5 确定圆的条件-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 5 确定圆的条件 1. D 2. C 3. C 4. C 5. A 6. 画图略 提示： 任意画线段 AB ， 以 AB 为直径作半圆 O ， 过点 O 作 AB 的垂线， 交半圆 O 于点 C ， 连接 AC ， BC ， 则 △ABC 即为所求 . 理由： ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°. 又 ∵OC⊥AB ， OA=OB ， ∴AC=BC. ∴△ABC 是等 腰直角三角形 . 7. 画图略 提示： 图 1 、 图 2 都是作 AB 的垂直平分线， 交直线 m 于点 O ， 以 O 为圆心， 以 OA 为半径作 ⊙O ， 则 ⊙O 即为所求作的圆； 在图 3 中， ∵ 直线 m 是 AB 的垂直平分线， ∴ 直线 m 上的任意一点 O 到 A ， B 的距 离都相等， ∴ 满足条件的 ⊙O 有无数个 . 8. 解 ： B ， E ， C 三点在以 D 为圆心 、 DB 长为半径的圆上 ． 理由 ： ∵AD 为直径 ， ∴∠ABD=∠ACD=90° . ∵BD=CD ， ∴ B B D =C B D . ∴AB B D -B B D =AC B D -D B C ， 即Ａ B Ｂ =A B C ， ∴AB=AC. 又 ∵AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD. ∴ ∠BAD=∠CAD. 又 ∵∠CAD=∠CBD ， ∴∠BAD=∠CBD. ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴∠CBE =∠ABE. 又 ∵∠DBE = ∠CBD+∠CBE ， ∠DEB=∠BAD+∠ABE ， ∴∠DBE=∠DEB. ∴DB=DE. ∴DB=DE=DC. ∴B ， E ， C 三点在以 D 为 圆心、 DB 长为半径的圆上 ． 9. 解： （ 1 ） 在弧上任取三点构造三角形， 作其中两边的垂直平分线， 交点就是圆心 O. 画图略 . （ 2 ） 过 O 作 OC⊥AB 于点 D ， 交弧 AB 于点 C ， 连接 OB ， ∴BD= 1 2 AB= 1 2 ×16=8 （ cm ） ． 由题意可知 CD=4 cm． 设半径为 x cm ， 则 OD= （ x－4 ） cm． 在 Rt△BOD 中， 由勾股定理得 OD 2 +BD 2 =OB 2 . ∴ （ x－4 ） 2 +8 2 =x 2 . ∴x=10. 即这个圆形截面的半径为 10 cm． 10. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 DF ， EF ， ∵∠BAC＝90° ， ∴FC 是 ⊙O 的直径 . ∴OA＝OD ， OF＝OC. ∴ 四边形 AFDC 为 平行四边形 . ∵∠BAC＝90° ， ∴ 四边形 AFDC 为矩形 . ∴AF∥CD ， 即 MF∥CD. ∵F 是A B E 的中点， ∴A B F ＝E B F . ∴∠ADF＝ ∠EDF. ∵OF＝OD ， ∴∠ADF＝∠OFD. ∴∠OFD＝∠EDF. ∴FC∥DM. ∴ 四边形 CFMD 为平行四边形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边 形 AFDC 为矩形， 四边形 CDMF 为平行四边形， A B F =E B F ， ∴CD＝AF＝FM＝EF. ∵CD＝ 2 5 AB ， ∴CD＝ 2 5 （ 2CD+BM ） . ∴CD＝2BM. ∵BM∥CD ， ∴∠B＝∠DCE ， ∠BME＝∠CDE. ∴△BEM∽ △CED. ∴ BM CD ＝ BE EC ＝ 1 2 . ∴EC＝2BE. 设 BM＝a ， 则 CD＝2a ， BF＝3a ， EF＝2a. 在 Rt△BEF 中 ， BE＝ BF 2 -EF 2 姨 ＝ 5 姨 a. ∴EC＝2 5 姨 a . 在 Rt△CEF 中， FC＝ EF 2 +EC 2 姨 ＝2 6 姨 a. 在 Rt△FAC 中， sin∠ACF＝ AF FC ＝ 2a 2 6 姨 a ＝ 6 姨 6 ． 11. （ 1 ） 证明： ∵FA＝FE ， ∴∠FAE＝∠AEF. ∵∠FAE 与 ∠BCE 都是B B F 所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝ ∠CEB ， ∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE 平分 ∠ACD ， ∴∠ACE＝∠DCE. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ACB＝90° ， ∴∠CEB+ ∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°. ∴∠CDE=90°. ∴CD⊥AB. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知， ∠BEC＝∠BCE ， ∴BE＝BC. ∵AF＝EF ， FM⊥AB ， ∴MA＝ME＝2 ， AE＝4. ∴OA＝OB＝AE-OE＝3. ∴BC＝BE＝OB-OE＝2. 在 △ABC 中， AB＝6 ， BC＝2 ， ∠ACB＝90° ， ∴AC= AB 2 -BC 2 姨 ＝ 6 2 -2 2 姨 ＝４ 2 姨 . 6 直线和圆的位置关系 （第 1 课时） 1. 16 cm 2. 3 4 3. 3 姨 2 cm 4. 105° 或 15° 5. D 6. B 7. D 8. 解： 连接 OA ， OB. ∵PA ， PB 分别切 ⊙O 于点 A ， B ， ∴∠PAO=∠PBO=90°. 又 ∵∠AOB=2∠ACB=130° ， ∴∠P=360°－180°－130°=50°. 9. 解： （ 1 ） 相等 . 理由： ∵CD 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCD=90°. ∵∠ACD=120° ， ∴∠ACO=30° . ∵OA=OC ， ∴∠CAO=30° ， ∴∠CDO=180°－120°－30°=30° . ∠CAO= ∠CDO. ∴CA=CD. （ 2 ） 设 CO 为 x ， ∵∠CDO=30° ， ∠OCD=90° ， BD=10 ， ∴x= 1 2 （ x+10 ）， ∴x=10 ， ∴ 半径为 10. 10. 解： （ 1 ） ∵OA=OC ， ∴∠A=∠ACO. ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠A ， ∴∠D=∠COD. ∵PD 切 ⊙O 于点 C ， ∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°. （ 2 ） ∵∠D=∠COD ， CD=2 ， ∴OC=OB=CD=2. 在 Rt△OCD 中， 由勾股 定理得 2 2 +2 2 = （ 2+BD ） 2 ， 解得 BD=2 2 姨 －2． 11. （ 1 ） 证明： 如图， 取B B F 的中点 M ， 连接 OM ， OF ， ∵B B F ＝2B B E ， ∴B B M ＝M B F ＝ B B E . ∴∠COB＝ 1 2 ∠BOF. ∵∠A＝ 1 2 ∠BOF ， ∴∠COB＝∠A. （ 2 ） 解： 如图， 连接 BF ， ∵CD 为 ⊙O 的 切 线 ， ∴AB⊥CD. ∴∠OBC ＝∠ABD ＝90° . ∵∠COB ＝∠A ， ∴ △OBC∽△ABD. ∴ OB AB ＝ BC BD ， 即 3 6 ＝ 4 BD . 解 得 BD ＝8. 在 Rt△ABD 中 ， AD ＝ AB 2 +BD 2 姨 ＝ 6 2 +8 2 姨 ＝10. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠AFB＝90° . ∵∠BDF＝∠ADB ， 第 10 题答图 O M D F A B C E O C P A B 第 8 题答图 第 11 题答图 O D F A B C E M 217 圆 第三章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AD⊥BC ， 垂足为 D． （ 1 ） 作 △ABC 的外接圆 O ， 作直径 AE （尺规作图） . （ 2 ） 若 AB=8 ， AC=6 ， AD=5 ， 求 △ABC 的外接圆直径 AE 的长 ． 【分析】 （ 1 ） 由于三角形的外心是三边中垂线的交点， 可作 △ABC 任意两边的垂直平分线， 它们的交点即为外接圆的圆心 O ， 确定了圆心 即可画出 ⊙O 及直径 AE． （ 2 ） 由圆周角定理， 得 ∠C=∠E ， ∠ABE=∠ADC=90° ， 由此可得 △ADC∽△ABE ， 根据所得比例线段即可求得直径 AE 的长 ． 【解答】 （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） 由作图可知 AE 为 ⊙O 的直径， ∴∠ABE=90° . ∵AD⊥BC ， ∴∠ADC=90° . ∴∠ABE=∠ADC. ∵∠E=∠C ， ∴△ABE∽△ADC. ∴ AC AE = AD AB . ∵AB=8 ， AC=6 ， AD=5 ， ∴ 6 AE = 5 8 . ∴AE=9.6. 【点拨】 此题考查三角形的外接圆与外心的概念理解， 以及不在同 一条直线上三点作圆的方法， 而这种作图方法为我们今后求解三角形外接圆的半径 （或直 径） 提供了作辅助线的基本方法， 即过圆心作一条弦的垂线段， 并连接半径构成等腰三角形 和直角三角形 . 基础巩固 达标闯关 1. 下列条件只能确定一个圆的是 （ ） A. 过已知一点 A B. 过已知两点 A ， B C. 过已知三点 A ， B ， C D. 过不在同一直线上的三点 A ， B ， C 2. 三角形的外接圆的圆心是 （ ） A. 三个内角的三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边的高所在直线的交点 3. 若一个三角形的外心在三角形的外部， 那么这个三角形一定是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上情况都有可能 4. 某三角形三边分别为 25 cm ， 24 cm ， 7 cm ， 则此三角形的外接圆的半径长为 （ ） A. 25 cm B. 24 cm C. 12.5 cm D. 12 cm D A B C 例题图 5 确定圆的条件 E A B C D O 例题答图 75 九年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， O 为锐角 △ABC 的外心， 四边形 OCDE 为正方形， 其中点 E 在 △ABC 的外部， 下列叙述正确的是 （ ） A． O 是 △AEB 的外心， O 不是 △AED 的外心 B． O 是 △AEB 的外心， O 是 △AED 的外心 C． O 不是 △AEB 的外心， O 是 △AED 的外心 D． O 不是 △AEB 的外心， O 不是 △AED 的外心 6. 请你利用圆周角的性质作一个等腰直角三角形 ABC ， 使 AC=BC ， 并说明理由 . （不写 作法， 保留作图痕迹） 7. 作一个圆， 使它经过已知点 A ， B ， 并且圆心在已知直线 m 上 . （图 3 中， 直线 m 垂直 平分线段 AB ） 能力提升 综合拓展 8. 如图， AD 为 △ABC 外接圆的直径， BD=CD ， ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E ， 连接 BD ， CD． 请判断 B ， E ， C 三点是否在以 D 为圆心、 DB 长为半径的圆上， 并说明理由 ． E O A B C D 第 5 题图 A B m m A B A B m 图 2 图 1 图 3 第 7 题图 A B C D E F 第 8 题图 76 圆 第三章 9. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂， 维修人员为更换管道， 需确定管道圆形截面 的半径， 下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面 ． （ 1 ） 请你补全这个输水管道的圆形截面 . （ 2 ） 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16 cm ， 水面最深地方的高度为 4 cm ， 求这 个圆形截面的半径 ． 10. 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC＝90° ， 点 E 在 BC 边上， 过 A ， C ， E 三点的 ⊙O 交 AB 边 于另一点 F ， 且 F 是A A E 的中点， AD 是 ⊙O 的一条直径， 连接 DE 并延长交 AB 边于点 M． （ 1 ） 求证： 四边形 CFMD 为平行四边形 . （ 2 ） 当 CD＝ 2 5 AB 时， 求 sin∠ACF 的值 ． 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·安徽） 如图， ⊙O 是 △ABC 的外接圆， D 是直径 AB 上一点， ∠ACD 的平分 线交 AB 于点 E ， 交 ⊙O 于另一点 F ， FA＝FE． （ 1 ） 求证： CD⊥AB. （ 2 ） 设 FM⊥AB ， 垂足为 M ， 若 OM＝OE＝1 ， 求 AC 的长 ． 第 9 题图 A B O M D F A B C E 第 10 题图 M O A D C B E F 第 11 题图 77