专题01二次根式的意义与性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题01二次根式的意义与性质同步讲义 【题型01 二次根式的识别】.......................................3 【题型02 求二次根式的参数】.....................................3 【题型03 二次根式有意义的条件】.................................4 【题型04 求二次根式的值】.......................................4 【题型05 利用二次根式的性质化简】...............................4 【题型06 最简二次根式的判断】...................................5 【题型07 化为最简二次根式】.....................................5 【题型08 已知最简二次根式求参数】...............................5 【解答题5题】...................................................6 ★知识梳理★ 二次根式的意义 —— 解锁根式的 “入门通行证” ❄核心定义：什么是二次根式？ 形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，两个硬核条件缺一不可： 1 根指数是2（通常省略不写，千万别和三次根式搞混！）； 2 被开方数 a≥0（被开方数为非负数，根式才有意义，否则就是 “无意义根式” 哦）。 ❄关键考点：求二次根式有意义的条件 本质：让被开方数≥0，若根式在分母上，还需满足根式≠0（分母不能为 0，老规矩啦）。 小例题：求 有意义的 x 范围→3x−6≥0→x≥2； 求 有意义的 x 范围→2−x>0→x<2。 ❌ 错认为 中 a 只能是正数→a 可以为 0，=0 是合法的二次根式； ❌ 忽略根指数→看到带根号就认二次根式→必须根指数为 2 才可以！ 二次根式的性质 —— 掌握根式的 “变形魔法” ❄性质 1：非负性 —— 二次根式的 “天生属性” ≥0(a≥0)，二次根式本身的值一定是非负数（和绝对值、平方数并称 “初中三大非负数”，强强联手常考求值题！）。 ✨经典考法：若 =0，求 x+y→非负数和为 0，各部分为 0→x=1，y=-2→x+y=-1。 ❄性质 2：平方与开方的 “互逆魔法” ()2=a(a≥0)，简单说：对非负数先开二次方，再平方，结果还是它本身。 ✅ 举例：()2=7，()2=2x(x≥0) ✨小提醒：必须满足a≥0，若a<0，()2 本身无意义！ ❄性质 3：平方数开方的 “化简秘籍” 性质 2：=∣a∣= 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） ❗❗一句话秒记区别 ❄ 高频拓展：利用性质化简根式 核心：把被开方数拆成一个非负数 × 完全平方数，再用性质拆分化简。 ✅ 举例：==×=2；==3∣x∣​ （x≥0 时为3x）。 ⏩速记口诀 二次根式看两点，根指为 2 被开方非负； 三大性质记心间，非负平方开方互逆； 平方在里取绝对，化简拆分找平方数； 意义性质结合用，根式计算不迷路！ 【题型1.二次根式的识别】 【典例】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【题型2.求二次根式中的参数】 【典例】已知那么_________． 【跟踪专练1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【跟踪专练3】若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3.二次根式有意义的条件】 【典例】使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 【跟踪专练1】使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【跟踪专练2】等式成立的条件是_____． 【跟踪专练3】已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【题型4.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值是_______． 【跟踪专练1】下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： （1）__________．   （2）__________． （3）__________． （4）__________． 【跟踪专练1】把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察：，，，…计算，其结果为_________． 【跟踪专练3】化简后等于（   ） A． B． C． D． 【题型6.最简二次根式的判断】 【典例】写出一个最简二次根式_____．（填一个正确的即可） 【跟踪专练1】下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【跟踪专练3】有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7.化为最简二次根式】 【典例】把化成最简二次根式为________． 【跟踪专练1】将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【跟踪专练3】若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【题型8.已知最简二次根式求参数】 【典例】写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是____． 【跟踪专练1】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【跟踪专练2】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【解答题】 1．若成立，求． 2．计算：． 3．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 4．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 5．当时，求二次根式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式的意义与性质同步讲义 【题型01 二次根式的识别】.......................................3 【题型02 求二次根式的参数】.....................................5 【题型03 二次根式有意义的条件】.................................7 【题型04 求二次根式的值】.......................................8 【题型05 利用二次根式的性质化简】..............................10 【题型06 最简二次根式的判断】..................................12 【题型07 化为最简二次根式】....................................14 【题型08 已知最简二次根式求参数】..............................16 【解答题5题】..................................................17 ★知识梳理★ 二次根式的意义 —— 解锁根式的 “入门通行证” ❄核心定义：什么是二次根式？ 形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，两个硬核条件缺一不可： 1 根指数是2（通常省略不写，千万别和三次根式搞混！）； 2 被开方数 a≥0（被开方数为非负数，根式才有意义，否则就是 “无意义根式” 哦）。 ❄关键考点：求二次根式有意义的条件 本质：让被开方数≥0，若根式在分母上，还需满足根式≠0（分母不能为 0，老规矩啦）。 小例题：求 有意义的 x 范围→3x−6≥0→x≥2； 求 有意义的 x 范围→2−x>0→x<2。 ❄小误区避雷 ❌ 错认为 中 a 只能是正数→a 可以为 0，=0 是合法的二次根式； ❌ 忽略根指数→看到带根号就认二次根式→必须根指数为 2 才可以！ 二次根式的性质 —— 掌握根式的 “变形魔法” ❄性质 1：非负性 —— 二次根式的 “天生属性” ≥0(a≥0)，二次根式本身的值一定是非负数（和绝对值、平方数并称 “初中三大非负数”，强强联手常考求值题！）。 ✨经典考法：若 =0，求 x+y→非负数和为 0，各部分为 0→x=1，y=-2→x+y=-1。 ❄性质 2：平方与开方的 “互逆魔法” ()2=a(a≥0)，简单说：对非负数先开二次方，再平方，结果还是它本身。 ✅ 举例：()2=7，()2=2x(x≥0) ✨小提醒：必须满足a≥0，若a<0，()2 本身无意义！ ❄性质 3：平方数开方的 “化简秘籍” 性质 2：=∣a∣= 这是**重中之重**！平方数开二次方，结果是 a 的绝对值，再根据 a 的正负去绝对值符号，千万别直接写 a！ 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） ❗❗一句话秒记区别 根号外平方，只看 a 非负；根号内平方，结果必是绝对值！ ❄ 高频拓展：利用性质化简根式 核心：把被开方数拆成一个非负数 × 完全平方数，再用性质拆分化简。 ✅ 举例：==×=2；==3∣x∣​ （x≥0 时为3x）。 ⏩速记口诀 二次根式看两点，根指为 2 被开方非负； 三大性质记心间，非负平方开方互逆； 平方在里取绝对，化简拆分找平方数； 意义性质结合用，根式计算不迷路！ 【题型1.二次根式的识别】 【典例】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，需依据“形如且根指数为2的式子是二次根式”来判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意； C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意； D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 【跟踪专练3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【题型2.求二次根式中的参数】 【典例】已知那么_________． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 【跟踪专练1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【跟踪专练2】n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 【跟踪专练3】若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 【题型3.二次根式有意义的条件】 【典例】使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握好二次根式的概念是关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义 ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 【跟踪专练2】等式成立的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 【题型4.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故一定是二次根式，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： （1）__________．   （2）__________． （3）__________． （4）__________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 利用非负数的平方根性质，将每个数写为其算术平方根的平方． 【详解】解：根据算术平方根的性质，对于任意非负数，都有， ∴每个非负数都可以写成它的算术平方根的平方的形式 ∴49=，11=，0.81=，=． 故答案为：；；；． 【跟踪专练1】把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】观察：，，，…计算，其结果为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数的加减运算、加法运算律等知识点，发现规律成为解题的关键． 先观察发现规律将根号去掉，然后运用加法运算律以及裂项法求解即可． 【详解】解：， ， ， …… ， ． 【跟踪专练3】化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 【题型6.最简二次根式的判断】 【典例】写出一个最简二次根式_____．（填一个正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：这个最简二次根式可以是， 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 对于C选项：的被开方数2不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于D选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【跟踪专练3】有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 【题型7.化为最简二次根式】 【典例】把化成最简二次根式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，利用二次根式的性质化简根式，并通过分母有理化得到最简形式即可. 【详解】解：； 故选A. 【跟踪专练2】化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 【跟踪专练3】若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 【题型8.已知最简二次根式求参数】 【典例】写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是____． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【跟踪专练1】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 【跟踪专练2】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 【解答题】 1．若成立，求． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，关键是根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值．先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入的表达式计算出，最后将、代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴，解不等式得，解不等式得， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据乘方的定义、指数幂的定义、绝对值的定义、二次根式的性质，把算式中各部分分别计算出来，可得：原式，再根据运算法则计算． 【详解】解： ． 3．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 4．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 5．当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $