23.3 第3课时 正方形（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的概念、性质与判定，通过复习平行四边形、矩形、菱形的定义及性质，结合作业题引导思考矩形与菱形的融合，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系。 其亮点在于通过对比表格直观呈现矩形、菱形、正方形的边、角、对角线性质，培养几何直观。以“四边形→平行四边形→矩形/菱形→正方形”的判定逻辑强化推理能力，典例与变式练习融入旋转、半角等模型，助力学生用数学语言表达和解决问题。既提升学生综合运用能力，也为教师提供高效备课资源。

23.3 第3课时 正方形 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解正方形的概念、正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系； 理解正方形的性质与判定； 3 综合运用正方形的判定、性质进行计算、推理、证明． 复习引入 正方形 提问： 1.什么叫平行四边形？它有哪些性质？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 对边相等； 对角相等； 对角线互相平分. 3.什么叫作菱形？它有哪些性质？ 2.什么叫作矩形？它有哪些性质？ 四个内角都是直角的四边形叫作矩形； 矩形的两条对角线相等. 四条边都相等的四边形叫作菱形； 菱形的两条对角线互相垂直. 复习引入 正方形 上一节课有一道作业题是： (1)矩形和菱形都具有的性质是___________________; (2)矩形具有而菱形不一定具有的性质是___________________; (3)菱形具有而矩形不一定具有的性质是___________________; 注意关键词——不一定 它们都是平行四边形； 四个角是直角，对角线相等； 四条边都相等，对角线互相垂直. 菱形可不可以也有四个直角？对角线也相等？自己画一画，想一想. 矩形可不可以四条边也相等？对角线也互相垂直？自己画一画，想一想. 探究新知 正方形的定义 定 义 性 质 判 定 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 学习流程 从定义你能看出正方形和平行四边形、矩形、菱形的关系吗？ 正方形是一种特殊的平行四边形,既是矩形又是菱形. 定义： 关系： 性质： 判定： 反过来，根据矩形的定义和菱形的定 义，可知 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 平行四边形 探究新知 正方形的性质 我们知道矩形、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，正方形呢？ 归纳:正方形是轴对称图形，有四条对称轴； 正方形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 探究新知 正方形的性质 名称 边 角 对角线 矩形 菱形 正方形 共性 比较矩形、菱形、正方形的性质 四个角都是直角 相等 四边都相等 垂直 四边都相等 四个角都是直角 相等且垂直 都是平行四边形 平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是轴对称图形也是中心对称图形. 探究新知 正方形的判定 正方形 矩形 菱形 四边形 +菱形 +矩形 +矩形 +菱形 平行四边形 正方形的判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形. 典例分析 正方形的性质 例1 如图,已知正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点0 . 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是一个正方形， ∴AC=BD (矩形的两条对角线相等), ∴OA=OC=OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∵四边形ABCD是一个正方形， ∴AC⊥BD(菱形的两条对角线互相垂直). ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90° . ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形. ∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.(SAS) 正方形的性质 正方形既是矩形又是菱形. 典例分析 正方形的判定 例2 已知：E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN. 求证：四边形EFMN是一个正方形. 分析：判定一个图形是正方形要分两步走，判定它既是矩形又是菱形. 证明：∵四边形ABCD是一个正方形，∴AB=BC=CD=DA. ∵AE=BF=CM=DN,BE=AB-AE,CF=BC-BF,DM=CD-CM,AN=AD-DN, ∴ BE=CF=DM=AN. 又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°, ∴△BEF≌△CFM≌△DMN≌△ANE. ∴EF=FM=MN=NE. ∴四边形EFMN是一个菱形（ ） ∵△BEF≌△CFM, ∴∠BEF=∠CFM. ∵∠BEF+∠BFE=180°-∠B=90°, ∴∠CFM+∠BFE=90°. ∴∠EFM=90°. ∴四边形EFMN是一个矩形( ). ∴ 四边形EFMN是一个正方形( ). 【点睛】旋转模型 本题中四个直角三角形都是全等形，其实是由其中一个三角形通过中心旋转得到的. 四条边相等的四边形是菱形 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 变式练习 矩形的性质 1. 根据图形求出相应的 x、y、z 的值(两个图形都是正方形，第2 个图形中的 x 表示正方形对角线一半的长): (1)x=y=45,=90 (2)y=4,x= 变式练习 正方形的性质 2.如图，已知：在正方形ABCD中 ，P是边BC上一点，BE⊥AP,DF⊥AP, 垂足分别为 E、F. 求证：EF=DF-BE. 分析：先证△ADF≌△BAE 得到DF=AE,AF=BE 所以EF=DF-BE 【点睛】旋转模型 本题中△ADF≌和△BAE属于旋转型全等. 变式练习 正方形的判定 3.如图，已知：在△ABC中 ，∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥ AC,DF⊥BC,垂足分别为E 、F. 求证：四边形 CEDF是一个正方形. 分析：先由四边形有四个内角是直角证明它是矩形； 再由角平分线性质定理证得DF=DE， 根据菱形的判定定理1证得它是菱形； 四边形CEDF既是矩形又是菱形， 所以证得它是正方形. 模型一 条件：ＢE⊥AF 结论： △ABF≌△BCE AF＝BE 模型二 条件：MN⊥AF 结论：MN＝AF 模型三 条件：DP⊥PE 结论：PD＝PE 模型三 条件：PE⊥PF 结论：ＳPECF为定值 拓展提升 正方形的十字架模型 核心原理：在正方形中，若两条连接对边的线段互相垂直，则这两条线段长度相等；反之，若两条线段相等且连接对边，则它们互相垂直("垂直即相等，相等即垂直“) 拓展提升 正方形的半角模型 如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC、 DC上，且∠EAF=45，则BE、EF、DF之间的数量关系为EF=BE+DF； 【分析】遇半角模型，将△ADF绕点A逆时针旋转90至正方形左侧，证明△AEF≌△AME即可. 拓展提升 正方形的半角模型 分析：如图，遇“十字架”模型作辅助线构造全等，则∠DAE=∠HGF=90- 所以∠2=∠HGF+∠GHF=90+90-=180-. 例3 如图，在正方形ABCD中．点E，F，G分别在边DC，AD，BC上，若AE=FG，∠1=，则∠2的度数为_______（用含的式子表示） 拓展提升 正方形的半角模型 【答案】（1）EF=BE+DF;(2)BE=EF+DF 【分析】(1)略（2）在BE上截取BG=DF，连接AG．可证得△ABG≌△ADF， △AFE≌△AGE，即可证得结论． 例3 【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． (1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边BC、DC上，连接EF，并延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．若∠EAF=60，则EF,BE,DF之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点E、F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠FAE=45时，试探究EF,BE,DE之间的数量关系，并说明理由． 课堂小结 当场反馈 正方形 1.填空(将序号填写在相应的横线上): 分析下列图形：①平行四边形(非矩形、菱形),②矩形(非正方形), ③菱形(非正方形),④正方形. (1)必然是中心对称图形的有 __________________; (2)必然是轴对称图形的有 __________________; (3)必然满足对角线互相垂直平分的有 __________________; (4)必然满足对角线互相平分且相等的有 __________________; (5)必然满足对角线互相垂直平分且相等的有 __________________; ③、④ ①、②、③、④ ②、③、④ ②、④ ④ 当场反馈 正方形 2. 如图，已知：正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0,E 是OB 上一点，DG⊥CE, 垂足为G,DG 与OC 相交于点F. 求证：OE=OF. 分析： 由正方形的性质可知OC=OD,∠EOC=∠DOC; 再由同角的余角相等可证明∠OCE=∠ODF; 证得△DOF≌△COE(AAS)即可证OE=OF; 当场反馈 正方形 3.如图，已知：矩形ABCD 的外角的平分线分别交于点E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是一个正方形. 分析：先证它有四个直角，所以它是矩形； 再证△HAD,△GDC,△FCB,△EAB都是等腰直角三角形， 所以可以证明HE=HG=EF=GF,所以它是菱形； 所以获证. 感谢聆听！ $