专题08多边形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题08多边形同步讲义 【题型01 多边形的概念与分类】...................................3 【题型02 多边形截角后边数问题】.................................5 【题型03 多边形的周长】.........................................6 【题型04 多边形对角线条数问题】.................................9 【题型05 对角线分三角形个数问题】..............................11 【题型06 多边形内角和问题】....................................12 【题型07 多少算一个角问题】....................................14 【题型08 多边形截角后内角和问题】..............................16 【题型09 多边形外角和的应用】..................................18 【题型10 多边形内角与外角和综合】..............................20 【解答题5题】..................................................22 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 多边形：由n 条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形（n≥3）。 n 边形：三角形、四边形、五边形……n 边形。 凸多边形：每个内角都小于 180°，且所有内角都在同一侧（本节主要研究凸多边形）。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 知识点02:内角和公式（必考） n 边形内角和：内角和=(n−2)×180∘ 三角形：180° 四边形：360° 五边形：540° 六边形：720° 知识点03:外角和定理（必考） 任意 n 边形的外角和都等于 360°外角和=360∘(与边数n无关) 已知：五边形 ABCDE，在顶点 A,B,C,D,E 处分别取外角 ∠1,∠2,∠3,∠4,∠5。 求证：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘。 证明：根据多边形外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360∘，因此五边形 ABCDE 的外角和为 360∘，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘ 知识点04:对角线数量公式 n 边形对角线总数：对角线条数=​ 每个顶点连：n−3 条 不重复、不遗漏 知识点05:常用结论（直接背） 1.多边形问题常用思路：内角和 ↔ 边数 n ↔ 外角和 互求。 2.已知内角和求边数：n=+2 3.已知每个内角度数求 n：n= 4.内角和一定是 180° 的整数 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的定义和性质，熟练掌握多边形的定义和性质是解题关键．根据各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，可判断A、B选项；根据多边形内角和外角的关系，可判断C选项；根据边形有条对角线，可判断D选项． 【详解】解：A、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； B、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； C、多边形的内角与相邻的外角互为补角，原说法正确，符合题意； D、五边形一共有条对角线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【题型2.多边形截角后边数问题】 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【跟踪专练1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 【跟踪专练2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 【跟踪专练3】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【题型3.多边形的周长】 【典例】正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【跟踪专练2】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【跟踪专练3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 【题型4.多边形的周长】 【典例】十二边形一共有______条对角线． 【答案】 54 【分析】本题考查求多边形的对角线条数，利用多边形的对角线公式进行求解即可． 【详解】解：n边形的对角线条数公式为， ∴当时，计算得． 故答案为：54 【跟踪专练1】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】35 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，首先根据其内角和求得其边数，然后利用对角线条数的求法求得对角线的条数即可． 【详解】解：∵其内角和为， 解得： ∴这个多边形所有对角线的条数是：． 故答案为：35． 【跟踪专练3】若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 【题型5.对角线分三角形个数问题】 【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为________． 【答案】2025 【分析】根据多边形的边数=三角形的个数+2，即可求解． 【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：2025． 【点睛】本题主要考查多边形的边数，理解多边形和三角形之间的联系是解题的关键．过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形． 【跟踪专练1】把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，则的值为（    ） A．7 B．4 C．12 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形分对角线问题和多边形分三角形问题，过t边形的一个顶点的对角线条数为条，过t边形的一个顶点的对角线把多边形分割成个三角形，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n， ∴， ， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 【跟踪专练3】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 【题型6.多边形内角和问题】 【典例】在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的内角和度数为_________度． 【答案】1080 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，n边形的内角和为，据此求解即可． 【详解】解：， ∴这个正八边形的内角和度数为， 故答案为：1080． 【跟踪专练1】若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 【跟踪专练2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为____________． 【答案】 【分析】设四个内角度数分别为，根据四边形内角和为，列出方程求解x，再求最大角的度数． 本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和公式，得， 即， 解得， 则最大内角为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理； 【详解】解：连接，可得， ∴， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴. 故选：D. 【题型7.多少算一个角问题】 【典例】一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 【跟踪专练2】小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为__________． 【答案】/100度 【分析】设这个多边形的边数是n，根据漏掉的那个内角的范围介于可得关于n的不等式组，求出n的范围结合n为正整数即得答案． 【详解】解析：设这个多边形的边数是n， 依题意，得， 解得． 又n为正整数， ∴． ∴这个内角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键． 【跟踪专练3】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【题型8.多边形截角后内角和问题】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有_________条边． 【答案】或或9 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示：    剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 【跟踪专练2】将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【跟踪专练3】在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为_____． 【答案】7或8或9 【分析】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解． 【详解】解：设切下一个三角形后多边形的边数x， 由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°， 解得x＝8， 所以，n＝8﹣1＝7， n＝8+1＝9， 或n＝x＝8． 故答案为：7或8或9． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，难点在于熟悉切下一个三角形后多边形边数与原多边形的边数有三种情况. 【题型9.多边形外角和的应用】 【典例】杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】/360度 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 【跟踪专练1】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 【跟踪专练2】如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】延长交于点H，根据，得到，结合，得到，结合计算即可． 【详解】如图，延长交于点F， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 【题型10.多边形内角与外角和综合】 【典例】如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 【答案】 ，，， ， 【分析】根据多边形内角、外角的定义可得答案． 【详解】解：图中四边形的内角有，，，；外角有，． 【跟踪专练1】下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 【答案】C 【分析】根据四边形内角和、外角和定理及内角与外角的互补关系，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为 ∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确． ∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为） ∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确． ∵任意四边形外角和为 ∴C选项表述错误． ∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是 ∴每个外角为，D选项表述正确． 故选：C． 【跟踪专练2】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为________． 【答案】/1080度 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题关键．先根据多边形的外角和等于可求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可得． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， ∴这个多边形的内角和为， 故答案为：． 【跟踪专练3】一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，设正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的一个内角为，即可得出方程，解方程得出外角度数，从而即可得出边数． 【详解】解：设正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的一个内角为， 根据题意得：， 解得：， ∴这个多边形的一个外角为， 故选：B． 【解答题】 1．求出下列图形中x的值． 【答案】图1中，图2中 【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可． 【详解】解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 2．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 3．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 4．如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 5．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08多边形同步讲义 【题型01 多边形的概念与分类】...................................3 【题型02 多边形截角后边数问题】.................................3 【题型03 多边形的周长】.........................................4 【题型04 多边形对角线条数问题】.................................5 【题型05 对角线分三角形个数问题】...............................5 【题型06 多边形内角和问题】.....................................5 【题型07 多少算一个角问题】.....................................6 【题型08 多边形截角后内角和问题】...............................6 【题型09 多边形外角和的应用】...................................6 【题型10 多边形内角与外角和综合】...............................7 【解答题5题】...................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 多边形：由n 条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形（n≥3）。 n 边形：三角形、四边形、五边形……n 边形。 凸多边形：每个内角都小于 180°，且所有内角都在同一侧（本节主要研究凸多边形）。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 知识点02:内角和公式（必考） n 边形内角和：内角和=(n−2)×180∘ 三角形：180° 四边形：360° 五边形：540° 六边形：720° 知识点03:外角和定理（必考） 任意 n 边形的外角和都等于 360°外角和=360∘(与边数n无关) 已知：五边形 ABCDE，在顶点 A,B,C,D,E 处分别取外角 ∠1,∠2,∠3,∠4,∠5。 求证：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘。 证明：根据多边形外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360∘，因此五边形 ABCDE 的外角和为 360∘，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘ 知识点04:对角线数量公式 n 边形对角线总数：对角线条数=​ 每个顶点连：n−3 条 不重复、不遗漏 知识点05:常用结论（直接背） 1.多边形问题常用思路：内角和 ↔ 边数 n ↔ 外角和 互求。 2.已知内角和求边数：n=+2 3.已知每个内角度数求 n：n= 4.内角和一定是 180° 的整数 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【跟踪专练3】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【题型2.多边形截角后边数问题】 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【跟踪专练1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【跟踪专练2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【跟踪专练3】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 【题型3.多边形的周长】 【典例】正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【跟踪专练2】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【跟踪专练3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【题型4.多边形的周长】 【典例】十二边形一共有______条对角线． 【跟踪专练1】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有______条对角线． 【跟踪专练3】若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5.对角线分三角形个数问题】 【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为________． 【跟踪专练1】把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，则的值为（    ） A．7 B．4 C．12 D．1 【跟踪专练2】（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【跟踪专练3】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【题型6.多边形内角和问题】 【典例】在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的内角和度数为_________度． 【跟踪专练1】若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【跟踪专练2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为____________． 【跟踪专练3】如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【题型7.多少算一个角问题】 【典例】一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【跟踪专练2】小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为__________． 【跟踪专练3】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【题型8.多边形截角后内角和问题】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有_________条边． 【跟踪专练2】将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【跟踪专练3】在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为_____． 【题型9.多边形外角和的应用】 【典例】杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【跟踪专练1】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型10.多边形内角与外角和综合】 【典例】如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 【跟踪专练1】下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 【跟踪专练2】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为________． 【跟踪专练3】一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．求出下列图形中x的值． 2．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 3．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 4．如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 5．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $