3.1 一次函数-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

口数学 九年级下册（人教版） 专题三 函数 学习路径回顾 归纳 次函数的图象和性质 实际问题 函数问题 抽象 二次函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质 目标 实际问题的答案 利用函数（一次函数、二次函数， 反比例函数)的图象和性质求解 3.1 一次函数 例题点拨Q素养导向 【例】如图，直线AB:=kx+b与坐标轴的交点分别为A(0,2),B(1,0),直线y=】 3与坐标轴交于C,D两点. (1)求直线AB与直线CD的交点E的坐标 (2)直接写出不等式kx+b≥)x-3的解集。 【点拨】(1)要想求出点E的坐标，只需求出直线AB的解析式，把两个解析式联立得 出方程组，求出方程组的解即可.(2)求不等式的解集只要利用一次函数的图象，根据点E 的坐标观察得出即可. y=kx+b、 3 D 例题图 ② 函 数 专题三 专项测试脚拓展提升 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中，是正比例函数的是() A.y=3.x+1 B.y=3x2 C.y=3 D.=号 2.已知直线y=kx+b经过第一、第二、第三象限，则k,b的取值范围是（)》 A.k<0,b<0 B.k<0,b>0 C.k>0,b<0 D.k>0,b>0 3.在闭合电路中，通过定值电阻的电流1（单位：A)是它两端的电 A 压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压 为15V时，通过它的电流为( A.12A B.8A C.6A D.4A 510150/八 4.函数y=V2-x中自变量x的取值范围是() 第3题图 A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤0 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在 直线=子x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为() C B A.(-1,6) B.(-2,6) C.(-3,6) D.(-4,6) 10 第5题图 6.对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是（) A.它的图象与y轴交于点(0，-1) B.y随x的增大而减小 C.当0号时，0 D.它的图象经过第一、第二、第三象限 7.若点A(-2,y)和点B(2,y2)在同一个正比例函数y=kx(k<0)的图象上，则 () A.y=-Y2 B.yI=y2 C.y2>0 D.yy 8.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速 度v(ms)与温度t(℃)部分对应数值如表： 温度t/℃ -10 0 10 30 声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348 研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传 播的速度v为(） A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s 63 数学 九年级下册（人教版） 9.直线y=kx(飞≠0)与直线y2=ax+4(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所 示，则由图象可知不等式x<ax+4的解集为（) A.x<-1 B.x>-1 C.x>1 D.x<1 y y=kx y2=ax+4/ 7-1 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，点A(-3,1),点B(-1,1),若将直线y=x向上平移d 个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是( A.-3≤d≤-1 B.1≤d≤3 C.-4≤d≤-2 D.2≤d≤4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，正比例函数y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图 象如图所示.则比例系数m,n的大小关系是mn.(填“>”、 “<”或“=”) 12.将一次函数y=5x+1的图象向上平移3个单位长度后，其对应 的函数关系式为 第11题图 13.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b和y=mx+n相交于点(-2,1)，则关于x,y (y=kx+b, 的方程组 的解是 y=mx+n 14.汽车油箱中有汽油30L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路 程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1Lkm.当0≤x≤ 300时，y与x的函数解析式是 15.如图，光源A(-3,2)发出的一束光，遇到平面镜(y轴)上 的点B的反射光线BC交x轴于点C(-1,O),则入射光线AB所在直 10 线的解析式为 第15题图 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=hx+b与x轴、y轴分别交于点A(-1,0), B(0,-3). (1)求直线y=kx+b的解析式 64 函 数 专题三 (2)直接写出直线AB向下平移2个单位长度后得到的直线解析式. 第16题图 17.(8分)如图，已知△ABC的边BC的长为6cm,高AD的长为xcm. (1)求△ABC的面积y(单位：cm)与x之间的关系式. (2)写出关系式中的自变量与函数. (3)当x=4时，求△ABC的面积为多少. 第17题图 18.(8分)国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y(元)与销售 量x(kg)之间的关系如图所示， (1)当x≥4时，求销售金额y(元)与销售量x(kg)的关系式. (2)乙超市南果梨的标价为20元kg,国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的八折 销售.若购买12kg南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算. 4y/元 B 152 A 80-- 04 10 x/kg 第18题图 65 口数学 九年级下册（人教版） 19.(8分)端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A,B 两种棕子共200盒进行销售.经了解，进价与标价（单位：元/盒）如下表所示： (1)设该商场购进A种棕子x盒，销售两种棕子所得的总 种类 进价 标价 利润为y元，求y关于x的函数解析式.（不必写出自变量x的 A 90 120 取值范围) (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000 B 50 60 元，请问至少需要购进A种粽子多少盒. 20.(8分)已知1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升.与此同 时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1h. 1号、2号气球所在位置的海拔y,y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如 图所示.请根据图象回答下列问题. (1)a= ,b= (2)请分别求出1,2与x的函数关系式. (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5米？ y/m 一表示y1 一表示y2 20 10 0204060x/min 第20题图 66 函 数 专题三 21.(10分)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km,公园 离家1.8km.小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min,之后匀速 步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家.下面图中x表 示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题， (1)①填表： 小华离开家的时间/min 6 18 50 小华离家的距离m 0.6 ②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min. ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式. (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到 公园.在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家 的距离为y2,当y<y2时，求x的取值范围.（直接写出结果即可） ◆y/km 1.8 0.6 30 55 70 x/min 第21题图 22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4与y轴相交于点A,与x轴 相交于点B,点C在线段OA上（不与点O,A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相 交于点D,点A关于直线CD的对称点为E,连接DE, (1)求证：∠0AB=45 (2)设点C的坐标为(0，m),当0<m<2时，线段DE与线段OB相交于点F,求四边 形COFD面积的最大值. 第22题图 口数学 九年级下册（人教版） 23.(13分)【知识链接】 实验日的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液 体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方，从离 桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化， 探究浮力大小的变化.（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度 有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大， 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉为=G重；当小铝块浸入液面后，F拉力=G重方 F浮力： 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A,B各自的示数 F拉力(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图2所示 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数. (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉关于x的函数解析式 (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为 n(cm),直接写出m,n的值. 个F拉力N 3 弹簧测力计A的示数 :弹簧测力计B的示数 20cm燃20m 610 20 x/cm 图1 图2 第23题图 68数学 九年级下册（人教版） 36a+20b+36c+38d=560, Saur7BC-A7x6=3,即y3, b6=号(aberd. y与x之间的关系式为y=3x 18a+10b+18c+19d=280,① (2)y=3x中自变量是x,函数是y . a-2b+c+d-0,② (3)当x=4时，得y=3×4=12, ②x18得18a-36b+18c+18d=0,③ .△ABC的面积为12cm. ①-③得46b+d=280, 18.解：(1)当x≥4时，设销售金额y(元)与 .d=280-46b,④ 销售量x(kg)的关系式为y=kx+b. ④代入②，得a+c=2b-d=2b-(280-46b), 将(4,80)，(10,152)代人得， .a+c=48b-280, 4k+b=80, =12, 解 48b-280≥2， 10k+b=152, b=32, 280-46b≥1， 解得5分≤b≤66b=6, 46’ .当x≥4时，销售金额y(元)与销售量x(kg)》 .d=280-46×6=4, 的关系式为y=12x+32. 答：王老师购买了4个毛绒玩具. (2)依题意，甲超市：12×12+32=176（元）， 乙超市：20×0.8×12=192（元）， 专题三函 数 176<192,.甲超市更划算. 31一次函数 19.解：(1)y=(120-90)x+(60-50)(200-x)=20x+ 【例】解：(1)把A,B的坐标代入y=x+b 2000,答：y关于x的函数解析式y=20+2000. b=2, (2)20x+2000≥3000，解得x≥50.故至少需购 解得=-2，b=2, k+b=0 进A种粽子50盒. .直线AB的解析式是y=-2x+2 20.解：(1)0.5；30. y=-2x+2 (2).1号探测气球从海拔10m处出发，以1mmim x=2 解方程组 1 点E的坐 的速度竖直上升， =2-3, y=-2 ∴.1号探测气球所在位置的海拔y1=10+x,当x=20 标是(2，-2) 时，两球相遇， (2)解集是x≤2， y=10+=10+20=30,∴=30，.交点坐标为(20,30). 一、选择题 设2号探测气球有关的解析式为y2=20+a. 1.D2.D3.A4.A5.B6.A7.A8.B y2=20+ax过(20,30)，.30=20+20a, 9.B10.D 解得a=0.5,,.2号探测气球所在位置的海拔2= 二、填空题 20+0.5x. (3)分两种情况： 11.>12.y=5x+413. x=-2, 14.y=-0.1x+30 ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5m,根据 y=1 题意，得(20+0.5x)-(+10)=5,解得x=10. 15+ ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5m,根据 三、解答题 题意，得(x+10)-(0.5x+20)=5,解得x=30. 16.解：(1)将A(-1,0),B(0,-3)代入x+b, 综上所述，上升了10min或30min后这两个气 得+6=0 k=-3, 球相距5m. 解得 b=-3, .直线=kx+b的解析式 b=-3, 2L.解：(1)①小华在最初的6min内的速度为 是y=-3x-3. 0.6:6=0.1(km/min), (2)将直线y=-3x-3向下平移2个单位长度得到 当x=1时，y=0.1x1=0.1,当x=18时，y=0.6,当 的直线解析式是y=-3x-3-2=-3x-5. x=50时，y=1.8.故答案为0.1,0.6,1.8. 17.解：(1)BC=6cm,AD=xcm, ②0.12. ③当0≤x≤6时，y=0.1x, 42 参 考答案 当6<x≤18，y=0.6, 23.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力 当18<x≤30时，小华的速度为(1.8-0.6)÷12=0.1 计A的示数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (km/mim),则y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2, (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力 当0≤x≤30时，小华离家的距离y关于时间x 关于x的函数解析式为F拉=kx+b(k,b为常数，且 0.1x(0≤x≤6)， k≠0). 的函数解析式为y=0.6(6<x≤18)， 将坐标(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉=x+b, 0.1x-1.2(18<x≤30). 6k+b=4,解得 =-0.3 (2)妈妈从家到公园所用时间为1.80.05=36 10k+b=2.8, =5.8, (min),则小华的妈妈离家的距离y2与x之间的函数 、 .当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉方 图象如图所示： 关于x的函数解析式为F拉方=0.3x+5.8(6≤x≤10)· (3)根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N, v/km 当x=8时，F拉力=-0.3×8+5.8=3.4， 4-3.4=0.6(N),m=0.6, 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关 06 于x的函数解析式为F拉力=kx+b1(k1,b1为常数，且 18 3036 心 70 x/min k1≠0) 第21题答图 将坐标(6,4)和(10,2.5)分别代人为F拉= kix+b1; 2与x之间的函数关系式为y2=0.05x(0≤x≤36)， 得 6k+b1=4, 解得 k1=-0.375, 当6≤x≤18，y=2时，得0.05x=0.6,解得x=12, 10k+b=2.5, b=6.25. 当18<x≤30，y=y2时，得0.1x-1.2=0.05x,解得 :.当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉方 =24, 关于x的函数解析式为F拉=-0.375x+6.25(6≤x≤10)， 由图象可知，当y<2时，x的取值范围为12<<24. 当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6, 22.(1)证明：由条件可知A(0,4),B(4,0), 7.6-6=1.6(cm),.n=1.6. .0A=4,0B=4, 32二次函数 ∠A0B=90°，∴∠0AB=45 【例】解：(1)符合要求，理由如下： (2)解：点C的坐标为(0，m), 由题意可得，顶点为(0.5,2.25)， .∴0C=m,AC=4-m. 设解析式为y=a(x-0.5)2+2.25. 由条件可知CE=AC=4-m,∠OAB=∠CED=45°， 函数过点(0,2)， .0E=CE-0C=4-2m. .代入解析式，得a(0-0.5)2+2.25=2, ∠E0F=90°，.∠0EF=∠0FE-45°， 解得a=-1 .0F=0E=4-2m. .解析式为y=-(x-0.5)2+2.25 CD⊥OA,∴.∠OAB=∠CDA=45°， :.CD=AC=4-m, 令0，则-(x-0.5)2+2.25-0 .四边形COFD面积=号(OF+CD)-OC 解得x=2或x=-1(舍去)， 2 .花坛的半径至少为2m,小张同学设计的 =号42m+4mmm4n 水池符合要求」 2 (2)令y=1.25,则-(x-0.5)2+2.25=1.25, 解得x=1.5或x=0.5(舍去)， 号0，当m-专时.四边形C0m面积有袋 “.为了不影响水流，小水池的半径不能超过 1.5m. 大值，最大值为8 43