专题12三角形的中位线与反证法同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题12三角形的中位线与反证法同步讲义 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】.........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】.............................4 【题型03 三角形中位线的实际应用】...............................5 【题型04 反证法证明中的假设】...................................6 【题型05 用反证法证明命题】.....................................7 【题型06 网格中多边形面积比较】.................................8 【解答题6题】...................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有 3 条中位线。 2. 三角形中位线定理 文字语言：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE 是△ABC 的中位线，∴ DE ∥BC ，且 DE = BC。 3. 重要结论 三角形的三条中位线把原三角形分成 (1).4 个全等的小三角形 (2).3 个平行四边形 (3).小三角形周长 = 原三角形周长的 (4).小三角形面积 = 原三角形面积的 前提条件 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，则 DE、DF、EF 是△ABC 的三条中位线。 中位线定理： DE∥BC，且 DE=BC DF∥AC，且 DF=AC EF∥AB，且 EF=AB 几何语言 4 个全等的小三角形 △ADE△DBF△EFC△FED 3 个平行四边形 四边形 ADFE、四边形 DBFE、四边形 DFCE 都是平行四边形。 周长关系 小三角形周长 =× 原三角形周长 即：C△ADE=C△DBF=C△EFC=C△FED=C△ABC​ 面积关系 小三角形面积 =× 原三角形面积 即：S△ADE=S△DBF=S△EFC=S△FED=S△ABC​ 知识点02:反证法 1. 定义 先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，从而说明假设错误，原命题成立。 2. 反证法三步（必背） (1)反设：假设命题的结论不成立 (2)归谬：从假设出发，经过推理得出矛盾（与已知、定义、公理、定理矛盾） (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而原命题成立 3. 常用 “反设” 写法（高频考点） 结论：a ∥ b → 反设：a 与 b 不平行 结论：a = b → 反设：a ≠ b 结论：a > b → 反设：a ≤ b 结论：至少有一个 → 反设：一个都没有 结论：都是 → 反设：不都是 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【跟踪专练3】如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【跟踪专练1】如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为___________． 【跟踪专练2】如图，是的中位线，作的垂直平分线与交于点，连接，则四边形的形状一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么______．    【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得点A、B分别是的中点，若测得，则A、B间的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程：该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖辟A，B两点之间的距离，如图，是该实践小组所画的示意图，先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定OA，OB的中点C，D，最后用卷尺量出m，则AB之间的距离是______m． 【跟踪专练2】如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为_________． 【题型4.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设__________． 【跟踪专练1】已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【跟踪专练3】用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 【题型5.用反证法证明命题】 【典例】反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论__________； （2）从这个假设出发，经过推理，得出__________； （3）由矛盾判定假设__________，从而得到原命题__________． 【跟踪专练1】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【跟踪专练2】用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【跟踪专练3】如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型6.网格中多边形面积比较】 【典例】.如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【跟踪专练1】正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【跟踪专练3】如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【解答题】 1．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 2．如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 3．一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 4．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 6．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12三角形的中位线与反证法同步讲义 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】.........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】.............................6 【题型03 三角形中位线的实际应用】...............................8 【题型04 反证法证明中的假设】..................................12 【题型05 用反证法证明命题】....................................14 【题型06 网格中多边形面积比较】................................17 【解答题6题】..................................................20 ★知识梳理★ 知识点01:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有 3 条中位线。 2. 三角形中位线定理 文字语言：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE 是△ABC 的中位线，∴ DE ∥BC ，且 DE = BC。 3. 重要结论 三角形的三条中位线把原三角形分成 (1).4 个全等的小三角形 (2).3 个平行四边形 (3).小三角形周长 = 原三角形周长的 (4).小三角形面积 = 原三角形面积的 前提条件 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，则 DE、DF、EF 是△ABC 的三条中位线。 中位线定理： DE∥BC，且 DE=BC DF∥AC，且 DF=AC EF∥AB，且 EF=AB 几何语言 4 个全等的小三角形 △ADE△DBF△EFC△FED 3 个平行四边形 四边形 ADFE、四边形 DBFE、四边形 DFCE 都是平行四边形。 周长关系 小三角形周长 =× 原三角形周长 即：C△ADE=C△DBF=C△EFC=C△FED=C△ABC​ 面积关系 小三角形面积 =× 原三角形面积 即：S△ADE=S△DBF=S△EFC=S△FED=S△ABC​ 知识点02:反证法 1. 定义 先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，从而说明假设错误，原命题成立。 2. 反证法三步（必背） (1)反设：假设命题的结论不成立 (2)归谬：从假设出发，经过推理得出矛盾（与已知、定义、公理、定理矛盾） (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而原命题成立 3. 常用 “反设” 写法（高频考点） 结论：a ∥ b → 反设：a 与 b 不平行 结论：a = b → 反设：a ≠ b 结论：a > b → 反设：a ≤ b 结论：至少有一个 → 反设：一个都没有 结论：都是 → 反设：不都是 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质解答即可求解，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：40． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 【跟踪专练2】如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【跟踪专练3】如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【跟踪专练1】如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由条件可证得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的中位线，作的垂直平分线与交于点，连接，则四边形的形状一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定； 根据三角形中位线定理可得，，由已知可得，然后根据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵的垂直平分线与交于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么______．    【答案】4 【分析】连接延长，交延长线于点G，证得，于是，，，从而． 【详解】连接延长，交延长线于点G， ∵ ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴    故答案为：4 【点睛】本题考查三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得点A、B分别是的中点，若测得，则A、B间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点， ∴AB是△CDE的中位线， ∴AB＝DE＝×18＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练1】为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程：该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖辟A，B两点之间的距离，如图，是该实践小组所画的示意图，先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定OA，OB的中点C，D，最后用卷尺量出m，则AB之间的距离是______m． 【答案】20 【分析】根据中位线定理解答即可． 【详解】解： C，D是OA，OB的中点 是的中位线 m 故答案为：20． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【跟踪专练2】如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， ∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线， ∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝， ∴第二个三角形的周长是， 同理可得，第三个三角形是， …… ∴第2021个三角形的周长是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，图形的变化规律，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练3】如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 【分析】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，BC=N′N″，M′M″=2DE， ∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，BC=2DE， ∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″， ∴四边形M′M″N″N′是平行四边形， ∴四边形M′M″N″N′的周长=2MN+10， 如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J． ∵S△ABC=•BC•AH=10，BC=5， ∴AH=4， ∵∠ABC=45°， ∴AH=BH=4， ∴CH=CB-BH=5-4=1， ∵AH∥EJ，AE=EC， ∴JH=JC=， ∴EJ=AH=2，BJ=BH+JH=， ∴BE=， 当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值=14， 当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值= ， ∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为． 故答案为． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，三角形面积，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是求出MN的最大值和最小值，属于中考填空题中的压轴题． 【题型4.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设__________． 【答案】 【分析】本题考查反证法，反证法的第一步是假设结论不成立，据此进行作答即可． 【详解】解：由题意，首先应假设； 故答案为： 【跟踪专练1】已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 【跟踪专练3】用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 【答案】B 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 【题型5.用反证法证明命题】 【典例】反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论__________； （2）从这个假设出发，经过推理，得出__________； （3）由矛盾判定假设__________，从而得到原命题__________． 【答案】 不成立 矛盾 不正确 成立 【分析】依据反证法的定义解答即可． 【详解】反证法的一般步骤为： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立， 故答案为：不成立，矛盾，不正确，成立 【点睛】此题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 【跟踪专练2】用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 【跟踪专练3】如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和反证法进行证明即可得到答案．熟练掌握反证法是解题的关键． 【详解】解：解：A．∵将绕点C逆时针旋转度后得到， ∴， 但无法确定，故选项错误，不符合题意； B．∵将绕点C逆时针旋转度后得到， ∴， ∴，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵大小未知， 故选项错误，不符合题意； C．∵将绕点C逆时针旋转度后得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项正确，符合题意； D．∵将绕点C逆时针旋转度后得到， ∴， 若， ∵， ∴， 即是等边三角形， 当且仅当时成立， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【题型6.网格中多边形面积比较】 【典例】.如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 【跟踪专练1】正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的面积，两平行线间的距离．应注意数形结合，防止漏解或错解． 【跟踪专练2】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 【跟踪专练3】如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 【解答题】 1．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 2．如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，如图，取的中点，连接，利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，推出，结合，即可得出结论． 【详解】证明：如图，取的中点，连接， ∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 3．一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【答案】见解析 【分析】设E、F、G、H分别为的中点，连接，根据三角形中位线定理，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出平行四边形铁皮各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；理由如下： 设E、F、G、H分别为的中点， 连接，如图所示： 则是的中位线， ∴，， 是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 4．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求． （2）解：． 6．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 【答案】见解析． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答． 【详解】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图， ∵， ∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立， ∴原命题正确． 【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $