23.3 第2课时 菱形（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦菱形的定义、性质、判定及综合应用，课堂导入通过复习平行四边形和矩形的定义与性质，搭建知识支架，引导学生从已有认知过渡到菱形的特殊性探究。 其亮点在于以观察与推理结合培养数学思维，如通过证明菱形对角线垂直发展推理能力，结合半角模型等典例强化应用意识。课堂小结系统梳理知识，当场反馈及时巩固，助力学生构建知识体系，提升数学眼光与表达能力，也为教师提供清晰教学路径。

23.3 第2课时菱形 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解菱形的概念、菱形与平行四边形、矩形的区别与联系； 理解菱形的性质与判定； 3 综合运用菱形的判定、性质进行计算、推理、证明． 复习引入 菱形 提问： 1.什么叫平行四边形？它有哪些性质？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 对边相等； 对角相等； 对角线互相平分. 3.学校伸缩门结构、晾衣架的支架 常设计成什么图形的结构？ 2.什么叫作矩形？它有哪些性质？ 四个内角都是直角的四边形叫作矩形； 矩形的对边平行且相等； 矩形的两条对角线相等. 菱形（一种特殊的平行四边形） 探究新知 菱形的定义 所以AB=CD,AD=BC 根据平行四边形的判定定理1 所以菱形ABCD必然是平行四边形. 定 义 性 质 判 定 定义：四条边都相等的四边形叫作菱形. 如图，在菱形ABCD中，由菱形的定义， 可知AB=BC=CD=AD. 根据定义，菱形是平行四边形吗？为什么？ 所以，菱形是一种特殊的平行四边形.它拥有平行四边形的所有性质. 菱形具有平行四边形的性质：对边相等； 对角相等； 对角线互相平分. 菱形是一种特殊的平行四边形.它还拥有哪些特殊的性质呢？ 学习流程 探究新知 菱形的性质 通过观察，我们还发现菱形的对角线互相垂直，怎样证明呢？ 已知：四边形ABCD是一个菱形，AC、BD是它的对角线. 求证：AC⏊BD. 证明：因为菱 形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定 理 3 , 得 BO=DO. 又因为AB=AD, 根据“等腰 三角形三线合一”,可得AO⊥BD, 即 AC⊥BD. 归纳 我们仍然可以从边、角和对角线来研究菱形的性质. 菱形的性质定理： 菱形的两条对角线互相垂直. 问题 探究 应用 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⏊BD 如图将四个大小相同的矩形拼在一 起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 这个菱形可能有什么性质?这些性质其他菱形也具有吗?                 探究新知 菱形的性质 我们知道矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形呢？ 归纳:菱形是轴对称图形，对称轴是任意一条对角线所在的直线； 菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 典例分析 菱形的性质 例1 如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=13cm,AC=24cm.求这个菱形的面积. 解：∵四边形ABCD是一个菱形， ∴AC⊥BD( ). ∴∠AOB=90°,△AOB为直角三角形. ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD( ). ∴S菱形ABCD=4SRt△AOB 在 Rt△AOB中，OA²+OB²=AB² . ∵ AC=24 cm, 又∵AB=13cm, ∴OB===5(cm). ∴S菱形ABCD=4SRt△AOB=2AO·BO=2×12×5=120(cm²). 点睛：已知菱形的两条对角线可以直接计算菱形的面积，即 菱形的面积等于其对角线乘积的一半.即 1.菱形具有平行四边形的所有性质； 2.性质定理：菱形的两条对角线互相垂直； 3.菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形. 归纳：菱形的性质 菱形的两条对角线互相垂直 平行四边形的对角线互相平分 典例分析 菱形的性质 例2 如图已知：在菱形ABCD中，∠A=60°,点E、F分别在边 AB、BC，∠EDF=60°. 求证：DE=DF.. 分析：已知四边形ABCD 是一个菱形，且∠A=60°, 由此想到，连接对角线DB后,可以得到两个等边三角形.若要证明DE=DF, 只要证明它们分别所在的两个三角形全等即可. 60° 证明：连接对角线DB. ∵ 四 边 形ABCD 是一个菱形， ∴  AD=AB. 又∵∠A=60°, ∴△ADB 是一个等边三角形. ∴ AD=BD. 又∵∠EDF=60°,∴ ∠ADB=∠EDF. ∴∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB. ∴∠ADE=∠BDF. ∵AD//BC, ∴∠DBF=∠ADB=60°. 又∵∠A=60°, ∴∠DBF=∠A. ∴△ADE≌△BDF. ∴DE=DF. 【点睛】半角模型 本题中∠EAF=60ADC=120 EAF为∠ADC 的半角 半角模型通常通过旋转找全等. 变式练习 矩形的性质 1. 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD(小路的面积忽略不计),求两条小路的长和花坛的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20m, ∴AB=BC=CD=DA=5m,AC⊥BD, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC 和△ADC都是等边三角形. ∴AC=5m. 又∵ AC⊥BD, ∴∠AOB=90°. 在Rt△ABO中AO=AC= ∴BD=2BO=2=5m. ∴S菱形ABCD= 答：AC长5m，BD长5m，花坛面积. 变式练习 菱形的性质 2. 如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且 ∠EAF=∠D=60°,∠FAD=45°,求∠CFE的度数. 解：如图，连接AC ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD, ∠B=∠D=60°. ∴△ABC 和△ADC都是等边三角形. ∴AB=AC,∠BAC=∠B=∠ACD=60°. 又∵∠EAF=60°, ∴∠BAE=∠CAF. ∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴AE=AF. ∴△EAF是等边三角形, ∴∠AFE=60° . ∵∠FAD=45°, ∴∠AFD=180°-∠FAD-∠D=180°-45°-60°=75°. ∴∠CFE=180°-∠AFE-∠AFD=180°-60°-75°=45°. 探究新知 定义法 判定定理 定义：四条边都相等的四边形叫作菱形. 那么对于平行四边形而言， 满足几条边相等就能保证它是一个菱形呢? 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.   如何证明呢？  菱形的判定 探究新知 如图，已知：在平行四边形ABCD中 ，AB=AD. 求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 证明：因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1,得AB=CD,BC=AD. 又因为AB=AD, 所以AB=CD=BC=AD. 根据菱形的定义，得平行四边形ABCD是一个菱形. 菱形的判定 判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.   思考：我们知道有三个角是直角的四边形就是矩形，那么有三条边相等的四边形是菱形吗？   答：不能判定是菱形，举个反例，如图所示，虽有三条边相等但不是菱形. 探究新知 菱形的判定 性质定理：菱形的两条对角线互相垂直.   性 质 判 定 互逆命题 逆命题：两条对角线互相垂直的_____________是菱形.   四边形？ 平行四边形？ 探究新知 菱形的判定 思考：下列说法正确吗？如果正确请说明理由，如果不正确请举个反例. 1.对角线互相垂直的四边形是菱形吗？  2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？  错误：比如右图图形 正确，如图，已知：在平行四边形 ABCD中，AC⏊BD. 求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 分析：因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理3,得BO=DO. 又因为AC⊥BD, 根据线段垂直平分线的性质定理，得AB=AD， 进一步由菱形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个菱形. 菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 典例分析 矩形的判定 例3 如图，在▱ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，且分别与边AD、BC交于点E、F,垂足为0. 求证：四边形AFCE是一个菱形. 证明：∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴AE//FC. ∴∠EAC=∠ACF. ∵EF垂直平分AC, ∴AO=CO,∠AOE=∠COF=90° ∴ △AOE≌△COF. ∴ EO=FO. ∴ 四边形AFCE是一个平行四边形( ). 又∵ EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE 是一个菱形( ) 【分析】判定菱形有三种方法， 一是根据定义；二是根据判定定理1；三是判定定理2. 点睛：要证四边形是一个菱形可以分两步走，先证明四边形是平行四边形.再证对角线互相垂直,或证有一组邻边相等. 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 变式练习 菱形的判定 1.对角线_______________________的四边形是菱形 分析：要证明四边形是菱形，首先得证明四边形是平行四边形，所以对角线必须满足互相平分； 要证明平行四边形是菱形，对角线必须满足互相垂直； 所以综上所述，对角线互相垂直 平分的四边形是菱形. 互相垂直平分 变式练习 菱形的判定 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点 F, 交AC于点E, 若 EG⊥BC于点G, 连接FG, 试说明四边形AFGE是菱形. 证明：∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90° . 又∵AD⊥BC, ∴∠DAC+∠C=90°.∴∠BAD=∠C. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC. ∵∠AFE=∠BAD+∠ABE,∠AEF=∠EBC+∠C, ∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF. ∵BE平分∠ABC,∠BAC=90°,EG⊥BC,∴AE=EG.. ∴AF=EG. 又∵AD⊥BC,EG⊥BC, ∴AF//EG. ∴四边形AFGE是平行四边形.( ) 又∵AF=AE, ∴四边形AFGE是菱形.（ ） 点睛：要证四边形是一个菱形可以分两步走，先证明四边形是平行四边形.再证有一组邻边相等. 平行四边形判定定理2 菱形的判定定理1 拓展提升 菱形 如图①,在矩形纸片ABCD 中，AB=3,AD=5,折叠纸片使点B落在AD上的点 E处，折痕为PQ, 过点E作EF//AB，交PQ 于点F,连接 BF. (1)求证：四边形BFEP为菱形。 (2)当折痕PQ的点Q与点C 重合时(如图②),求菱形 BFEP 的边长。 分析：（1）由折叠可知PB=PE,QE=BQ,∠BPQ=∠EPQ结合EF//AB,可证EF=EP=PB,从而根据平行四边形判定定理2和菱形的判定定理1可获证； （2）由折叠可知，CE=BC=AD=5,CD=AB=3,所以由勾股得到ED=4， 计算出AE=1,设PE=PB=x，则AP=3-x,在△APE中根据勾股定理可列方程求出x=. 课堂小结 当场反馈 菱形 1.填空题： (1)矩形和菱形都具有的性质是___________________; (2)矩形具有而菱形不一定具有的性质是___________________; (3)菱形具有而矩形不一定具有的性质是___________________; 答：（1）矩形和菱形都具有的性质就是它们都是平行四边形； （2）四个角是直角，对角线相等； （3）四条边都相等，对角线互相垂直. 当场反馈 菱形 2. 已知一个菱形的两条对角线的长分别是12 和,求它的面积. 答： 当场反馈 菱形 3.如图，已知：在四边形ABCD中 ，AD//BC,AD=CD, E是对角线BD上一点，且EA=EC. 求证：四边形ABCD是一个菱形. 分析：由AD=CD,AE=CE先证△ADE≌△CDE,得到∠ADE=∠CDE; 结合条件AD//BC,∠ADE=∠CDE可证得BC=DC, 所以根据平行四边形判定定理2可证得四边形ABCD为平行四边形， 由因为AD=CD，所以根据菱形的判定定理1可证得它是菱形. 感谢聆听！ $