专题03一元二次方程和它的解同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

本讲义聚焦一元二次方程的定义（一元、二次、整式三个核心特征）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的应用（检验解、由解求参数、估算解），构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过“举一正三反”辨析定义培养抽象能力，易错点避雷强化推理意识，核心口诀速记提升模型意识，分题型典例与跟踪专练助力课中教学与课后查漏补缺。

专题03一元二次方程和它的解同步讲义 【题型01 一元二次方程的定义】....................................3 【题型02 由一元二次方程的定义求参数】............................4 【题型03 一元二次方程的解的判定】................................4 【题型04 由一元二次方程的解求参数】..............................5 【题型05 一元二次方程的解的估算】................................5 【题型06 化成一元二次方程的一般式】..............................6 【解答题5题】....................................................6 ★知识梳理★ 知识点01:一元二次方程的定义 —— 认准 “三个核心特征” 1. 正式定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三大关键特征（缺一不可） ✅ 一元：只含一个未知数（如 x、y，通常用 x 表示）； ✅ 二次：未知数的最高次数为 2（方程中必须有含未知数平方的项，且没有更高次项）； ✅ 整式：方程两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数）。 3. 举一正三反，快速辨对错 ✅ 正例：x2−3x+2=0、2x2=5、(x−1)2=4（均满足三个特征）； ❌ 反例 1：x3+2x=0（最高次数 3，不是二次）； ❌ 反例 2：x2+=3（分母含未知数，不是整式方程）； ❌ 反例 3：x2+y=5（含两个未知数，不是一元）。 知识点02:一元二次方程的一般形式—— 标准化书写（必考） 1. 一般形式 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0） 2. 各部分名称 ax2：二次项，a为二次项系数（核心：a0，否则最高次数不是 2，就不是一元二次方程了）； bx：一次项，b为一次项系数（b可以为 0，此时方程无一次项）； c：常数项（c可以为 0，此时方程无常数项）。 3. 经典题型：化为一般形式，找系数 例题：将(x−2)(x+3)=1化为一般形式，并写出各项系数。 解：先展开→x2+3x−2x−6=1； 再移项整理（右边化为 0）→x2+x−7=0； 各项系数：二次项系数a=1，一次项系数b=1，常数项c=−7。 知识点03:一元二次方程的解（根）—— 使方程成立的 “未知数的值” 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。✅ 注：一元二次方程的解的个数：一般有两个解（可以相等，叫重根；也可以不相等），特殊情况可能无实数解（后续学习）。 2. 核心考点 1：检验一个数是否为方程的根 步骤：将这个数代入方程左右两边，分别计算结果→若左右两边相等，则是根；若不相等，则不是。 例题：检验x=2是否为方程x2−3x+2=0的根。 解：左边 =22−3×2+2=4−6+2=0，右边 = 0； 左边 = 右边→x=2是该方程的根。. 3. 核心考点 2：已知根，求参数的值 思路：将根代入方程，得到关于参数的一元一次方程→解一次方程，求出参数。例题：已知x=1是方程ax2−2x+3=0的一个根，求a的值。 解：把x=1代入方程→a×12−2×1+3=0； 化简→a+1=0→解得a=−1。 知识点04:一元二次方程的解（根）（核心考点） 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 考点 1：检验一个数是否为方程的根 方法：代入验证→分别计算方程左右两边的值，相等则为根，不相等则不是。 例题：检验x=2是否为x2−5x+6=0的根→左边 =4−10+6=0= 右边→是根。 考点 2：已知根，求参数的值 解题步骤： 代入：将已知根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程； 求解：解一次方程，算出参数值； 检验：若方程含参数，需验证二次项系数a0，保证方程为一元二次方程。 例题：x=1是(k−2)x2+3x−1=0的根→k−2+3−1=0→k=0→a=−20，符合要求。 知识点05:高频易错点避雷⚡（课堂易混、考试易错题） 1.判定方程时，漏写 **a0** 的条件（如mx2+2x=0，需m0才是一元二次方程）； 2.化一般形式，移项忘变号（如x2−4x=5，易错写为x2−4x+5=0，正确为x2−4x−5=0）； 3.确定系数时，忽略符号（如x2−3x−2=0，一次项系数是 - 3 而非 3）； 4.已知根求参数，漏检验a0，导致方程类型判断错误。 核心口诀速记 一元二次辨真假，三个特征要抓牢； 一元整式最高二，a0是王道； 一般形式ax2+bx+c=0，移项变号别忘掉； 二次一次常数项，系数符号盯紧了； 方程的根怎么验，代入两边比大小； 已知根求参数，代入转化一次算，算出参数回头看，a不为 0 才达标！ 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【跟踪专练1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【跟踪专练3】两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【跟踪专练3】若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【题型3.一元二次方程的解的判定】 【典例】小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【跟踪专练2】已知m，n是方程的两根，则＝________． 【跟踪专练3】已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【题型4.由一元二次方程的解求参数】 【典例】是方程的一个解，则_____． 【跟踪专练1】若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【跟踪专练3】我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型5.一元二次方程的解的估算】 【典例】根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【跟踪专练1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【跟踪专练3】关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【题型6.化成一元二次方程的一般式】 【典例】将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为_____． 【跟踪专练1】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【跟踪专练3】.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【解答题】 1．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 2．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 4．已知是方程的一个根，求代数式的值． 5．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次方程和它的解同步讲义 【题型01 一元二次方程的定义】....................................3 【题型02 由一元二次方程的定义求参数】............................5 【题型03 一元二次方程的解的判定】................................7 【题型04 由一元二次方程的解求参数】.............................10 【题型05 一元二次方程的解的估算】...............................12 【题型06 化成一元二次方程的一般式】.............................14 【解答题5题】...................................................16 ★知识梳理★ 知识点01:一元二次方程的定义 —— 认准 “三个核心特征” 1. 正式定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三大关键特征（缺一不可） ✅ 一元：只含一个未知数（如 x、y，通常用 x 表示）； ✅ 二次：未知数的最高次数为 2（方程中必须有含未知数平方的项，且没有更高次项）； ✅ 整式：方程两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数）。 3. 举一正三反，快速辨对错 ✅ 正例：x2−3x+2=0、2x2=5、(x−1)2=4（均满足三个特征）； ❌ 反例 1：x3+2x=0（最高次数 3，不是二次）； ❌ 反例 2：x2+=3（分母含未知数，不是整式方程）； ❌ 反例 3：x2+y=5（含两个未知数，不是一元）。 知识点02:一元二次方程的一般形式—— 标准化书写（必考） 1. 一般形式 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0） 2. 各部分名称 ax2：二次项，a为二次项系数（核心：a0，否则最高次数不是 2，就不是一元二次方程了）； bx：一次项，b为一次项系数（b可以为 0，此时方程无一次项）； c：常数项（c可以为 0，此时方程无常数项）。 3. 经典题型：化为一般形式，找系数 例题：将(x−2)(x+3)=1化为一般形式，并写出各项系数。 解：先展开→x2+3x−2x−6=1； 再移项整理（右边化为 0）→x2+x−7=0； 各项系数：二次项系数a=1，一次项系数b=1，常数项c=−7。 知识点03:一元二次方程的解（根）—— 使方程成立的 “未知数的值” 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。✅ 注：一元二次方程的解的个数：一般有两个解（可以相等，叫重根；也可以不相等），特殊情况可能无实数解（后续学习）。 2. 核心考点 1：检验一个数是否为方程的根 步骤：将这个数代入方程左右两边，分别计算结果→若左右两边相等，则是根；若不相等，则不是。 例题：检验x=2是否为方程x2−3x+2=0的根。 解：左边 =22−3×2+2=4−6+2=0，右边 = 0； 左边 = 右边→x=2是该方程的根。. 3. 核心考点 2：已知根，求参数的值 思路：将根代入方程，得到关于参数的一元一次方程→解一次方程，求出参数。例题：已知x=1是方程ax2−2x+3=0的一个根，求a的值。 解：把x=1代入方程→a×12−2×1+3=0； 化简→a+1=0→解得a=−1。 知识点04:一元二次方程的解（根）（核心考点） 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 考点 1：检验一个数是否为方程的根 方法：代入验证→分别计算方程左右两边的值，相等则为根，不相等则不是。 例题：检验x=2是否为x2−5x+6=0的根→左边 =4−10+6=0= 右边→是根。 考点 2：已知根，求参数的值 解题步骤： 代入：将已知根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程； 求解：解一次方程，算出参数值； 检验：若方程含参数，需验证二次项系数a0，保证方程为一元二次方程。 例题：x=1是(k−2)x2+3x−1=0的根→k−2+3−1=0→k=0→a=−20，符合要求。 知识点05:高频易错点避雷⚡（课堂易混、考试易错题） 1.判定方程时，漏写 **a0** 的条件（如mx2+2x=0，需m0才是一元二次方程）； 2.化一般形式，移项忘变号（如x2−4x=5，易错写为x2−4x+5=0，正确为x2−4x−5=0）； 3.确定系数时，忽略符号（如x2−3x−2=0，一次项系数是 - 3 而非 3）； 4.已知根求参数，漏检验a0，导致方程类型判断错误。 核心口诀速记 一元二次辨真假，三个特征要抓牢； 一元整式最高二，a0是王道； 一般形式ax2+bx+c=0，移项变号别忘掉； 二次一次常数项，系数符号盯紧了； 方程的根怎么验，代入两边比大小； 已知根求参数，代入转化一次算，算出参数回头看，a不为 0 才达标！ 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 【跟踪专练1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2． A：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； B：中，为参数，若，则不是二次方程，不一定是一元二次方程； C：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； D：中含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义； 故选：C． 【跟踪专练2】如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 【跟踪专练3】两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 【题型2.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 【题型3.一元二次方程的解的判定】 【典例】小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，熟记方程的解是使等式成立的的值是解决问题的关键． 通过表格数据，当的取值使等号两边式子相等时，该即为一元二次方程的解． 【详解】解：由表可知，当时，等号左边的值等号右边的值， 是一元二次方程的解， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【跟踪专练2】已知m，n是方程的两根，则＝________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 【跟踪专练3】已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 【题型4.由一元二次方程的解求参数】 【典例】是方程的一个解，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入一元二次方程即可得出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是的一个解， ∴， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【跟踪专练3】我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了探索数字的运算规律，根据前几个运算找到规律，根据规律求出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知每次运算一个循环， ， 是第个循环的最后一个数， . 故选：B． 【题型5.一元二次方程的解的估算】 【典例】根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【跟踪专练2】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 【跟踪专练3】关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 【题型6.化成一元二次方程的一般式】 【典例】将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”进行求解即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为， 所以一次项系数为． 故答案为． 【跟踪专练1】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式（）即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为， 移项得， 合并常数项得， 故选：． 【跟踪专练2】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 【跟踪专练3】.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【解答题】 1．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 2．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 4．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 5．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $