3.2 圆的对称性-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 圆的对称性 自主导学Q典例精析 例题 如图，∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，AB分别交OC, OD于点E,F 求证：AE=CD=BF 【分析】由∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，可知∠AOC=∠COD= ∠DOB=30°，AC=CD=DB,而要证明AE=CD=BF,只需证AC=AE,DB=BF 例题图 即可，所以就转化为分别证明△ACE和△BDF的两个内角相等的问题. 【证明】如图，连接AC和BD,,∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点， .∠A0C=∠C0D=∠D0B=30°，AC=DC=BD.AC=CD=DB.A0=0B, ∠0AB=∠0BA=45°.∴.∠AEC=∠OAB+∠AOC=75.又.OA=OC,∠A0C=30°，. ∠OAC=∠AC0=75°.∴.∠AEC=∠AC0=75°..∴AC=AE.又AC=CD,.AE=CD. 同理得BF=CD,AE=CD=BF 例题答图 【点拔】本题考查同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间关系的定理的应用.在同圆或等圆中， 这三个基本量中如果有一组量对应相等，那么其他两个量也对应相等.应用这三者之间关系的定 理时，特别需要注意下列两点：第一，使用的前提条件是同圆或等圆；第二，如果题目的条件 是弧上的等分点，那么首先要转化为一组弧相等，然后才能导出一组弦（或圆心角)相等. 基础巩固飞达标闯关 1.如图，已知BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上，AB=BC,∠AOB=60°，则∠COD 的度数是 2.如图，AD是⊙0的直径，且AD=6,点B,C在⊙0上，AmB=AnC,∠AOB=120°， 点E是线段CD的中点，则OE= D B B 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，已知AB,CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，作AE∥CD,交⊙O于点E, 则∠AOE的度数为（) A.80° B.75° C.70° D.65° 58 圆 第三章 4.AB和CD是同圆中的两段弧，且AB=2CD,则弦AB和CD的关系为（ A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定 5.已知P是半径为5的⊙0内一定点，且OP=4,则过点P的所有弦中，弦长可能取得 的整数值为() A.5,4,3 B.10,9,8,7,6,5,4,3 C.10,9,8,7,6 D.12,11,10,9,8,7,6 6.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB, ∠COD,若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6,则弦AB的长为() A.6 B.8 C.5V2 D.5V3 第6题图 7.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,∠COD=35°，求∠AOE的度数. 第7题图 8.如图，AB,CD为⊙O的两条弦，且AB=CD,M,N分别为AB,CD的中点，那么 ∠AMW与∠CNM相等吗？请说明你的理由. B 第8题图 能力提升螂综合拓展 9.如图，AB,CD是⊙O的直径，DF,BE是弦，且DF=BE,那么∠D=∠B是否成立？ 请说明理由. D 第9题图 59 口数学 九年级下册（北师大版） 10.如图，在⊙O中，D,E分别为半径OA,OB上的点，且AD=BE,点C为AB的中 点，连接CD,CE.试说明CD=CE 第10题图 11.如图，A,B是⊙0上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点. (1)求证：AB平分∠OAC. (2)延长OA至P使得OA=AP,连接PC,BC,若⊙O的半径R=1,求PC的长 A 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2022·聊城)如图，AB,CD是⊙O的弦，延长AB,CD相交 于点P.已知∠P=30°，∠AOC=80°，则BD的度数是() A.30° B.25° C.20° D.10° 第12题图 13.(2022怀化)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB=CD.求证： (1)AC=BD. 0 (2)△ABE∽△DCE. 第13题图 60参考答案与提示 1=0.解得b=-1+V2,b2=-1-V2(不符合题意，舍 12.解：(1)点A在圆外，点C在圆上，点B在 去).点D的坐标为(V2,-1). 圆内.理由：∠A=30°，CD1AB,DE=2AC=DC, AD=V3 DC>DE,DB=V3-DC<DE. (2).BC=1, 3 ∠0B=∠A=30,DC-.dD=号点A距 O B D A/O OD的最短距离=AD-DC=3-Y3 2 13.解：(1)以点P为圆心，分别以0.6cm和 图1 图2 1.2cm为半径画圆，两圆之间的圆环部分即为所求作 第13题答图 的图形（不包含边界）.(2)画线段AB=3cm,以点 ②.c=b-a,a<0,b>0,c>0,m>1.如图2，在x A为圆心，以2cm为半径画圆，再以点B为圆心， 轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC.∴.∠ACG= 以1.6cm为半径画圆，则⊙A,⊙B的公共部分（相 ∠CGA..∠CAB=2∠CGA.∠CAB=2∠ABC, 交部分)即为所求作图形.画图略. 14.解：相等.如图，连接0C,0D.OC=0D, ∠ABC=∠CGA..CG=CB,则GO=OB.在Rt△AOC中， ∠OCD=∠ODC..∴.∠OCA=∠ODB.又.AC=BD,OC 根据勾股定理，得AC2=A02+OC,∴AC=V1+c2.AG= OD,∴.△OAC≌△ODB..OA=0B. V1+e2..G0=GA+A0=V1+c2+1.又：点B(m,0), .0B=m..V1+e2=m-1,即c2=m2-2m.点A和点B 关于对称轴l对称，点F在对称轴1上，AF=BF.又： 在☐ACEF中，AF=CE,∴.CE=BF.∴.CE+CF=BF+CF≥ BC.∴.当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值 2V6,即BC=2V6.在Rt△0BC中，OB+0C=BC, :m2+c2=24.将c2=m2-2m代人，得m2+(m2-2m)=24.解 第14题答图 第15题答图 得m=4,m2=-3(舍去).：c=2V2.点B(4,0), 15.解：如图，连接OD.AB是⊙0的直径， C0.2W2)…直线Bc的表达式为)-Y+2V2. :0D=7ABAB=-2DE,DE=0D.∠D0E=∠E=I8 3 设点F的横坐标为，则4-(-1).解得2 .∠OCD=∠ODC=36°.∴.∠AOC=∠OCD+∠E=54° 点F的坐标为子，5Y:线段CE可以看作是由 16.解：如图，设OA 4 交⊙0于点C,连接BC, B (B') 线段AF经过平移得到的，∴点E可以看作是点F先 点A',B分别是点A,B的 反演点，.OA'.OA=OB.OB= 向右平移1个单位长度，再向上平移2V2个单位长 户而r=4,0A=8,.0A'=2. 度得到的.六点E的坐标为5,13Y2） ·.OB=可=4，.OB'=4,即点B 2 4 和B重合.：∠BOA=60°， 第16题答图 第三章圆 OB=0C,.△OBC为等边三 1圆 角形.而点A'为OC的中点，BA'⊥OC.在Rt△OA'B 1.无数无数2.点P在⊙0外3.0<0P<34. 125.3<<56.3或V737.C8.B9.B10.C 巾，snL4'0B-=4B,A'B=4sin60r-=2V3 11.解：如图，连接 2 圆的对称性 EM,FM.BE,CF是△ABC 1.1202.3Y33.A4B5.C6.B 的高，∴.△BCE和△BCF是 2 直角三角形.EM=2CB, 7.解：BC=CD=DE,∠C0D=35°，.∠E0D= ∠BOC=∠COD=35°..∠E0B=105°..∠AOE=180°- FM=号CR又：M是BC的中 ∠EOB=75° 8.解：相等.理由：如图，连接OA,OB,OC, 点，.CM=BM=LCB.EM= M 2 OD,OM,ONM,N分别是AB,AC的中点，OA= FM=CM=BM.∴B,C,E,F 第11题答图 OB=OC=OD,∴.0OM⊥AB,ON⊥CD.∴.∠AM0=∠CNO= 90°.又AB=CD,∴.OM=ON.∠OMN=∠ONM. 四点在以点M为圆心、以于AB为半径的同一个圆上： 2 ∠AMO-∠OMN=∠CNO-∠ONM,即∠AMN=∠CNM. 口数学 九年级下册（北师大版） 134n4D=3AC-24D=9 0 0 第8题答图 第9题答图 B 9.解：成立.理由：如图，连接OE,OF,.OE= 第9题答图 第10题答图 第11题答图 OB=OD=OF.又DF-BE,∴△BOE≌△DOE∴∠D=∠B. 10.解：如图，连接OC.DE分别为⊙0半径 11解：如图，过点O作OF⊥CD于点F,连接OC, OA,OB上的点，AD=BE,OA=OB,.OD=OE.C是 则CF=DFAE=1,EB=5,AO=3,EO=2.在Rt△EFO AB的中点，AC=BC.∠A0C=∠B0C.又OC=0C, 中，：∠DEB=60°，E0=2,F0=V3,0C=0A=3,由 .△DCO≌△ECO.:.CD=CE 勾股定理得CF2=C0-0F2,∴.CF=V6,∴.CD=2V6. 12.解：四边形OACB是菱形.理由：C是AB的 中点，OC是半径，.OC⊥AB,AC=BC,AP=BP MB=V50A,AP=号AB=Y号0A.在Rt△AOP 中.mLa0r8裙-Y,∠40m又0 第10题答图 第11题答图 OC,.△OAC为等边三角形..OA=AC=CB=OB.四边 形OACB为菱形 11.(1)证明：如图，连接OC.∠A0B=120°，C 13.解：（1)如图，连接 是AB的中点，.AC=BC,∠AOC=∠B0C=60°.0A= AO.C为AB的中点，CD经过 OC,△AC0是等边三角形..OA=AC,同理OB=BC, 圆心O,CDLAB,∴AC=CB=0.9m .0A=AC=BC=0B..四边形AOBC是菱形..AB⊥OC..0C=VAOP-AC=V1.5-0.9= 又0A=AC,.AB平分∠OAC.(2)解：由(1)知 1.2.∴.CD=0D+0C=1.5+1.2=2.7 △AC0是等边三角形，.0A=AC,∠A0C=∠OAC=60°. (m)..拱门最高点D到地面的距 .0A=AP,.AP=AC..∠0AC=2∠P∠APC=30°.. 离为2.7m.(2)如图，设MW 第13题答图 △OPC是直角三角形.又半径R=1,AC=1,OP=2 为桌子的宽度2m,EF为桌子抬高0.5m时桌底经过 ..PC=V3 的平面，MN,EF分别交CD于点P,Q,连接OM,则 12.C MN∥EF.由题意得MP=NP=1m,OM=1.5m,CQ= 13.证明：(1)AB=CD 0.5m,∴0Q=0C-CQ=1.2-0.5=0.7(m).在Rt△0MP .AB +BC =CD +BC,EAC=BD, 中，0P24PMr=0r,即0严+1=1.，解得OP=V5 2 AC=BD.(2)如图，连接BC, 1.118(负值已舍去)，.0P>OQ,.EF>MN=2m,且 AB=CD,AB=CD.由(1)知 PQ=0Q+0P=0.7+1.118≈1.82(m).1.82>1.2,.搬运 AC=BD,又BC=BC,∴.△ABC≌ 该桌子时能够通过拱门. △DCB.∴.∠A=∠D.又∠AEB= 第13题答图 14.615.A16.C ∠DEC,∴.△ABE∽△DCE. 4圆周角和圆心角的关系（第1课时） 3垂径定理 1.42°或138°2.150°3.B4.D 1.2V2I2.26寸3.25m4.7cm或3cm5. 5.解：如图，连接OD,OC B6.D7.B8.C D是AC的中点，∠AOD= 9.解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,则CE= ∠A0C.又∠B=号LA0C, DE=号CD=3cm,AE=BE=↓AB=5cm.AC=AE-CE= 2 2 2 cm. ÷∠A0D=号∠A0C=LB=40, 第5题答图 10.解：如图，过点O作OD⊥AC于点D,则 ·.OA=OD,.∠A=∠ADO.∠A+∠AD0+∠AOD=180°， AD=DC.∠AOB=90°，∠AD0=90°，∠A=∠A, ∴.∠A=70°. △40D△4B09治-8滑0=1B4n又MB 6.解：∠C0B=30°，∠C0B=2∠D,∴∠D=15°. 又∠APD=∠D+∠ABD,∠APD=60°，∴.∠ABD=45°. 13,0B=12,由勾股定理得0A2=AB2-0B=25.25= 7.解：AC=AE.理由：BC=DE,BC+BD=DE+