面积=矩形的面积=2×6=12． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积化为矩形的面积，是解题的关键． 【跟踪专练3】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝20°，则∠ADB＝______． 【答案】40° 【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠E＝20°，可得∠ADB度数． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠E＝20°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 【跟踪专练2】将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，多边形的内角和定理．先由平行四边形与矩形得到，，再由五边形的内角和可得，即可解答． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在五边形中，， 又，， ∴， ∴， 即． 故选：D 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________． . 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 【题型3.利用矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 【跟踪专练1】已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据矩形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，，最后求出中点四边形的周长即可． 【详解】解：如图， ∵矩形的对角线相等， ∴， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴矩形的面积为48，， ∴， ∵对角线交于点， ∴的面积为12， ∵ ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式．令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，令与相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵ ∴，， ， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 【跟踪专练3】两个全等的矩形和矩形如图放置,且恰好过点．过点作平行交于．知道下列哪个式子的值,即可求出图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和题目中的条件，可以判断出哪个选项中的条件，可以推出阴影部分的面积，本题得以解决． 【详解】如图，作于点． ∴ 由题意可知：两个全等的矩形和矩形， ∴，, ∴, ∴四边形是矩形， 阴影部分面积； 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】矩形中，对角线与相交于点O，若，，则对角线的长是（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】如图，由题意易得△AOB是等边三角形，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形， ∴OA=OC=OB， ∵， ∴△AOB是等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 【答案】①90； ②；③；④；⑤ 【分析】由直角三角形性质得出①，根据平角定义得出②，由全等的判定方法得出③④，由三角形全等性质得到⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，， °（直角三角形两锐角互余）． ， ， ， （同角的余角相等）． 又， （已知）， ． （全等三角形的对应边相等）． 又， ． 【点睛】本题考查了矩形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．作于M，作于N，根据证明得，然后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于M，作于N， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 故选B． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】.如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形沿向上折叠，使点B落在边上的点F处，若的周长为10，的周长为4，则矩形的周长为__________________ ；    【答案】14 【分析】根据图形折叠的性质可知，，再由的周长，的周长，然后等量代换和即可得出结论． 【详解】解：∵由折叠而成， ∴， ∴，， ∵的周长为10，的周长为4， ∴矩形的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形性质求得，由折叠的性质以及平角的性质求得，推出，再利用四边形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，四边形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练2】如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意求出，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 由折叠可知，， 长方形纸条， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折的性质，矩形、等腰直角三角形的性质，根据翻折的性质得出，，，再根据等腰直角三角形的性质及勾股定理，设，求出，，，进一步可得结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，． ∵将矩形沿翻折， ，，． ， ， ． ， ， ． 设， 在中，， ， ． ． 故选：B． 【题型8.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 【跟踪专练1】如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 【跟踪专练2】下图是四根木棒搭成的平行四边形框架，，，使固定，转动，当______时，的面积最大，此时是______形，面积为______． 【答案】 /90度 矩 /48平方厘米 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， ∴面积为， 故答案为：，矩，． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【题型9.矩形判定定理理解】 【典例】矩形的定义：有___________的平行四边形叫做矩形． 【答案】一个角是直角 【解析】略 【跟踪专练1】下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，成立，不符合题意； B、对角互补的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等但不是矩形，故该命题不成立，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 【题型10.添条件使四边形是矩形】 【典例】添加一个条件：________，使平行四边形成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：根据矩形的判定，添加的条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 【跟踪专练3】小强和小壮在做一道习题：若四边形 是平行四边形，请补充条件，使得四边形是矩形，小强补充的条件是；小壮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（    ） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 根据矩形的判定方法进行分析即可．根据平行四边形的性质可得，进一步得出，，当时，可判定，当时，可判定． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 当时， 平行四边形是矩形， ∴小强正确； 当时， ， 平行四边形是矩形， ∴小壮正确． 故选：A． 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 【跟踪专练3】如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝_____． 【答案】18° 【分析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°，利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可． 【详解】∵四边形ABFG是矩形， ∴∠GAB=90°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB=108°， ∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB =108°-90° =18°, 故答案为:18°． 【点睛】本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关键． 【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在中，对角线相交于点，且，若，则________°． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据四边形的对角线得四边形是矩形，可得，即可得；掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的对角线， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 【答案】C 【分析】过点E作于G，证四边形是矩形，得出EG=AB， ，即可得出结论． 【详解】解：过点E作于G，如图所示：    则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即的面积保持不变，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，证出，是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面l垂直，垂足为点C，且，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作，过点O作， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 【答案】8 【分析】由勾股定理可得AC＝5，根据角平分线的性质可证∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，则可求S△ABH的值，由P是中点，可得S△ABP的值． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，∠ABC＝90°， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5， ∵AH平分∠DAC， ∴∠DAH＝∠CAH， ∵ADBC， ∴∠DAH＝∠H， ∴∠H＝∠CAH， ∴AC＝CH＝5， ∵BH＝BC+CH， ∴BH＝8， ∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16， ∵P是AH的中点 ∴S△ABP＝S△ABH＝8； 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的应用． 【跟踪专练1】矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为2，再根据，即可得到的值． 【详解】解：，， 矩形的面积为8，， ， 对角线，交于点， 的面积为2， ，， ，即， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分． 【解答题】 1．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 2．如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 3．如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，且，F是BC上一动点．若将沿EF对折后，点B落在点P处，求点P到点D的最短距离． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离是解题的关键． 如图，连接，．由，则根据勾股定理可得，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，的长最短，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是矩形， ． ，， ． ， ． 由折叠的性质，得． ， ∴当，，三点共线时，的长最短， ∴点到点的最短距离． 4．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 5．如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D． (1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ； (2)求点D的坐标； (3)请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)； (2)(12，0)； (3)(15，4)． 【分析】(1)根据矩形的性质即可解决问题； (2)根据折叠的性质和勾股定理即可得OD的长，进而可得点D的坐标； (3)根据折叠的性质和勾股定理即可得DE的长，进而可得点E的坐标． 【详解】（1）∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝15，BA＝OC＝9， ∴点A的坐标(15，0)、点C的坐标(0，9)和点B的坐标(15，9)； 故答案为：(15，0)、(0，9)、(15，9)； （2）由折叠可知：CD＝CB＝15， 在Rt△OCD中，根据勾股定理，得 OD＝＝＝12， ∴点D的坐标(12，0)； （3）在Rt△AED中，AD＝OA﹣OD＝15﹣12＝3，AE＝AB﹣BE＝9﹣BE＝9﹣DE， 根据勾股定理，得 AD2+AE2＝DE2， ∴32+（9﹣DE）2＝DE2， 解得DE＝5， ∴AE＝9﹣DE＝4， ∴点E的坐标为(15，4)． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化﹣对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13矩形同步讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................4 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................4 【题型03 由矩形的性质求线段长】..................................5 【题型04 由矩形的性质求面积】....................................6 【题型05 由矩形的性质证明】......................................7 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】................................8 【题型07 矩形与折叠问题】........................................9 【题型08 证明四边形是矩形】.....................................10 【题型09 矩形的判定定理理解】...................................10 【题型10 添条件使四边形是矩形】.................................11 【题型11 由矩形的性质与判定求角度】.............................12 【题型12 由矩形的性质与判定求线段长】...........................13 【题型13 由矩形的性质与判定求面积】.............................14 【解答题5题】...................................................14 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 核心要点：平行四边形 + 一个角为 90°（二者缺一不可）。 符号语言：在平行四边形 ABCD 中，若∠A=90°，则四边形 ABCD 是矩形。 知识点02:矩形的性质（含平行四边形所有性质 + 独有性质） 1. 边的性质 对边平行且相等（同平行四边形）。 邻边互相垂直（独有）。 2. 角的性质 四个角都是直角（90°）（独有）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3. 对角线的性质 对角线互相平分且相等（独有）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD。 推论：矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形。 4. 对称性 既是中心对称图形（对称中心：对角线交点）。 也是轴对称图形，有2 条对称轴（每组对边中点连线所在直线）。 5. 重要推论（直角三角形性质） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定方法 1. 定义判定（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形（四个角均为 90°）。 3. 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 定义判定（基础） 在平行四边形 ABCD 中，∵∠A=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 角判定 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=∠D,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘,∴四边形 ABCD 是矩形. 对角线判定 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， ∵AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， ∵OA=OC, OB=OD, AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. 知识点04:矩形的面积公式 面积 =长 × 宽（S=ab，a、b 为邻边）。 也可由对角线与夹角推导：S=d₁d₂sinθ（d₁、d₂为对角线，θ 为对角线夹角）。 知识点05:易错点提示 1.矩形是特殊平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 2.判定时注意前提：“对角线相等的四边形”不一定是矩形，必须先是平行四边形。 3.直角三角形斜边中线性质仅适用于直角三角形，不可滥用。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则______cm． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是__________． 【跟踪专练3】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【跟踪专练1】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝20°，则∠ADB＝______． 【跟踪专练2】将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________． . 【题型3.利用矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【跟踪专练1】已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为___________．    【跟踪专练3】如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    【跟踪专练2】如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】两个全等的矩形和矩形如图放置,且恰好过点．过点作平行交于．知道下列哪个式子的值,即可求出图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】矩形中，对角线与相交于点O，若，，则对角线的长是（    ） A．3 B． C． D．6 【跟踪专练1】小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【跟踪专练1】.如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形沿向上折叠，使点B落在边上的点F处，若的周长为10，的周长为4，则矩形的周长为__________________ ；    【跟踪专练1】如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则______． 【跟踪专练3】如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【题型8.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【跟踪专练2】下图是四根木棒搭成的平行四边形框架，，，使固定，转动，当______时，的面积最大，此时是______形，面积为______． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型9.矩形判定定理理解】 【典例】矩形的定义：有___________的平行四边形叫做矩形． 【跟踪专练1】下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【跟踪专练3】兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【题型10.添条件使四边形是矩形】 【典例】添加一个条件：________，使平行四边形成为矩形． 【跟踪专练1】如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【跟踪专练3】小强和小壮在做一道习题：若四边形 是平行四边形，请补充条件，使得四边形是矩形，小强补充的条件是；小壮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（    ） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【跟踪专练2】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练3】如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝_____． 【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在中，对角线相交于点，且，若，则________°． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 【跟踪专练2】如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 【跟踪专练3】如图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面l垂直，垂足为点C，且，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度是（    ）    A． B． C． D． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 【跟踪专练1】矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【跟踪专练2】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（    ） A． B．2 C． D．2 【解答题】 1．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 2．如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 3．如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，且，F是BC上一动点．若将沿EF对折后，点B落在点P处，求点P到点D的最短距离． 4．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 5．如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D． (1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ； (2)求点D的坐标； (3)请直接写出点E的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $