3.2 二次函数-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

函 数 专题三 3.2 二次函数 例题点拨Q素养导向 【例】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，水池中心0处立着一个高为2m的实 心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出， 并在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高 度，且离池面的高度为2.25m.距离池面1.25m的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求 小水池不能影响水流 y 图1 图2 例题图 (1)小张同学设计的水池半径为2m,请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合 要求 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？ 【点拨】(1)要想解决水池是否符合要求，需要把实际问题转化为二次函数问题，知道 顶点，列二次函数顶点式得出抛物线的解析式，令y=0,则可以求水池的半径.(2)令y= 1.25,求出x的值，进而可得出结论 69 口数学 九年级下册（人教版） 专项测试拓展提升 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.函数y=3(x-2)2+4的图象的顶点坐标是（） A.(3,4) B.(-2,4) C.(2,4) D.(2,-4) 2.将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得 到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是()》 A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 第2题图 3.将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新的二 次函数y=(x-1)2+1的图象，则原二次函数的表达式是() A.y=(x+1)2-2 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x-4)2-1D.y=(x+2)2-3 4.抛物线y=-(x+3)(x-2)与x轴的两交点之间的距离是（) A.1 B.3 C.5 D.6 5.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程 ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是( 1.1 1.2 1.3 1.4 … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 6.已知二次函数y=x2-2x-1,当0≤x≤3时，函数的最大值为() A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴的交点情况是() A.有1个交点B.有2个交点 C.无交点 D.无法确定 8.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s(单位： m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=-3+60,则t的取值范围是() A.0≤t≤600 B.20≤t≤40 C.0≤t≤40 D.0≤t≤20 9.已知点（-2，y),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则y1, y2,y3的大小关系是() A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.yy2>y 70 函 数 专题三 10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=V5,点D在折线ACB上运动，过点D 作AB的垂线，垂足为E.设AE=x,S△4D=y,则y关于x的函数图象大致是（) 第10题图 B D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.抛物线y=x+9的最小值是y= 12.有一个边长是2cm的正方形，若边长增加xcm,则面积的增加值y(单位：cm) 与边长的增加值x(单位：cm)之间的函数解析式为 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐 标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0).下列结论： ①abc<0:②4a+b=0:③b2-4ac>0:④a-b+c>0.正确结论的个数为 15.如图，抛物线)+宁+3与x轴相交于A,B两点.点C的坐标为务，0，点 P在抛物线上，将线段PC绕点P顺时针旋转90得到线段PD,当点D落在y轴正半轴上时， 点D的坐标为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(8分)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0) (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标. (2)若抛物线上有一点B,且S△oA=1,求点B的坐标. 第16题图 口数学 九年级下册（人教版） 17.(8分)运动员将一个小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一 条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s) 之间满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示： t/s 0 2 3.5 h/m 0 15 20 8.75 (1)求h与t之间的函数表达式.（不要求写出t的取值范围） (2)小球从飞出到落地要用多长时间？ 第17题图 18.(8分)如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C,且点A在点B 的左侧，顶点坐标为(3，-4)· (1)求b与c的值. (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存 在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由 第18题图 19.(8分)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：kg) 和单价x(单位：元)满足一次函数关系（如图所示)，其中50≤x≤80. (1)求y关于x的函数解析式. (2)若该种商品的成本为40元g,该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大 利润是多少？ Ay/kg 100-- 40 05080x/元 第19题图 函 数 专题三 20.(8分)如图，在平面直角坐标系x0中，已知直线=x-2与x轴交于点A,与) 轴交于点B,过A,B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(-1,0)· (1)求抛物线的表达式 (2)M为直线AB下方抛物线上一点，当△MAB的面积最大时，求点M的坐标. B 第20题图 21.(10分)在二次函数y=ax+bx-2中，x与y的几组对应值如表所示. -2 0 … -2 -2 (1)求二次函数的表达式， (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象， (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最 大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 5 3 -5-4-3-2-1012345 第21题图 数学 九年级下册（人教版） 22.(12分)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立 柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2.准备皮尺等测量工具. 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形ABCD): 采集数据 2.底部跨度(AD的长)为8m: 3.立柱OE的长为2m,且OE⊥AD,垂足为O,AO=0D. 图1 考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立柱，垂 设计方案 足分别为M,M2,立柱的另一端点N,N2在抛物线形框架结构上 N 其中AM1=MD=1m. y D M 0 Mx/m 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2)，设抛物 确定思路 B 线的表达式为=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛 图2 物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题. 第22题图 根据以上信息，解决下列问题. (1)求抛物线的表达式. (2)现有一根长度为2的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根 材料的长度是否够用.（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 23.(13分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-5ax+2(a>0)与y轴交于点A,点 B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C. (1)求点A,B的坐标 (2)若△ABC的面积为空，求a的值. D (3)如图，已知点D(1,0),E(1,-3),F(4,-3),G(4,0), -3-2-02345 当抛物线y=ax2-5ax+2(a>0)与正方形DEFG只有2个公共点时， -2 -3E0 求a的取值范围. 5 第23题图参 考答案 当6<x≤18，y=0.6, 23.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力 当18<x≤30时，小华的速度为(1.8-0.6)÷12=0.1 计A的示数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (km/mim),则y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2, (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力 当0≤x≤30时，小华离家的距离y关于时间x 关于x的函数解析式为F拉=kx+b(k,b为常数，且 0.1x(0≤x≤6)， k≠0). 的函数解析式为y=0.6(6<x≤18)， 将坐标(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉=x+b, 0.1x-1.2(18<x≤30). 6k+b=4,解得 =-0.3 (2)妈妈从家到公园所用时间为1.80.05=36 10k+b=2.8, =5.8, (min),则小华的妈妈离家的距离y2与x之间的函数 、 .当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉方 图象如图所示： 关于x的函数解析式为F拉方=0.3x+5.8(6≤x≤10)· (3)根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N, v/km 当x=8时，F拉力=-0.3×8+5.8=3.4， 4-3.4=0.6(N),m=0.6, 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关 06 于x的函数解析式为F拉力=kx+b1(k1,b1为常数，且 18 3036 心 70 x/min k1≠0) 第21题答图 将坐标(6,4)和(10,2.5)分别代人为F拉= kix+b1; 2与x之间的函数关系式为y2=0.05x(0≤x≤36)， 得 6k+b1=4, 解得 k1=-0.375, 当6≤x≤18，y=2时，得0.05x=0.6,解得x=12, 10k+b=2.5, b=6.25. 当18<x≤30，y=y2时，得0.1x-1.2=0.05x,解得 :.当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉方 =24, 关于x的函数解析式为F拉=-0.375x+6.25(6≤x≤10)， 由图象可知，当y<2时，x的取值范围为12<<24. 当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6, 22.(1)证明：由条件可知A(0,4),B(4,0), 7.6-6=1.6(cm),.n=1.6. .0A=4,0B=4, 32二次函数 ∠A0B=90°，∴∠0AB=45 【例】解：(1)符合要求，理由如下： (2)解：点C的坐标为(0，m), 由题意可得，顶点为(0.5,2.25)， .∴0C=m,AC=4-m. 设解析式为y=a(x-0.5)2+2.25. 由条件可知CE=AC=4-m,∠OAB=∠CED=45°， 函数过点(0,2)， .0E=CE-0C=4-2m. .代入解析式，得a(0-0.5)2+2.25=2, ∠E0F=90°，.∠0EF=∠0FE-45°， 解得a=-1 .0F=0E=4-2m. .解析式为y=-(x-0.5)2+2.25 CD⊥OA,∴.∠OAB=∠CDA=45°， :.CD=AC=4-m, 令0，则-(x-0.5)2+2.25-0 .四边形COFD面积=号(OF+CD)-OC 解得x=2或x=-1(舍去)， 2 .花坛的半径至少为2m,小张同学设计的 =号42m+4mmm4n 水池符合要求」 2 (2)令y=1.25,则-(x-0.5)2+2.25=1.25, 解得x=1.5或x=0.5(舍去)， 号0，当m-专时.四边形C0m面积有袋 “.为了不影响水流，小水池的半径不能超过 1.5m. 大值，最大值为8 43 数学 九年级下册（人教版） 一、选择题 在x轴上方的垂线上截取BD=BA=4,连接AD, 1.C2.C3.B4.C5.B6.D7.B8.D 与BC交于点E,则D(5,4), 9.C10.A .∴.∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OBC, 二、填空题 ..BC⊥AD,ED=EA. 1.912)=4413.414415.0,含 过点D作BC的平行线，与抛物线的交点即为 点P, 三、解答题 16.解：(1)把(0,0)，(2,0)代入y=2+bx+ BGAE, c,得0， 解得 b=-2, 设直线BC:y=mx+n, 4+2b+c=0, c=0, 5m+n=0, m=-1, 则 抛物线解析式为y=x2-2x. n=5, n=5, y=2-2x=(x-1)21, .直线BC:y=-x+5, :抛物线的顶点坐标为(1，-1). .BC∥PD (2)设B(t,P-2t), 设直线PD:y=-x+g,代入D(5,4)得-5+q=4, 5eo=l,72x2-2l, 解得g=9,.直线PD:y=-x+9, 2-2t=1或P-21=-1, 与抛物线解析式联立得=一+9， y=x2-6+5, 解方程2-2t=1,得t=1+V2,t2=1-V2,则 整理得x2-5x-4=0, 点B的坐标为(1+V2,1)或(1-V2,1) 解方程t2-2t=-1,得1=t=1,则点B的坐标为 解得=+y4④红或=5-Y4 2 2 (1,-1), .点P的横坐标为5+Y4红或5-V4红 .点B的坐标为(1+V2,1)或(1-V2,1) 2 或(1，-1) 19.解：(1)设ykx+b,将(50,100)，(80,40) 17.解：(1)设h与t之间的函数表达式为h=a+ 50k+b=100.解得 =-2, 代人， 80k+b=40. b=200 bt+c(a≠0)， 根据题意把(0,0)，(1,15)，(2,20)代入 y=-2x+200(50≤x≤80). c=0, a=-5, (2)设电商每天获得的利润为w元. 得15=a+b+c,解得{b=20, 则0=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000=-2(x- 20=4a+2b+c, c=0, 70)2+1800. .h与t之间的函数表达式为h=-5P+20t. -2<0,且对称轴是直线=70，又50≤x≤80， (2)当h=0时，-5+20t=0,解得t=0(舍)，t=4, .当=70时，w取得最大值为1800. .小球从飞出到落地需要4s 答：该电商定价70元才能使每天获得的利润最 18.解：(1)抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 大，最大利润是1800元 (3,-4),3y=(x-3)2-4=x2-6x+5,b=-6,c=5, 20.解：（(1)直线y=号-2与x轴交于点4， (2)存在.理由如下： 与y轴交于点B,当x=0时，y=-2, 对于抛物线y=x2-6x+5, 当y=0时，x2-6x+5=0, 当y0时，-2=0，则x=4,则点A,B的坐标 解得x=1,x=5. 分别为(4,0)，(0，-2)， 当x=0时，y=5. 则抛物线的表达式为y=a(x-4)(x+1)=a(x2-3x-4), .OB=0C=5,AB=5-1=4 则-4a=-2,则a= 号，则抛物线的表达式为)子 .∠C0B=90°， ∴.∠0BC=∠0CB=45 2 如图，过点B作x轴的垂线， 第18题答图 44 参考答案 3-a-10≥-10，lo≤3 x=3,y取最大值为(4-n)2-3, x=n-1,y取最小值为-3，(4-n)2-3+3=5, n=4+V5(舍)，n2=4-V5. ③当)≤n≤4时，x=0时，y取最大值为(1- 第20题答图 n)2-3, x=n-1时，y取最小值为-3，∴.(1-n)2-3+3=5, (2)过点M作MH∥y轴交AB于点H, n=1+V5,n2=1-V5(舍). 设点im,m-2,则点Mm,2m2受m-2 ④当n-1≤0时，即n≤1， 则SA=MH·A0 .当x=0时，y取最小值为(1-n)2-3;当x=3时， y取最大值为(4-n)2-3. =号x4k个分m-27m+号m2 又：最大值与最小值的差为5， =-(m-2)2+4≤4， (4n3-(1-n43=5n=子>1，不合题意.综 故当m2时，△MAB的面积最大，此时点M2,-3). 上，n=1+V5或n=4-V5. 21.解：(1)y=a2+bx-2过点(-2，-2)，(1， 22.解：(1)由条件，可得AD=8,0A=0D=4, 14a-2b-2=-2,a=1, 1), 6=2. y=t2+2x-2. A(-4,0). a+b-2=1, (2)由题意，结合(1)，可知y=(x+1)2-3,.顶 由条件，可得0=16a+2.名3=g42 点坐标为(-1，-3)· (2)OM=OM=3,点N,N2关于y轴对称. 作图如下 =g42,当x3时，=日342名， 3 :MN-MN-3. 4 3 2x名-子2，放这根材料的长度够用 23.解：(1)抛物线y=a2-5ax+2(a>0)的对称 21 轴为0总 当=0时，y=a2-5ax+2=2,A(0,2). :点B与点A关于该抛物线的对称轴=。对称， 第21题答图 B(5,2)· (3)由题意，：二次函数的图象向右平移n个单 (2)将抛物线=m252化为顶点式为-3月 位长度，.新函数为y=(+1-n)2-3. .此时对称轴是直线x=-1,函数图象开口向上. .①当3≤n-1时，即n≥4， A(0,2),B(5,2),AB=5,且AB⊥y轴. .当x=0时，y取最大值为(1-n)2-3；当=3时， :a>0,.抛物线开口朝上，.顶点C到线段AB y取最小值为(4-n)2-3. 的距离为2-2-草空。 /4a 又最大值与最小值的差为5， 1-n尺3-(4n43=5.=94、不合题意 △ABC的面积为空，S=7X1Bx-e)=× ②当n-1≥0时，即n≥1， 525 45 数学 九年级下册（人教版） (3)将抛物线)a25a2化为顶点式为)=x- (2)将x=4代入反比例函数表达式，得y= 2-2。,即顶点坐标为C多，2-空，如图，根据正 华号，点B在这个丽数的图象上.将=2代 方形的性质可知，点M的纵坐标与点D(1,O)的纵坐 入反比例函数表达式，得y=189≠5， 2 标相同，点N的纵坐标与点E(1,-3)的纵坐标相同， .点C不在这个函数的图象上 .点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为-3， (3).k=18>0,.这个函数的图象位于第一、 第三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小 一、选择题 1.D2.C3.B4.C5.A6.C7.C8.A 9.B10.D 二、填空题 0 iM 11.1(答案不唯-）12.2913.014.-6 R 15.8 三、解答题 16.解：(1)：四边形AM0N为正方形，且面积 为4，.0M-4,∴.0M=2,∴.0M=0N=2. 第23题答图 :点A在第二象限内，点A(-2,2) (2):点A(-2,2)在反比例函数y=k(k≠0) 即当顶点C3,2-空在点M与点N之间（不 含端点)时，或者抛物线刚好经过点E,F时，抛物 的图象上，2=奇=4，反比例函数的解析式为 线y=a2-5ax+2(a>0)与正方形DEFG只有2个公 八4 共点， (3)-2<y<0. 当顶点C亭，2-草在点M与点N之间（不含 17.解：(1)设y与x之间的函数表达式为y= 端点)时，32-空40， 冬，把x-2时，只80代人解析式，得280= 2 解得0.32<a<0.8, 解得=560，y与x之间的函数表达式为=560 即此时a的取值范围为0.32<a<0.8. (2)·.4h=4x60min=240min,∴.当y=240时，x= 当抛物线)-马+2-空。刚好经过点E1,-3). 4 0-子-23. F时 .如果要在4h内装完货物，那么装载货物的速 将E1.-3)代入=ax多2-空。 a, 度至少是2.33tmin. 18.解：(1)含45°角的三角板OAC的直角顶 可得a-+2-2孕e-3.解得a=125, 点C的坐标为(2,2)，反比例函数y=飞(>0)的图 综上所述，a的取值范围为0.32<a<0.8或者a=1.25. 象经过点C,∴k=2×2=4, 3.3反比例函数 【例】解：(1)设反比例函数的表达式为y= “反比例函数的表达式为=4 冬，将点A的坐标代人反比例函数表达式，得 (2).C(2,2),.C0=22+22=8. :含45°角的三角板0AC为等腰直角三角形， =6x(-3)=18,“这个函数的表达式是)=18 ∠AC0=90°， .AC=C0,A0=VC0+A-4. 46