3.5确定圆的条件（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.5确定圆的条件 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键． 【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误； 过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确； 过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误； 过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误． 故选B 2．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 题型二 求能确定圆的个数 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 3．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 首先求出五个点任意选取3个点有10种情况，然后根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，由此求出概率． 【详解】解答：解：平面内有五个点A、B、C、D、E，任选3点有10种情况：：A、E、B；A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；C、D、E；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C， 在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况是：A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C，共8种； ∴概率为：． 故答案为：． 题型三 尺规作图：画圆 1．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，．先作的平分线交边于点P，再以点P为圆心，长为半径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图（角平分线的作法、圆的作法），解题的关键是熟练掌握角平分线和圆的尺规作图方法． 先作出的平分线，确定点，再以为圆心、为半径作圆． 【详解】解：如图所示，⊙P为所求的圆； 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键在于确定圆心的位置．作线段的垂直平分线交的延长线于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． 【详解】如图，即为所求． 3．（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键： （1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，再以为圆心，的长为半径画圆，延长交于点，连接，即可； （2）根据圆周角定理得到，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作出的外接圆即可求解，掌握三角形外接圆的作法是解题的关键． 【详解】解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则即为花坛的位置． 5．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是作圆及线段垂直平分线的尺规作图，作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如下图即为所求作． 6．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）已知．尺规作图：作的外接圆． 【答案】见解析 【分析】本题考查中垂线性质，三角形外接圆，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为；以..为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆． 【详解】解：作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为；以为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆．如图所示． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作三角形的外接圆，以点A、B为圆心、任意长度为半径画弧，分别交于点D、E，连接，再以点A、C为圆心、任意长度为半径画弧，分别交于点F、G，连接，交直线于点O，再以点O为圆心、为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求； ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴是的外接圆． 题型四 尺规作图：确定圆心 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点P，使得，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 【答案】 取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心；取格点，，连接，与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 【分析】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据平行线分线段成比例得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，连接，与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，连接，可得；连接与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图-确定圆心，先任意画一条弦，作垂直这条弦的直径，再作这条直径的垂直平分线与直径的交点即为圆心，此题还涉及垂径定理的推论． 【详解】解：如图，点O即为所求作： 作图：任意画一条弦，作的垂直平分线得到直径，再作直径的垂直平分线交于O，则点O为直径的中点，即为此圆的圆心． 3．（20-21九年级上·陕西延安·期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面．请用直尺和圆规作图，确定圆心的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，尺规作线段垂直平分线， 先作的垂直平分线，交弧于点C，再作的垂直平分线交于点O，则点O即为所求作. 【详解】解：如图所示. 4．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线画法，尺规作圆，过一点作一条直线的垂线．根据题意利用角平分线性质及点到直线的距离画图即可． 【详解】解：∵要求在三条道路上各开一个门， ∴画和的角平分线交于点M，再过M作（或）的垂线，作圆M， ∴即得到中心公园M的范围，作图如下： 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可． 【详解】解：（1）在圆上取两条弦，； （2）分别作，的垂直平分线，交于一点O． 则点O就是所求的圆心． （3）连接，则就是这个圆的半径． 6．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）在下列命题中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件、圆的认识及圆周角定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，长度相等的弧不一定满足条件，故A错误； B．不在同一直线上的三点才能确定一个圆，任意三点不一定满足，故B错误； C．三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，但到各边的距离不一定相等，故C错误； D．直径所对的圆周角是直角，是圆周角定理的推论，故D正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念以及三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的确定、弧的大小比较、弦与弧的关系以及三角形外心的定义． 根据圆的确定条件、优弧与劣弧的定义、弦与弧的关系以及三角形外心的性质，对每个命题进行分析判断，统计错误命题的个数． 【详解】命题①：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，若三点在同一直线上，则不能作圆，所以该命题错误； 命题②：在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误； 命题③：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧（优弧和劣弧）分别相等，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误； 命题④：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题正确． 综上，错误的命题有①②③，共3个， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．根据三角形的外心的概念作出回答，结合选项得出结果． 【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧； B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角对的弧相等 【答案】A 【分析】本题考查了弧的定义、三角形外心的性质、确定圆的条件以及圆心角与弧的关系，解题的关键是准确掌握这些圆的相关概念和性质，逐一分析每个选项的正确性．根据弧的定义判断选项A；依据三角形外心（三边垂直平分线交点）的性质区分其与内心（到三边距离相等）的不同，判断选项B；结合“不在同一直线上的三点确定一个圆”的前提条件，判断选项C；根据“相等的圆心角所对的弧相等”需在“同圆或等圆中”这一限制，判断选项D． 【详解】解：A、根据弧的定义，圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是直径所对的弧，因此半圆是弧，此选项符合题意； B、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，其性质是到三角形三个顶点的距离相等，而到三角形三边距离相等的点是三角形的内心（即三角形三条内角平分线的交点），此选项不符合题意； C、确定一个圆的条件是“不在同一条直线上的三点”，若三点在同一条直线上，则无法确定一个圆，此选项不符合题意； D、“相等的圆心角所对的弧相等”这一结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，若圆心角所在的圆大小不同（即半径不同），则即使圆心角相等，所对的弧也不相等，此选项不符合题意； 故选：A． 6．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误，不符合题意； C、直径是弦，正确，符合题意； D、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 题型一 判断三角形外接圆的圆心位置 1．（12-13九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键． 先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解． 【详解】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 2．（2025九年级上·山东·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 3．（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的重心和三角形的外心．掌握直角三角形的外心是斜边的中点是解题的关键．根据直角三角形的外心是斜边的中点和直角三角形斜边中线的性质可求出，再根据重心的性质求解即可． 【详解】解：如图，点D为外心，点O为重心， ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ， ∵点O为的重心， ， 重心与外心之间的距离为3． 故选B． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解三角形的外接圆的半径，勾股定理的应用，先画图，判断圆心在的垂直平分线上，即在轴上，设，再利用勾股定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，记圆心为， ∵，， ∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上， 设， ∴， 解得：； ∴半径为：， ∴圆的周长为， 故答案为： 6．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握外接圆的圆心和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）结合网格特点，分别画出的线段垂直平分线，交于点即为所求； （2）结合网格，作出，且，或者作出，且，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． ． （2）解：在图2中画一条格点线段，交于点，使，如图所示（画出其中一种即可）： ． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理，正方形的性质等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． （1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的板的最小边长，继而求出面积． 【详解】（1）解：满足题意的如图所示： ； （2）解 ：∵，，， ∴， ∴所需要正方形板的最小面积是． 8．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)圆心位置见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆． （1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可． 【详解】（1）解：圆心位置如图所示，； （2）如图所示，为所求三角形． 题型二 求三角形外心坐标 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 5．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． (1)的外接圆的圆心坐标为_____，该外接圆的面积为_____ (2)点D在格点上，画出使得 ． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆的圆心的位置，圆内接四边形的性质，熟知三角形外接圆的定义是解题的关键． （1）三角形外接圆的圆心为其三边垂直平分线的交点，据此作出三角形外接圆的圆心位置，即可得到对应的坐标，再利用两点距离计算公式求出对应的半径，即可求出对应的面积； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，与格线的交点（在下方）即为点D的位置，根据圆内接四边形对角互补可证明； 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，二者交于点，则点即为的外接圆的圆心，由图可知点的坐标为， ∵， ∴， ∴该外接圆的面积为； （2）解：如图所示，和即为所求． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【答案】(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴， ∴点M在内． 8．（2020·广东潮州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当，则外接圆圆心坐标为__________； (3)当，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，直角三角形外接圆圆心以及圆的性质，构造辅助圆是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据直角三角形外接圆圆心是斜边中点可得结论； （3）以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图，得出为等腰直角三角形，证明四边形为正方形，求得，由勾股定理得出，从而可得出的最小值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点，，代入解析式得：， 解得：， 所以解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴外接圆圆心是的中点，即，如图， 故答案为：； （3）解：以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图， ， ， 为等腰直角三角形 轴，轴， 四边形为正方形， ， ，， 在中， 由勾股定理得：， CP的最小值为：． 题型三 已知外心的位置判断三角形的形状 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 3．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 5．（2020·河北·二模）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知O为的外心，，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 题型四 求特殊三角形外接圆的半径 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·天津·期中）等边三角形外接圆的半径长为2，则等边三角形边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，等边三角形一边上的高线也是这边上中线．根据在中，的余弦值是角的邻边与斜边的比值，求出，再求出等边三角形的边长即可． 【详解】解：根据题意画出图形，得，， 过点O作于点D， ∴， 根据圆和等边三角形的对称性可知， 在中，， 由，得， ∴． 即该等边三角形的边长为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的两直角边分别为和，则它的外接圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟记直角三角形外接圆的直径等于斜边长是解题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径等于斜边长即可得解． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和， 直角三角形的斜边长为， 这个直角三角形的外接圆的直径为：． 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，，则的半径 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于点，延长交圆于点，连接，设，根据勾股定理求出和，由进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长交圆于点，连接， ∵，，， 设，则， ∵，， ∴， 即， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 故答案为： 5．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形的两直角边的边长， ∴斜边长为， ∴这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：． 7．（12-13九年级上·河北·期末）已知一个等腰直角三角形的一腰长为，则它的外接圆的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理，由，可得为的直径，由勾股定理得，则的半径为，然后用圆周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，为外接圆， ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴的半径为， ∴它的外接圆的周长为， 故答案为：． 8．（13-14九年级上·河北·期末）等腰三角形中，，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、等腰三角形的性质、方程的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．设O为外接圆的圆心，连接，且延长交于D，连接、，求出，，根据勾股定理求出，设等腰外接圆的半径，在 中，由勾股定理得出，代入求出即可． 【详解】解：设O为外接圆的圆心，连接，且延长交于D，连接、， ∵，O为外接圆的圆心， ∴，（三线合一）， （）， 设等腰外接圆的半径为R， 则， 在中，由勾股定理得：（）， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 即等腰 外接圆的半径为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）三边长分别为6，8，10的三角形，它的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆的相关知识，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理可证明该三角形为直角三角形，再由直角三角形的斜边即为其外接圆的直径求出外接圆的半径，最后根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴该三角形的外接圆的半径为5， ∴该三角形的外接圆的面积为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【详解】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型一 圆的基本运用 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可； （3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案． 【详解】（1）证明：设交于点E，连接，则， ∵， ∴； （2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作： （3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则； 中，，， ∴，， 由勾股定理得， ∴，则； 过O作于G，连接，则，， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴，则， ∴， ， 由（1）知，当点C在内部时，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案； （2）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求； （3）作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：连接、，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：； （2）解：如图中，点P为所求． ∵点在的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴过点E， ∵， ∴， （3）解：如图，作的外接圆，    ∵，， 当时，为最长弦，即直径， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∵， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5确定圆的条件 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 2．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 题型二 求能确定圆的个数 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 3．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 题型三 尺规作图：画圆 1．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，．先作的平分线交边于点P，再以点P为圆心，长为半径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 5．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹） 6．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）已知．尺规作图：作的外接圆． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 题型四 尺规作图：确定圆心 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点P，使得，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）： ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 3．（20-21九年级上·陕西延安·期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面．请用直尺和圆规作图，确定圆心的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 6．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）在下列命题中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．直径所对的圆周角是直角 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧； B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角对的弧相等 6．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 题型一 判断三角形外接圆的圆心位置 1．（12-13九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 2．（2025九年级上·山东·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 8．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 题型二 求三角形外心坐标 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 2．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 5．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． (1)的外接圆的圆心坐标为_____，该外接圆的面积为_____ (2)点D在格点上，画出使得 ． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 8．（2020·广东潮州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当，则外接圆圆心坐标为__________； (3)当，求的最小值． 题型三 已知外心的位置判断三角形的形状 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 5．（2020·河北·二模）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知O为的外心，，则 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 题型四 求特殊三角形外接圆的半径 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是 ． 2．（25-26九年级上·天津·期中）等边三角形外接圆的半径长为2，则等边三角形边长为 ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的两直角边分别为和，则它的外接圆的直径为 ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，，则的半径 ． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 7．（12-13九年级上·河北·期末）已知一个等腰直角三角形的一腰长为，则它的外接圆的周长为 ． 8．（13-14九年级上·河北·期末）等腰三角形中，，，则的外接圆的半径为 ． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）三边长分别为6，8，10的三角形，它的外接圆面积为 ． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 题型一 圆的基本运用 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $