专题11平行四边形的判定定理同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题11平行四边形的判定定理同步讲义 【题型01 证明四边形是平行四边形】................................3 【题型02 判断能否构成平行四边形】................................5 【题型03 添条件使四边形为平行四边形】............................8 【题型04 求与三点组成平行四边形的点个数】.......................11 【题型05 全等三角形拼平行四边形问题】...........................14 【题型06 利用平行四边形判定与性质求解】.........................16 【题型07 利用平行四边形判定与性质证明】.........................19 【题型08 平行四边形判定与性质的应用】...........................22 【解答题5题】...................................................25 ★知识梳理★ 知识点01:核心判定方法（定义 + 定理） （一）定义法（最基础判定） 内容：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 （二）判定定理 1（边：一组对边平行且相等） 内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，且AB=CD（或AD∥BC，且AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 证明思路：连接对角线，证三角形全等，得另一组对边平行 / 相等，用定义判定。 （三）判定定理 2（边：两组对边分别相等） 内容：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。证明思路：连接对角线，证三角形全等，得内错角相等，推出对边平行，用定义判定。 （四）判定定理 3（角：两组对角分别相等） 内容：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 逻辑依据：四边形内角和360∘，两组对角相等则邻角互补，推出对边平行。 （五）判定定理 4（对角线：互相平分） 内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∵OA=OC，OB=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 证明思路：证△AOB≅△COD、△AOD≅△COB，得对边相等，用定理 2 判定。 知识点02:判定方法分类汇总（边 / 角 / 对角线） 判定维度 判定方法 核心条件 边 定义法 两组对边分别平行 定理 1 一组对边平行且相等 定理 2 两组对边分别相等 角 定理 3 两组对角分别相等 对角线 定理 4 对角线互相平分 知识点03:易错点提醒 1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 2.一组对角相等、一组对边平行的四边形，可推导为平行四边形，但非教材直接判定定理。 3.判定时优先选条件直接、证明最简的方法（如对角线互相平分优先用定理 4） 【题型1.证明四边形是平行四边形】 【典例】下列命题中不正确的是（    ） A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 【题型2.判断能否构成平行四边形】 【典例】控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形等等，结合平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是_________（只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【答案】①④（答案为唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行组合判断． 【详解】解：①④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ①②组合，不能判定四边形判定平行四边形； ①③组合，∵，∴， ∵， ∴， ∴， 从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形是平行四边形； ③④组合不能判定四边形判定平行四边形； 故答案为：①④（答案为唯一）． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【跟踪专练2】在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．全等三角形的性质和判定，注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．根据平行四边形的判定定理进行分析判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，， 四边形不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练3】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 【题型3.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是________．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：________，使四边形AECF是平行四边形．    【答案】或或． 【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件． 【详解】解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明的条件来得到，，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形． 【跟踪专练3】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项推理证明即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠CDB， ∴BD∥CE， ∴四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵， ∴ED=CB， ∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 根据，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意； D、∵AE∥BC， ∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°， ∵∠AEC＝∠CBD， ∴∠BDE＝∠BCE， ∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型4.求与三点组成平行四边形的点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【题型5.全等三角形拼平行四边形问题】 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【跟踪专练1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；   . 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【跟踪专练2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【题型6.利用平行四边形判定于性质求解】 【典例】如图，在四边形中，，．当_________时，与互相平分． 【答案】6 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先根据证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：当，而， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定．根据题意，得出四边形是平行四边形，再结合平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为，，，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以该图形的面积为：． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， 又，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴ ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 【题型7.利用平行四边形判定与性质证明】 【典例】已知：如图，在中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①；②；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又；⑤四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（    ） A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④ C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③ 【答案】C 【分析】根据平行形四边形的判定及性质即可求得． 【详解】解：⑤四边形ABCD是平行四边形， ②， ④又， ①， ③∴四边形EBFD是平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，正确书写证明过程是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是____． 【答案】6 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形；设与之间的距离为h，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 设与之间的距离为h， 四边形的面积是3， ， ， ，     故答案为：6 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 【题型8.平行四边形判定与性质的应用】 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD， 由题意，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 由题意，AE=AF=4， ∴AB=4， ∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 【跟踪专练2】.如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 【跟踪专练3】如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 【解答题】 1．如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先借助平行四边形的性质和角平分线定义证得，再证出四边形是平行四边形得到，最后结合中点推出与平行且相等，以此判定四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．E是边与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中过点E画线段，使，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，先连接，根据网格的特点找到的中点，连接并延长至点所在的网格线上，则四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求 4．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11平行四边形的判定定理同步讲义 【题型01 证明四边形是平行四边形】................................3 【题型02 判断能否构成平行四边形】................................4 【题型03 添条件使四边形为平行四边形】............................5 【题型04 求与三点组成平行四边形的点个数】........................6 【题型05 全等三角形拼平行四边形问题】............................6 【题型06 利用平行四边形判定与性质求解】..........................7 【题型07 利用平行四边形判定与性质证明】..........................8 【题型08 平行四边形判定与性质的应用】............................9 【解答题5题】...................................................10 ★知识梳理★ 知识点01:核心判定方法（定义 + 定理） （一）定义法（最基础判定） 内容：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 （二）判定定理 1（边：一组对边平行且相等） 内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，且AB=CD（或AD∥BC，且AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 证明思路：连接对角线，证三角形全等，得另一组对边平行 / 相等，用定义判定。 （三）判定定理 2（边：两组对边分别相等） 内容：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。证明思路：连接对角线，证三角形全等，得内错角相等，推出对边平行，用定义判定。 （四）判定定理 3（角：两组对角分别相等） 内容：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 逻辑依据：四边形内角和360∘，两组对角相等则邻角互补，推出对边平行。 （五）判定定理 4（对角线：互相平分） 内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∵OA=OC，OB=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 证明思路：证△AOB≅△COD、△AOD≅△COB，得对边相等，用定理 2 判定。 知识点02:判定方法分类汇总（边 / 角 / 对角线） 判定维度 判定方法 核心条件 边 定义法 两组对边分别平行 定理 1 一组对边平行且相等 定理 2 两组对边分别相等 角 定理 3 两组对角分别相等 对角线 定理 4 对角线互相平分 知识点03:易错点提醒 1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 2.一组对角相等、一组对边平行的四边形，可推导为平行四边形，但非教材直接判定定理。 3.判定时优先选条件直接、证明最简的方法（如对角线互相平分优先用定理 4） 【题型1.证明四边形是平行四边形】 【典例】下列命题中不正确的是（    ） A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 【跟踪专练3】数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【题型2.判断能否构成平行四边形】 【典例】控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是_________（只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【跟踪专练2】在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【题型3.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是________．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：________，使四边形AECF是平行四边形．    【跟踪专练3】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.求与三点组成平行四边形的点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【跟踪专练3】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5.全等三角形拼平行四边形问题】 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【跟踪专练2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【跟踪专练3】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【题型6.利用平行四边形判定于性质求解】 【典例】如图，在四边形中，，．当_________时，与互相平分． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 【跟踪专练3】在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 【题型7.利用平行四边形判定与性质证明】 【典例】已知：如图，在中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①；②；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又；⑤四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（    ） A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④ C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③ 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 【跟踪专练2】如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是____． 【跟踪专练3】如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【题型8.平行四边形判定与性质的应用】 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【跟踪专练3】如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答题】 1．如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 2．如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．E是边与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中过点E画线段，使，且． 4．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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