2.3 一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

口数学 九年级下册（人教版） 2.3 一元二次方程 例题点拨Q素养导向 【例1】解方程：(1)(x-5)2-9=0;(2)5x2-3=x+1. 【点拨】(1)根据解一元二次方程的方法一直接开平方法解方程即可.(2)方程整理 后，利用公式法求解即可. 【例2】已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,2 (1)求k的取值范围. (2)若x2=2,求k的值 【点拨】(1)由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此进行计 算即可.(2)利用根与系数的关系得出x比2=k2+1=2,求出k并舍去不合题意的值即可. 专项测试睡拓展提升 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.下列方程属于一元二次方程的是() A.2x-2=0 B.x2-x+1=0 C.1-2x=1 D.2xy=0 2.下列方程，是一元二次方程一般形式的是() A.2x2-3x=0 B.x2=1 C.2x2-3x=-1 D.2x2=-3x 46 方程与不等式 专题二 3.一元二次方程3x2-4x+7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( A.3,-4,-7 B.3,-4,7 C.3,4,7 D.3,4,-7 4.若x=m是方程x2+-4=0的根，则m2+m+2020的值为（) A.2024 B.2022 C.2020 D.2016 5.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一个根为2，则另一根为() A.-7 B.-3 C.7 D.3 6.关于x的一元二次方程x2-3x+2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.一元二次方程x2-2x的根是() A.x1=0,X2=2 B.x=0 C.x=2 D.x1=0,x2=-2 8.一元二次方程x2-6x-1=0配方后可变形为( A.(x+3)2=10 B.(x+3)2=8 C.(x-3)2=10 D.(x-3)2=8 9.用因式分解法解方程，下列方法正确的是() A.(2x-2)(3x-4)=0,.2-2x=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2x3,∴.x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0,x+2=0 10.若x1+x=3,x心2=2，则以1,2为根的一元二次方程是（) A.x2-3x+2=0B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若(m+1)xl+2x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 12.将方程(x-1)(x+3)=1化成一般形式是 13.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围 是 14.已知x1,2是方程2x2-7x+3=0的两个根，则x7x2+x1场= 15.现规定一种新的运算： a b =2x时，则x的值为 e d a-bc,当t (x-2)x 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(8分)解方程： (1)x2-2x-4=0(配方法)： (2)2x2+5=7x(公式法). 口数学 九年级下册（人教版） 17.(10分)用适当的方法解方程： (1)x(x-5)=2x-10: (2)2-V3x-9-0. 4 18.(8分)小明解方程x2+2x-3=0的过程如下： 解方程：x2+2x-3=0. 獬：x2+2x=3,…第一步 即(x+1)2=3,…第二步 ∴x=V3-1,x=-V3-1.…第三步 (1)小明是用 法来求解的，他的过程是从第 步开始出现错误的. (2)请用不同于小明的方法解该方程。 19.(8分)小颖与小明两名同学解方程x(x-2)=x-2的过程如下： 小颖： 小明： 两边同除以x-2,得x=1. 移项，得x(x-2)-x-2=0, 提取公因式，得(x-2)(x-1)=0. .∴x-2=0或x-1=0, 解得x1=2,x2=1. (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请打“V”:若错误请打“x”:小颖 小明 (2)写出你的解答过程. 48 方程与不等式 专题二 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+2-2k=0. (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根 (2)若方程两根为x1,x2,且x=2-x2,求k的值. 21.(8分)阅读材料，解答问题. 解方程：(4x-1)）2-10(4x-1)+24=0. 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程可化为y2-10y+24=0. 解得y=6,y2=4 ∴.4x-1=6或4x-1=4. 7 5 1=4,x2=4 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想， 请仿照材料解下列方程： (1)(3x-5)2+4(3x-5)+3=0. (2）x4-x2-6=0. 22.(12分)我们定义：一个整数能表示成a+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为 “理想数”，例如，10是“理想数”，理由：10=12+32，.10是“理想数” (1)解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式. (2)探究问题：已知x2+232-4x+4y+6=0,则x+y= 。 (3)融会贯通：已知S=2x2+y+2xy+12x+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“理想 49 数学 九年级下册（人教版） 数”，试求出符合条件的飞值，并说明理由. (④)举一反三：已知实数x,y满足-+弓+-5=0，求)-的最值。 23.(13分)三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股方圆图注》中记载了用几何法对 一元二次方程进行求解的方法.以2-2x-3=0为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为x2-2=3,即x(x-2)=3. 第二步：构造一个长为x,宽为(x-2)的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1所示 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为 小正方形边长为常数 ,长方形面积之和为常数 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 两边开方可求得x=3,x2=-1(舍去)· (1)单选题：这一过程体现的数学思想是 A.统计思想 B.化归思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 (2)第四步中横线上应依次填入 (3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程x2-x-3=0. 图1 图2 第23题图 雨9.A10.D 二、填空题 11.②12.x=313.1014.315.3 三、解答题 16.解：(1)方程两边乘x(x-2),得3(x-2)=2x, 解得x=6. 检验，当=6时，x(x-2)≠0， .原分式方程的解为x=6. (2)方程两边乘(x+1)(x-1),得x+1-2=0,解得 x=1. 检验，当x=1时，(x+1)(x-1)=0 =1不是原分式方程的解，.原分式方程无解. 17.解：(1)方程两边乘(x-1)(2x+1),得5(2x+ 1)1,解得x子 检验，当=号时，(-1)(2+1)≠0.原分式 方程的解为x=-3 2 (2)方程两边乘(x-2),得1+2(x-2)=x-1,解得 =2 检验，当=2时，x-2=0, =2不是原分式方程的解. ∴.原分式方程无解。 18.解：(1)一；-2没有乘(x-3).(2)C. (3)方程两边乘(x-3),得1-=-1-2(x-3), 解得x=4. 检验，当=4时，-3≠0， .·.原分式方程的解为x=4 9解：)由条件，可知高1 2-1 解得m=3. 2)当m=1时，高+l品， x-2 去分母，得x-3+x-2=1, 移项，合并同类项，得2=6， 系数化为1，得=3. 检验，当x=3时，x-2≠0，x=3是原方程的解， 20.解：根据题意，得1+1=6 x+2x2+2x 方程两边乘x(x+2),得x+2+x=6. 解得x=2 检验，当=2时，x(x+2)≠0， .原分式方程的解为x=2. 37 参考答案 21解：（1)=5，行 ②，日 (3)原方程化为x-)+1=叶】 x-1 -1+1 -l+1 a-1 -=0-1或1= a-1 40,=1+ a-11 故答案为-1+0-1+：a,l+ 22.解：(1)①x=0,②x=1,③x=2,④x=3. (2)⑤方程为5=10-1，解为x=4. x+1x+1 (3)）合正整数n的式子表示为品1，解为 n-1. 23.解：(1)￥-1-0. (2)4=0. (3)原方程化为-+名=0. x+2x-1 设一品，则原方程化为)一}0。方程两边乘 得y2-1=0,解得y=±1. 检验，当=±1时，y≠0， y1-0的解为y±1. y 当1时，号1，该方程无解： 当)1时，山，解得分 检验，当时，420 原分武方程的解为=子 2.3一元二次方程 【例1】解：(1)(x-5)2=9, 开平方，得x-5=±3， 解得=8,2=2. (2)移项整理，得5x2-4x-1=0, △=(-4)2-4×5×(-1)=36>0， x=4牡V36=46 2×510 数学九年级下册（人教版） 解得l,子 【例2】解：(1)由条件，可知(2k+1)2- 4(k2+1)>0, 整理，得4-3>0，解得> 4 (2)方程的两个根分别为1，x2 ∴xt2=k2+1=2,k2=1, 解得=1或=-1. 又子， 一、选择题 1.B2.A3.B4.A5.D6.A7.A8.C 9.A10.A 二、填空题 11.112.+2x-4-013.m<114.2115.2或3 4 3 三、解答题 16.解：(1)移项，得x2-2x=4, 配方，得x2-2+1=4+1,(x-1)2=5, 由此可得x-1=±V5, x=1-V5,x2=1+V5. (2)a=2,b=-7,c=5, △=b2-4ac=(-7)2-4×2x5=9>0, 方程有两个不等的实数根. =-b±V-4c-7±V9-7±3 2a 2x2 41 即x马，l 17.解：(1)原方程移项，得x(x-5)-(2-10)=0, 因式分解，得(x-2)(x-5)=0, 解得x=2,x=5. 2)l,6-V,6=, 4-=b-4c=(-V3)P-4x1x-号)=12>0，方程有两 个不等的实数根】 x=-bV-4ae-V3±V2-V3±2V3 2a 2x1 2 2,6了 即3V3 2 18.解：(1)配方；二 (2)x2+2x-3=0,因式分解，得(x+3)(x-1)=0, 于是得x+3-0或x-1=0, 解得x=-3,x2=1. 38 19.解：(1)×；×.(2)x(x-2)=x-2, 移项，得x(x-2)-(x-2)=0, 因式分解，得(x-2)(x-1)=0, 于是得-2=-0或x-1=0, 解得x1=2,2=1. 20.(1)证明：a=1,b=-(2k-3),c=2-2k. △=(-2h+3)2-4(2-2k) =4k2-12k+9-8+8 =4h2-4k+1 =(2k-1)2≥0. .无论k为何值，方程总有两个实数根。 (2)解：a=1,b=-(2k-3),c=2-2k, 根据根与系数的关系，得合-2水-3。 x1=2-,∴x1+x=2,2k-3=2,解得k=2.5. 21.解：(1)设3x-5=y,则原方程可化为yY2+4y+ 0 整理，得(y+3)(y+1)=0, 解得y=-3,y=-1, 当)-3时.即3x-5-3解得号， 当)=-1时，即3-5=-1解得专 综上所述，原方程的解为子，于 (2)设2=y,则原方程可化为y2-y-6=0. 整理，得(y-3)(y+2)=0, 解得y=3,y2=-2, 当y=3时，即2=3，x=±V3 当y=-2时，2=-2无解.原方程的解为= 3,2=-V3. 22.解：(1)由题意，可得53=72422. (2）x2+23y2-4x+4y+6=0, ∴.(x-2)2+2(0y+1)2=0, (x-2)}2≥0，(y+1)2≥0， .x-2=0,y+1=0, x=2,y-1, .∴x+y=2+(-1)=1. 故答案为1. (3)k=36,理由如下： S=2x2+y2+2xy+12.x+h=(x+y)24(x+6)2+(k-36), S为“理想数”， .k-36=0,.k=36. (4)由条件，可知2马+5， 参考答案 x+2=700, 根据题意，得 解得 x=300, 2x+3y=1200, y=200. x-子≥0. 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品 的最小值为器无益大值 的单价为200元. 17.解：设第一次该干果的进货价是x元kg,则 23.解：(1)D. 第二次购进干果的进货价是(x+5)元kg. (2)2x-2;2;12;(2x-2)2=16. 根据题意，得5000x1.5=9000,解得=25. (3)第一步：将原方程变形为x2-心-3=0，即x(x- x+5 1)=3. 检验，当x=25时，x(x+5)≠0，.原分式方程的 第二步：构造成一个长为x,宽为(x-1)的长方 解为x=25. 形，长比宽大1，且面积为3. 答：该种干果的第一次进价是25元kg: 第三步：用四个这样的长方形 18.解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两. 围成一个大正方形，中间是一个小 由题意列二元一次方程组， 正方形，如图所示 x=143 19x=11y, 第四步：将大正方形边长用含 得 解得 117 x的代数式表示为[x+(x-1)]. 第23题答图 (9-1)x+y+13=(11-1)y+x, 4’ 小正方形边长为常数[x+(x-1)]-2(x-1)=1. 即每枚黄金重143两，每枚白银重山门两。 长方形面积之和为常数4×3=12. 4 4 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小 答：每枚黄金重143两，每枚白银重门两 4 4 正方形面积之和，得方程(2x-1)2-1+4×3=13, 19.解：(1)设乙出发后xh追上甲 解得xe1+yB,=1-y国 2 2 根据题意，得12(+1)-28，解得x=子 2.4方程的应用 答：乙出发后3h追上甲 【例】解：(1)设B种文创产品每件的进价 4 为x元.根据题意，可得 (2)设在返回路上与甲相遇时距乙出发yh. 2(x+3)+3x=26,解得x=4 根据题意，得12(0+1)+28，-312，解得) 答：B种文创产品每件的进价为4元 答：在返回路上与甲相遇时距乙出发？h (2)设小张购进m件A种文创产品，由 (1)可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7 20.解：(1)设甲池的排水速度是xmh. (元)，则7m+4(100-m)≤550， 根据题意，得36-3x=2(36-3×8),解得=4. 答：甲池的排水速度是4mh. 解得m≤50. (2)设排水th. 答：小张最多可以购进50件A种文创产品. 根据题意，得36x2-(4+8)t≥24，解得t≤4 一、选择题 答：最多可以排水4h. 1.D2.C3.A4.B5.A6.D7.D8.A 21.解：(1)设B款文化衫每件x元，则A款文 9.A10.B 化衫每件(x+10)元. 二、填空题 11.x+5=4x-212.2513.70=54 根据题意，得细，解得40。 x+3x-3 14.4515 经检验，=40是所列方程的解，且符合题意， 15.9 .∴x+10=40+10=50. 三、解答题 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40 16.解：设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣 元 作品的单价为y元. (2)设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫 39