2.3 一元二次方程根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

所以b2-4ac=[-(x2+1)]2-4x· 2+21 所以由公式法，可得3=兰或3= x2+2 当3=2时，解得x=6, 当3=十2时，解得x,=3-7, 2x x2=3+√7. 经检验，x1=3一√7，x2=3十√7都是 分式方程的解。 所以原方程的解为x1=3一√7，x2= 3+7,x3=6. 9.(1)①设x2=y,则原方程可转化 为y2一3y-4=0,解得y1=4, y2=-1. 当y=4时，x2=4,则x=士2：当 y=一1时，x2=一1，此方程无实数解。 所以原方程的解为x1=2,x2=一2. ②设√无=m(m≥0)，则原方程可转 化为2m2-5m+2=0,解得m1=2, m=7 当m=2时，√元=2，则x=4;当m= 2时匠=则x= 1 所以原方程的解为x1=4,x2=4 (2)因为(m+3n)(m+3n-2)= 2m+6n-4, 所以(m+3)(m+3-2)=2(m+ 3m-2). 设m十3n=t,则1(t-2)=2(t-2). 移项，得t(t一2)一2(t一2)=0. 将方程的左边分解因式，得(t一2)2=0， 所以t1=t2=2. 所以m十3=2. 所以4m+12-3=4(m+32)-3= 4×2-3=5. 2.3一元二次方程根 与系数的关系 1.D2.D3.C4.-35.-5 6.因为一元二次方程2x2一9x+3 0的两根为x,和x2, 所以十=号=是 (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+ x2+1=x1x2+(x1+x2)+1= 3十 2 +1=7. 2 (2)x-x1x2十x号=x+2x1x2十 x-3x1x2=(x1十x2)2-3x1x2= (-x-到昌- 7.C解析：根据根与系数的关系，得 x1十x2=8①，x1x2=m②.把x1= 3.x2代人①，得3x2+x2=8,解得 x2=2.所以x1=3X2=6.把x1=6, x2=2代人②，得m=6×2=12. 8.B解析：设该方程为x2十bx十 c=0.由题意可知，一b=(一7)十 (-2)=-9,c=3×6=18,所以b= 9,c=18.所以原来的方程是x2+ 9x+18=0. 9.B解析：由题意可知，a十b=3, 6s1 2,所以a2+b2=(a+b)2 2ab=32-2×7=8.所以该直角三 角形的斜边长为√a+b=√8=2√2. 10.C解析：整理方程，得x2十x 2-p2=0,则根的判别式为12一4× 1×(-2-p2)=9+4p2>0,故该方 程有两个不相等的实数根x1,x2.因 为x1·x2=-2-2<0,所以x1x2 异号.所以该方程有一个正根，一个 负根 11.A解析：由根与系数的关系，得 x1十x2=k,x1·x2=k十3.所以 x号+x号=(x1+x2)2-2x1x2=k2 2(k+3)=k2一2k一6.又因为x+ x号=9，所以k2一2k一6=9，解得 k1=-3,k2=5.当k=-3时，一元二 次方程为x2+3.x=0.因为32一4× 1×0=9>0,所以方程有两个不相等 的实数根，符合题意.当飞=5时，一元 二次方程为x2一5.x+8=0.因为 (一5)2一4×8×1=一7<0，所以方程 没有实数根，不符合题意，舍去.所以 k的值为一3. 12 易错警示 忽视根与系数关系的应用条件 导致出现多解 一元二次方程有实数根是运 用根与系数关系的前提条件，即运 用一元二次方程根与系数的关系 解题时，必须保证原一元二次方程 根的判别式大于或等于0.本题容 易犯的错误是运用根与系数的关 系求得原方程未知字母的值后不 去验证根的判别式是否大于或等 于0，就会错误地得出k的值为一3 或5，即出现多解的错误，从而选择 错误答案C 12.一2解析：设关于y的方程y2十 my十n=0的两个根为y1,y2,方程 x2十x一1=0的两个根为x1,x2,则 y+y2=-m,yy2=n,x1+x2= 一1，x1x2=一1.因为关于y的一元 二次方程y2十my十1=0的两个根分 别是一元二次方程x2十x一1=0的 两个根的2倍，所以y1十y2=2x1十 2x2=2(x1+x2)=2X(-1)=-m, y1y2=2x1·2x2=4x1x2=4X (一1)=n.所以m=2,n=一4.所以 m+n=-2. 13.(1)设方程的两根分别为x1,x2 (x1>x2). x十x2=-1, 由题意，得 x1-x2=1, x1=0, 解得 x2=-1. 所以方程的两根为x1=0,x2=一1. 2)因为：8=0， 所以a-c=0,即a=c. 又因为，十2=-26 =-1, a十c 所以2b=a+c. 所以2b=2a=2c,即a=b=c. 所以△ABC为等边三角形. 14.(1)因为原方程有两个实数根， 所以[-(2k+1)]-4(k2+2k)≥0. 所以4k2+4k+1-4k2-8k≥0. 所以1一4≥0，解得<子 所以实数：的取值范国是≤子 (2)不存在。 理由：假设存在实数k,使得x1x2 x号-x2≥0成立 因为x1,x2是原方程的两个实数根， 所以x1十x2=2k十1，x1x2=k2+2k. 由x1x2-x号-x号≥0，得3x1x2 (x1十x2)2≥0. 所以3(k2+2k)-(2k+1)2≥0. 整理，得(k-1)2≤0. 又(k-1)2≥0， 所以(k-1)2=0,即k=1. 又由a蜘6≤ 所以k=1不符合题意，即不存在实数 k,使得x1x2一x子-x≥0成立. 15.(1)x1=√2，x2=-2,x3=5 x4=一√5.解析：令y=x2,则有 y2-5y十6=0，解得y1=2,y2=3.当 y=2时，x2=2.所以x=士√2.当 y=3时，x2=3.所以x=土√5.所以 x1=√2，x2=-2,x3=V5,x4= -√5. (2)①当a2≠b2时，令a2=m, b2=2. 所以m≠n,则2m2-7m+1=0, 2n2-7n+1=0. 所以m,n是方程2x2-7x+1=0的 两个不相等的实数根 m十n=2’ 7 所以 1 mn=2: 此时a4+b=m2+n2=(m十n)2 2m=(号)-2x-号 ②当a2=b2(a=-b)时，易得a2= 62=7±④，此时a+b=2a= 4 2(a)2=45±74 4 综上所述。+6-行或5±7国 4 8)令0 =p,一n=q,则p2十p一 7=0,q2+q-7=0. 因为n>0, 所以≠一：即力≠。 所以p,q是方程x2+x一7=0的两个 不相等的实数根， 所以 p+g=-1, （pg=-7. 故1+m2=b2+g2=(b十g)2 2g=(-1)2-2×(-7)=15. 一方法归纳 解决构造新方程问题的一般方法 根据所给两个方程的整体结 构特征，将其转化为具有相同结构 的方程，从而构造新方程，并确定 这个新方程的两个根，再根据一元 二次方程根与系数的关系确定原 来两个方程的根之间的数量关系， 对待求代数式进行适当变形，进而 求得结果 专题特训三一元二次方程 根的判别式及根与系数 关系的应用 1.C解析：因为函数y=k.x十b(k≠ O)的图象经过第二、三、四象限， 所以k<0,b<0.所以b2>0,-4k> 0.所以b2-4(k-1)=b2-4k+4> 0.所以原方程有两个不相等的实 数根. 2.B解析：因为1和一1有一个是 关于x的方程x2+bx十a=0的根， 所以1+b十a=0或1-b十a=0.所 以-b=a+1或b=a+1,即b2= (a+1)2.所以(2b)2-4(a+1)2= 4[b2-(a+1)2]=0.所以关于x的 一元二次方程(a十1)x2+2bx十(a+ 1)=0有两个相等的实数根. 3.(1)由题意，得方程x一(k十 2)x+2k-1=0的根的判别式为 [-(k+2)]2-4×1×(2k-1)=k2- 4k+8=(k一2)2+4. 又因为无论k取何实数，总有（一 2)2≥0， 所以(k-2)2+4>0. 所以无论k取何实数，方程总有两个 不相等的实数根. (2)因为方程的一个根为x=3, 所以32一3(k+2)+2k一1=0，解得 13 k=2. 所以方程为x2-4x十3=0. 解得x1=1,x2=3. 所以方程的另一根为x=1. 4.(1)因为关于x的一元二次方程 x2+(2m十1)x十m2=0有两个不相 等的实数根， 所以(2m+1)2一4m2>0,解得m> (2)利用求根公式求出方程的根为 x=二2m-1±V4m+三 因为方程的两个根都为整数， 所以4m+1为平方数. 所以m的值不唯一，如当m的值为0 时，方程的根为x1=0,x2=一1. 5.29解析：因为方程x2-5x 24=0的两根分别为a,b,所以a+ b=5,a2-5a-24=0.所以a2-5a= 24.所以a2-4a+b=a2-5a+a+ b=24+5=29. 6.由题意，得m,n是方程x2一x 3=0的两个不相等的实数根， 所以m十n=1,mn=一3. 因为n2-n=3,即n2=n十3， 所以原式=2(n+3)一m+2m+ 2026=2(m+n)-mm+2032=2× 1-(-3)+2032=2+3+2032= 2037. 7.D解析：因为关于x的一元二次 方程x2一(k一1)x一k十2=0有两个 实数根x1,x2,所以x1十2=k一1， x1x2=-k十2.因为(x1一x2十2)· (x1一x2一2)+2x1x2=-3,即(x1十 x2)2-2x1x2-4=-3,所以(k 1)2+2k-4-4=-3,解得1=2， k2=一2.因为关于x的一元二次方程 x2一(k一1)x-k+2=0有两个实数 根，所以[一(k一1)]2一4×1×（一k+ 2)=k2十2k-7≥0.经检验，k=一2 不符合题意，k=2符合题意.所以 k=2. 8.(1)因为关于x的一元二次方程 x2十mx十m-2=0的根的判别式为 m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m- 2)2+4>0,拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 2.3一元二次方程根与系数的关系“答案与解析见P12 自基础进阶 素能攀升 1.(2025·义鸟段考)已知一元二次方程2x2+ 7.若关于x的一元二次方程x2一8x+m=0的 3x一1=0的两根分别为x1,x2,则x1十x2 两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 的值为 () A司 c 3 D.- A.4 B.8 2 C.12 D.16 2.已知x1,x2是一元二次方程x2十2ax十b=0 8.(2025·杭州钱塘段考)嘉嘉和淇淇在解一道 的两根，且x1十x2=3,x1x2=1,则a,b的值 二次项系数为1的一元二次方程时，嘉嘉在 分别是 ( 化简过程中写错了常数项，因而得到方程的 A.3,1 B.3,-1 两个根为一7和一2，淇淇在化简过程中写错 n 了一次项的系数，因而得到方程的两个根为 3和6，则原来的方程是 () 3.若a,3是一元二次方程3x2+2x一9=0的两 Ax2-9x+18=0B.x2+9.x+18=0 根则2+台的值为 C.x2+5.x+18=0D.x2-9x+14=0 4 A.27 c. 58 58 9.(2025·金华永康段考)设直角三角形的两条 27 0.21 直角边的长a,b是方程2x2一6x+1=0的 4.(2025·苏州)已知x1,x2是关于x的一元 两个根，则该直角三角形的斜边长为() 二次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其 A.7 B.22C.3 D.√10 中x1=1,则x2= 10.关于x的方程(x-1)(x十2)=p(p为常 5.已知一元二次方程x2一3x十k=0的两个实 数)的根的情况，下列结论中正确的是() 数根为x1,x2.若x1x2十2x1十2x2=1,则 A.有两个正根 k= B.有两个负根 6.已知一元二次方程2x2一9x十3=0的两根为 C.有一个正根，一个负根 x1和x2,求下列各式的值： D.没有实数根 (1)(x1+1)(x2+1). 11.易错题已知关于x的一元二次方 (2)x-x1x2十x2. 程x2一kx十k十3=0的两个实数 根分别为x1,x2,且x十x=9,则 k的值是 A.-3 B.5 C.-3或5 D.3或-7 12.若关于y的一元二次方程y2十my十n=0的 两个根分别是一元二次方程x2十x一1=0的 两个根的2倍，则m十n的值为 30 第2章一元二次方程 13.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2+罚思维拓展 2bx一(c一a)=0的两根之和为一1，两根之 15.★新考法·阅读理解阅读材料： 差为1，其中a,b,c是△ABC的三边长， 材料一：为了解方程(x2)2一13x2+36=0, (1)求方程的根， 如果我们把x2看作一个整体，然后设y= (2)试判断△ABC的形状. x2,那么原方程可化为y2-13y+36=0,经 过运算，原方程的根为x1=2,x2=一2， x3=3,x4=一3.我们把以上这种解决问题 的方法叫作换元法 材料二：已知实数m,n满足m2一m一1=0， n2一n一1=0，且m≠n,显然m,n是方程 x2一x一1=0的两个不相等的实数根.由根 与系数的关系知，m十n=1,mm=一1. 根据上述材料，解决下列问题： (1)方程x4-5x2+6=0的根为 (2)已知实数a,b满足2a4-7a2+1=0, 2b4-7b2+1=0,且a≠b,求a4十b4的值. 14.已知关于x的一元二次方程x2一(2+ (3)已知实数m,n满足1十 mm =7,n2 1)x十k2+2k=0有两个实数根x1,x2 (1)求实数k的取值范围. ”-7,且a≥0.求+m的值 (2)是否存在实数k,使得x1x2一x一x≥ 0成立？若存在，请求出k的值；若不存在， 请说明理由， 31