专题02二次根式的运算同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题02二次根式的运算同步讲义 【题型01 二次根式的乘法】.......................................3 【题型02 二次根式的除法】.......................................3 【题型03 分母有理化】...........................................4 【题型04 二次根式的乘除混合运算】...............................4 【题型05 复合二次根式的化简】...................................5 【题型06 同类二次根式】.........................................5 【题型07 二次根式的加减运算】...................................5 【题型08 二次根式的混合运算】...................................5 【题型09 已知字母的值,化简求值】.................................6 【题型10 已知条件式,化简求值】...................................6 【题型11 二次根式的大小比较】....................................7 【题型12 二次根式的应用】........................................7 【解答题5题】....................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的乘法运算 —— 基础法则直接用 1. 核心法则 =（a≥0，b≥0） 解读：两个非负二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘；反之， ，（常用来化简根式）。 2. 简单举例 3. 拓展：多个二次根式相乘 =(a≥0,b≥0,c≥0) 知识点02:二次根式的除法运算 —— 法则 + 分母有理化双重点 1. 核心法则  （a≥0，b>0） 解读：被开方数a非负，除数b不仅非负还不能为 0（分母不为 0）；反之 =（a≥0，b>0） 2. 简单举例 ​ 3. 关键考点：分母有理化 定义 把分母中的二次根式化去，使分母变成有理数，这个过程叫分母有理化（核心：分子分母同乘一个合适的二次根式，消去分母的根号）。 常见类型及方法 知识点03:二次根式的加减运算 —— 先化简，再合并（类同类项） 1. 核心步骤 一化简：将所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 / 因式）； 二找同类：找出同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式，类整式中的同类项）； 三合并：同类二次根式相加减，根指数和被开方数不变，系数相加减。 2. 关键定义：同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。 知识点04:二次根式的混合运算 —— 遵规则，巧化简 1. 运算顺序 和有理数混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的（小括号→中括号→大括号）。 2. 运算律 整式的运算律同样适用： 加法交换律、结合律； 乘法交换律、结合律、分配律 知识点05:最简二次根式 —— 运算的 “标配形式”（必满足 2 个条件） 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 运算核心口诀 乘除运算直接算，被开方数乘除连；加减运算分三步，化简找类再合并； 混合运算遵顺序，整式规律照适用；分母有理化关键，分子分母同乘根； 最终结果要最简，两个条件记心间！ 【题型1.二次根式的乘法】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】设，请用含有的式子表示___________． 【跟踪专练2】下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知的整数部分为a，小数部分为b，则______． 【题型2.二次根式的除法】 【典例】计算：的结果为___________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． B． .C． D． 【跟踪专练2】已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【跟踪专练3】等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型3.分母有理化】 【典例】化简：__． 【跟踪专练1】下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【题型4.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算÷3×的结果是___． 【跟踪专练1】下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简的结果为__________． 【跟踪专练3】已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【题型5.复合二次根式化简】 【典例】化简：____________________． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 【跟踪专练3】（    ） A． B． C．3 D．1 【题型6.同类二次根式】 【典例】与最简二次根式为同类二次根式，则____________． 【跟踪专练1】若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【跟踪专练2】若最简二次根式与可以合并，则___________． 【跟踪专练3】若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.二次根式的加减运算】 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则________． 【跟踪专练3】估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【题型8.二次根式的混合运算】 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 【跟踪专练3】已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【题型9.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知，，则的值为________． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【跟踪专练2】设，，则_______；_______． 【跟踪专练3】的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【题型10.已知条件式,化简求值】 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【跟踪专练2】若，则_____． 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型11.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小：________（填，或）． 【跟踪专练1】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小： ①_____                ②___ 【跟踪专练3】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型12.二次根式的应用】 【典例】如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【跟踪专练1】若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【跟踪专练2】如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 【解答题】 1．计算： (1)； (2)． 2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 3．运算能力计算： (1)； (2)． 4．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 5．如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次根式的运算同步讲义 【题型01 二次根式的乘法】.......................................3 【题型02 二次根式的除法】.......................................5 【题型03 分母有理化】...........................................7 【题型04 二次根式的乘除混合运算】...............................8 【题型05 复合二次根式的化简】..................................10 【题型06 同类二次根式】........................................12 【题型07 二次根式的加减运算】..................................13 【题型08 二次根式的混合运算】..................................15 【题型09 已知字母的值,化简求值】................................17 【题型10 已知条件式,化简求值】..................................19 【题型11 二次根式的大小比较】...................................21 【题型12 二次根式的应用】.......................................22 【解答题5题】...................................................24 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的乘法运算 —— 基础法则直接用 1. 核心法则 =（a≥0，b≥0） 解读：两个非负二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘；反之， ，（常用来化简根式）。 2. 简单举例 3. 拓展：多个二次根式相乘 =(a≥0,b≥0,c≥0) 知识点02:二次根式的除法运算 —— 法则 + 分母有理化双重点 1. 核心法则  （a≥0，b>0） 解读：被开方数a非负，除数b不仅非负还不能为 0（分母不为 0）；反之 =（a≥0，b>0） 2. 简单举例 ​ 3. 关键考点：分母有理化 定义 把分母中的二次根式化去，使分母变成有理数，这个过程叫分母有理化（核心：分子分母同乘一个合适的二次根式，消去分母的根号）。 常见类型及方法 知识点03:二次根式的加减运算 —— 先化简，再合并（类同类项） 1. 核心步骤 一化简：将所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 / 因式）； 二找同类：找出同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式，类整式中的同类项）； 三合并：同类二次根式相加减，根指数和被开方数不变，系数相加减。 2. 关键定义：同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。 知识点04:二次根式的混合运算 —— 遵规则，巧化简 1. 运算顺序 和有理数混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的（小括号→中括号→大括号）。 2. 运算律 整式的运算律同样适用： 加法交换律、结合律； 乘法交换律、结合律、分配律 知识点05:最简二次根式 —— 运算的 “标配形式”（必满足 2 个条件） 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 运算核心口诀 乘除运算直接算，被开方数乘除连；加减运算分三步，化简找类再合并； 混合运算遵顺序，整式规律照适用；分母有理化关键，分子分母同乘根； 最终结果要最简，两个条件记心间！ 【题型1.二次根式的乘法】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 【跟踪专练1】设，请用含有的式子表示___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 直接根据作答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】已知的整数部分为a，小数部分为b，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，正确得出的取值范围是解题关键．先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴整数部分，小数部分， ∴ ； 故答案为：47． 【题型2.二次根式的除法】 【典例】计算：的结果为___________． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的除法运算．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． B． .C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 故选：C 【跟踪专练2】已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 【跟踪专练3】等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 【题型3.分母有理化】 【典例】化简：__． 【答案】 【分析】进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键． 【跟踪专练1】下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【详解】解： ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算÷3×的结果是___． 【答案】1 【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题关键是熟记二次根式乘除法则，准确进行计算． 【跟踪专练1】下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A选项：，故A选项正确； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：C ． 【跟踪专练2】化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 【跟踪专练3】已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 【题型5.复合二次根式化简】 【典例】化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、因为，所以，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【跟踪专练2】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 【题型6.同类二次根式】 【典例】与最简二次根式为同类二次根式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，运用化简与方程思想，先将化简为最简二次根式，得到；再根据同类二次根式的定义，被开方数相同，从而建立方程求解． 【详解】 由于与为同类二次根式，因此被开方数相同，即，解得； 故答案为． 【跟踪专练1】若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【题型7.二次根式的加减运算】 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数. 【详解】解：. 故答案为 ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括减法、除法、加法和乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、 ，，∴ ，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了运用二次根式的性质化简二次根式以及二次根式的减法运算，掌握运用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再确定、、的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，它们均为基础且重要知识点，应熟练掌握． 将和分别化简为最简二次根式后相减，得到，再估算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的值在1和2之间， 故选：B． 【题型8.二次根式的混合运算】 【典例】计算：_____． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的计算，分别除以再相加即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 【跟踪专练2】观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 【跟踪专练3】已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 【题型9.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】由、的值直接代入求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 【跟踪专练3】的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 【题型10.已知条件式,化简求值】 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【详解】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，则_____． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【题型11.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小：________（填，或）． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数比较大小，根据被开方数越大，值越大即可求解，掌握无理数比较大小的方法，求一个数的算术平方根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【跟踪专练2】比较大小： ①_____                ②___ 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 【跟踪专练3】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【题型12.二次根式的应用】 【典例】如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：设这条边上的高为， 一个三角形的面积为，一边长为， ， 解得． 故选：A． 【跟踪专练1】若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长， 已知，， 则， 化简， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 【跟踪专练3】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 【解答题】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）分别对式子中每一个二次根式进行化简，然后计算机算加减即可； （2）先算乘法和除法，再算加减即可； 【详解】（1）； （2）． 2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 3．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 5．如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． 先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $