21.3.3 正方形-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级下册（人教版） 四边形ABCD是平行四边形.又，BD⊥AC,.四边形 BC=CD, ABCD是菱形 BC=CD,∠BCE=∠DCE=45°.∠BCE=LDCE=45°， (2)解：由(1)，得四边形ABCD是菱形，OC= EC=EC, ∴.△EBC≌△EDC(SAS). 0A=AC,AD=BC=CD=5,BE=BC+CE=5+3-8. (2)解：·.CE=BC,且∠ACB=45°，.∠EBC= DE⊥BC,∴.∠DEB=90°.在Rt△CED中，由勾股定 ∠BEC=67.5°.：AD∥BC,∴∠AFB=∠FBC=67.5°.： 理，得DE=VCD-CE区=V52-3=4.在Rt△BED中， ∠EFD+∠AFB=180°，∴.∠EFD=112.5°. 由勾股定理，得BD=VBE+DE=V82+4=4V5, 10.(1)证明：四边形ABCD是正方形，BC= CD,∠BCD=∠DCF-=90°.又CE=CF,.△BCE≌ S装eA=DB:BC,S表后Aa=之AC~BD=OC~BD,DB △DCF(SAS). BC-0C.BD,:0C-DE-BC=-4X5-=V5. (2)解：BC+DF=9,.CD+DF=9.在Rt△DCF中， BD 4V5 DF=DC+CF,.(9-CD)2-CDP+32,.CD=4,S正方形AB斤 21.3.3正方形 6 【知识点1】邻边直角 山含 【知识点2】相等直角垂直平分相等 12.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=CD, 1.D2.B3.22.5° AB∥CD,BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,AE=CF 【知识点3】相等直角 AB∥CD,.四边形AECF是平行四边形 【例1】C (2)解：过点E作EH⊥CD于 4 【例2】(1)证明：过点E作H⊥AC交 点H,如图所示，∴.∠EHC=∠EHF= AB于点H,如图所示.：四边形ABCD为正方 90°.四边形ABCD是正方形，BC= 形，.∠BAD=90,∠BAC=∠DAC=45°，∴∠FAB=12,∴AB=BC=CD=AD=12,∠B= B 90°，△AEH为等腰直角三角形，∴∠FAE= ∠BCD=90°，∴∠EHC=∠B=∠BCD=第12题答图 ∠FAB+∠BAC=135°，AE=HE、∠EHA=∠BAC=!90°，∴.四边形EBCH是矩形，∴.EH=BC=12,CH=BE= 45°，，∴.∠BHE=180°-∠EHA=180°-45°=135°， 5,∴.DH=CD-CH=12-5=7.BE=DF=5,∴.HF=DH-DF= .∠FAE=∠BHE=135°.在△AFE和△HBE中， 7-5=2.在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF= ∠AFE=∠ABE, VEH+HF=V12+2=2V37. ∠FAE=∠BHE,∴.△AFE≌△HBE(AAS), 13.①②（或①③） AE=HE, 14.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，AB= ∴EF=EB. CB,∠ABD=∠CBD.又BE=BE,.△ABE≌△CBE (SAS). (2)解：四边形ABCD是正方形，.∠BAD= 90°，∠ADB=45°.DE=DA,.∠DAE=∠DEA, ∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，∴.∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5. 第二十二章函 数 例2题答图 22.1函数的概念（第一课时)】 【知识点】常量变量C (2)解：AB,AE,AF的数量关系是AB 【例】B V2AE+4F证明如下：由(1)可知，△AFE≌ 1.A2.C3.m4.D5.B6.C △HBE,△AEH为等腰直角三角形，AF=HB, 22.1函数的概念（第二课时)】 AH=VAE+HE=V2 AE,.AB =AH +HB 【知识点】自变量函数函数值A V2AE+AF 【例】解：(1)根据题意，得y=3x+2 1.C2.B3.B4.D5.D (2)当x=7.8时，y=3×7.8+2=254,∴.总费用 6.37.135°8.31V2 为25.4元 9.(I)证明：四边形ABCD是正方形，AD∥BC, (3)当y=30.8时，30.8=3x+2,x=9.6,∴.邮四边形 第二十一章 21.3.3正方形 知识梳理@形成联系 卡E多多 【知识点1】正方形的定义 ©一个平行四边形，如果它不仅有一组 相等，而且有一个角是 ,那么 它是正方形 【知识点2】正方形的性质 ◎正方形的四条边都 ，四个角都是 ©正方形的对角线互相 且 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 2.如图21.3-19，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,那么∠BED为（) A.60° B.45° C.30° D.15° 图21.3-19 图21.3-20 3.如图21.3-20，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的平分线，并交CD 的延长线于点E,则∠E= 【知识点3】正方形的判定 矩形 组邻边 正方形 菱形 一个角是 正方形 例题点拨Q素养导向 【例1】如图21.3-21，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE, 连接BE,AC交于点G,则∠AGE的度数为() A.15° B.45° C.60° D.90° 【点拨】根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°，根据等边三 角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°，AE=AD,求出∠BAE=150°，AB= 图21.3-21 AE,∠ABE=∠AEB=15°，进而可以解决问题， 数学 八年级下册（人教版） 【例2】如图21.3-22，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB,点F在DA 的延长线上，且∠AFE=∠ABE. (1)求证：EF=EB. (2)用等式表示线段AB,AE,AF的数量关系并证明. 【点拨】(I)过点E作EH⊥AC交AB于点H,根据正方形性质得∠BAD=90°，∠BAC= ∠DAC=45°，则∠FAE=135°，△AEH为等腰直角三角形，进而得AE=HE,∠EHA=∠BAC= 45°，则∠BHE=135°，进而得∠FAE=∠BHE=135°，由此可判定△AFE和△HBE全等，然后 根据全等三角形的性质可得出结论.(2)由(1)可知△AFE≌△HBE,△AEH为等腰直角 三角形，则AF=HB,AH=V2AE,由此可得出线段AB,AE,AF的数量关系. 图21.3-22 夯实四基达标闯关 -卡多多e 1.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(V3,1), 则点C的坐标为() A.(-V3,1)B.(-1,-V3)C.(-1,V3)D.(1,-V3) 2.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点.过点O作OE LOF,分别交 AB,BC于点E,F,若AE=3,CF=1,则EF=() A.2 B.V10 C.4 D.2V2 D 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边CD上，以点A为圆心，AD长为半 径画弧，交线段AE于点G,若EG=EC,则DE的长为（) A B子 c D 78 四边形 第二十一章 4.下列判断正确的是() A.四条边相等的四边形是正方形 B.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形 C.四个角相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 5.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中 点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C处，则 点D的对应点D'的坐标为(） A.(-V3,1)B.(-2,1) C.(-1,V3)D.(-2,V3)》 C A 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,连接 DF,则DF= 7.如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=AB,连接CE,AE,则 ∠AEC的度数为 第7题图 第8题图 8.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重 合)，点M,N分别是DQ,BQ的中点，则线段MN= 9.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB,ED. (1)求证：△EBC≌△EDC. (2)延长BE交AD于点F,当CE=BC时，求∠EFD的度数 第9题图 的 口数学 八年级下册（人教版） IO.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F为BC延长线上一点，且CE=CF (1)求证：△BEC≌△DFC. (2)如果BC+DF=9,CF=3,求正方形ABCD的面积. 第10题图 能力提升肿综合拓展 一卡每 11.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F若 AB=1,∠EBC=30°，则△ABF的面积为 12.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且BE=DF (1)求证：四边形AECF是平行四边形 第11题图 (2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长. 第12题图 80 四边 形 第二十一章 中考链接©真题演练 13.(2025·乐山)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加 两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD:②AC=BD: ③∠ADC=90°.则正确的组合是 ·(只需填一种组合即可) x-☒ 第13题图 14.(2025.浙江)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E 在对角线BD上 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程， (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数 第14题图