21.2.3 三角形的中位线&专题特训 构造三角形中位线的四种常用技巧（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

21.2.3三角形的中位线 A分点训练 。夯实基础 知识点2三角形的中位线与平行四边形 知识点①三角形的中位线定理 5.(山西中考)如图，在☐ABCD中，O是对角线 1.如图，小张想估测被池塘隔开的A,B两处景 AC的中点，E是AD的中点，连接OE.下列 观之间的距离，他先在AB外取一点C,然后 两条线段的数量关系一定成立的是( 步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE A.OE=号AD ROE=号BC 的长约为20m.由此估测A,B之间的距离 约为 C.OE-TAB D.OE-号AC A.10m B.20m C.30m D.40m (第5题图) (第6题图)》 (第1题图) (第2题图) 6.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AC, 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC的 AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形 中点.若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度 BDEF的周长是 数为 ( ) 7.(广元中考)如图，在 A.45° B.50° C.60° D.65 □ABCD中，AB=8, 3.(资阳中考)三角形的周长为48cm,则它的 对角线AC,BD交于 三条中位线组成的三角形的周长是( ) 点O,P是AB的中点，连接DP,E是DP的 A.12 cm B.24 cm 中点，连接OE,则OE的长是 C.28 cm D.30 cm 8.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的 4.如图，在四边形ABCD中，AB=6,CD=8, 中点，点H在线段CE上，连接BH,G,F分 ∠BAC=30°，∠ACD=120°，E,F,M分别是 别为BH,CH的中点.求证：四边形DEFG AD,BC,AC的中点，求EF的长 为平行四边形 第二十一章四边形53 B综合运用 。提升能力 (2)求EF的长. 9.如图，D,E分别为△ABC边AB,AC的中 点，连接BE,DE.若∠AED=∠BEC, DE=2,则BE的长为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.6 B （第9题图) (第10题图) C创新拓展 。发展素养 10.(教材P66习题T6变式)如图，在□ABCD 13.(1)教材再现 中，AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于 已知：如图①，DE是△ABC的中位线. 点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO, DO的中点，则下列说法正确的是( 求证：DE∥BC,且DE=BC A.EH=HG 证明：如图②，延长DE至点F,使得EF= B.ACI BD DE,连接CF,请你利用该辅助线，完成 C.四边形EFGH是平行四边形 中位线定理的证明； D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 (2)知识应用 11.(重庆一中阶段测 如图③，在四边形ABCD中，AB=6, 试)如图，在平行四 CD=8,∠BAC=35°，∠ACD=125°，点 边形ABCD中， E,F,M分别是AD,BC,AC的中点，求 ∠C=120°，AB=2,点H,G分别是边DC, EF的长。 BC上的动点，连接AH,HG,点E为AH 的中点，点F为GH的中点，连接EF,则 EF的最小值为 图① 图② 12.如图，等边三角形ABC的边长为2，D,E 分别为AB,AC的中点，EF∥CD,交BC的 延长线于点F,连接DE. (1)求证：DE=CF; 54数学八年级下册人教版 专题特训 构造三角形中位线的四种常用技巧 类型①已知两边中点，连接第三边构造中位线 类型3 已知一边中点，取另一边中点构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, 4.如图，在△ABC中，延长BC至点D,使 AD的中点.若BC=10,DC=6,EF=4, CD-号BC,过AC的中点E作EF∥CD点 ∠AFE=50°，则∠ADC的度数是( B.140°C.135°D.120° F位于点E右侧)，且EF=2CD,连接DF A.150° 若AB=8,则DF的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=5, AB=8,AD=10,M是BD的中点，则CM (第1题图) (第2题图) 的长为 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,N是BC上一点，M是AB上的动 点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE长 的最小值是 (第5题图) (第6题图) 类型2已知角平分线十垂线，延长一边构造 等腰三角形得中位线 类型④已知两条线段的中点，取公共边的中 点，得两条中位线 3.如图，在△ABC中，E是BC的中点，AD平 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD 分∠BAC,且ADLCD于点D,连接DE.若 2,BC=5,E,F分别是对角线AC,BD的中 AB=6,AC=3,则DE的长为 点，则EF的长为 ( A.1 B.1.5 C.2.5 D.3.5 7.如图，在四边形ABCD中，AB=3,CD=5, E,F分别为AD,BC的中点，则EF长的取 (第3题图) (变式题1图) 值范围是 【变式题1】如图，在△ABC中，AB=15,BC 3,BD平分∠ABC,交AC于点E,过点A作 BE的垂线，交BE的延长线于点D,F为 AC的中点，连接DF,则DF的长为 (第7题图) (变式题图) 【变式题2】如图，AD为△ABC中∠BAC的 【变式题】公共边已知→公共边隐藏 外角平分线，BD⊥AD于点D,E为BC的中 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D,E分 点，DE=5,AC=3,则AB的长为 别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3,连接 DE,M,N分别是AC,DE的中点，连接MN,则 MN的长为 (变式题2图) (第4题图) 提示 请完成阶段小测（二）[21.2] 第二十一章四边形 55理，得CE=√/BC”一BE=4.:四边形AECF是平行四边 形，.S四边形AECF=AE·CE=12. 综合运用 9.B10.D11.(1)解：如图， DCN B 即为所求.(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB =CD,AB∥CD,∠BAC=∠BCD.:AE平分∠BAD,CN 平分∠CD,∠BAE=令∠BAD,∠DCF-合∠BCD ∴.∠BAE=∠DCF.AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF.在 I∠BAE=∠DCF, △ABE和△CDF中，JAB=CD, ..△ABE2 ∠ABE=∠CDF, △CDF(ASA),∴.AE=CF,∠AEB=∠CFD.:∠AEB= ∠MEF,∠MEF=∠CFD,.AM∥NC,即AE∥CF. .四边形AECF为平行四边形. 创新拓展 12.解：(1)(12-t)3t(2)若BP与AQ互相平分，则 ABQP是平行四边形，.AP=BQ,即12一t=3t,解得t= 3.(3)存在.理由如下：①点Q在线段BC上，当PD=QC 时，以点P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时 PD=tcm,QC=(16-3t)cm,即t=16-3t,解得t=4; ②点Q在线段BC的延长线上，当PD=CQ时，以点P,Q, C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时PD=tcm,CQ= (3t-16)cm,即t=3t-16,解得t=8,综上所述，存在以点 P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间 t为4s或8s 专题特训证明平行四边形的常用思路 1,证明：，MO⊥ON,∴.∠MON=90°，在Rt△MON中，由 勾股定理，得MN-MOy=ON2,即(x-3)-4=(x 5)2,解得x=8.∴.PM=11-8=3,MN=8-3=5,ON=8 -5=3,∴.PM=ON=3,PO=MN=5,∴.四边形PONM 是平行四边形.2.证明：AB∥DE,∴∠A=∠D.AB =DE,AF=DC,∴.△ABF≌△DEC(SAS).∴.BF=EC, ∠AFB=∠DCE.∴.∠CFB=∠FCE.∴BF∥EC..四边 形BFEC是平行四边形.3.证明：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCB, ∴∠ABE=∠CDF.AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD, ∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB.·∠BAE= ∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(ASA),∴.∠AEB=∠CFD, AE=CF,.∠AEF=∠CFE,.AE∥CF,.四边形AECF 是平行四边形.4.证明：四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD.又△ADE和 △BCF都是等边三角形，∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC, ∠DAE=∠BCF=6O°，∴.BF=DE,CF=AE,∠BCD- ∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE.在△DCF 参考答案第 (CD=AB. 和△BAE中，∠DCF=∠BAE,∴.△DCF≌△BAE(SAS), CF-AE. ∴.DF=BE.又BF=DE,.四边形BEDF是平行四边形. 5.解：四边形BFDE是平行四边形.理由如下：在□ABCD 中，∠ABC=∠ADC,∠A=∠C..BE平分∠ABC,DF平 分∠ADC.·∠ABE=∠CBE=合∠ABC,∠CDF= ∠ADF=2∠ADC,·∠CBE=∠ADR.:∠DFB=∠C +∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴.∠DFB=∠BED, ∴四边形BFDE是平行四边形.6.解：①OB=OD ②AB∥CD③∠BOE=∠DOF④OE=OF⑤对角线 互相平分的四边形是平行四边形7.证明：，四边形AB CD是平行四边形，.AD∥BC,.∠EAO=∠FCO.O是 AC的中点，.OA=OC.在△OAE和△OCF中， ∠EAO=∠FCO, OA=OC, .△OAE≌△OCF(ASA),.OE= ∠AOE=∠COF, OF.同理可证OG=OH,.四边形EGFH是平行四边形. 专题特训过平行四边形对角线交点的 直线问题及常见面积模型【通性通法】 1.证明：：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,OA= OC.∴.∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中， f∠EAO=∠FCO, OA=OC, .△AOE≌△COF(ASA)..OE=OF ∠AOE=∠COF, 【结论应用】(1)C(2)C2.33.14.165.①③④ 21.2.3三角形的中位线 分点训练 1.D2.D3.B4.解：E,M分别是AD,AC的中点， 六EM是△ACD的中位线.EM=号CD=4,EM∥CD. ∴.∠EMC+∠ACD=180°.∴.∠EMC=180°-∠ACD= 60.同理可得FM=号AB=3,FM/AB.·∠CMF ∠BAC=30°.∴∠EMF=∠EMC+∠CMF=90°.∴.EF= √/EM+FM=5.5.C6.147.28.证明：D,E分 别为AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，∴DE∥ BC,DE=2BC:G,F分别为BH,CH的中点，GF是 △HBC的中位线.GF∥BC,GF=号BC.∴DE∥GF且 DE=GF.∴.四边形DEFG为平行四边形. 综合运用 9.c1o.c1.9 12.(1)证明：D,E分别是AB,AC 中点，.DE是△ABC的中位线..DE∥BC.又EF∥ CD,.四边形CDEF是平行四边形..DE=CF.(2)解： 7页（共55页） 等边三角形ABC的边长为2，AB=BC=AC=2.D 为AB的中点，BD=号AB=I,CD⊥AB,在R△BCD 中，CD=√/BC一BD=√5.：四边形CDEF为平行四边 形，∴.EF=CD=√3. 创新拓展 13.解：(1)证明如下：在△AED和△CEF中， DE=FE, ∠AED=∠CEF,.△AED≌△CEF(SAS)..AD= AE=CE, CF,∠A=∠ECF,AB∥CF.AD=BD,.BD=CF ∴.四边形DBCF为平行四边形..DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC,DE=号BC.(2):点E,M分别是AD,AC的 中点，∴EM是△ADC的中位线，∴.EM=号CD=4,EM∥ CD..∠EMC+∠ACD=180°.∠ACD=125°， ∴∠EMC=55.同理可得：MF=AB=-3,MF∥AB, ∴.∠CMF=∠BAC.'∠BAC=35°，∴.∠CMF=35. ∴.∠EMF=∠FMC+∠EMC=35°+55°=90°.∴.EF= √/EMP+FM=√/4+3z=5. 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1B2.号3.1.5【变式题1】6【变式题274.C 5.46.B7.1<EF4 【变式题】号 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 分点训练 1.D2.B3.B4号5.(D证明：四边形是ABCD 矩形，.AB∥CD,即AE∥CD.又CE∥DB,.四边形 CDBE是平行四边形.(2)解：·四边形ABCD是矩形， ∴.BD=AC=8.四边形CDBE是平行四边形，∴.CE= BD=8.6.B7.48.4 综合运用 9.C10.20°11.解：(1)如图所示. 4D(2)①AB B =CD②∠BAE=∠CDF③BE=CF 创新拓展 12.解：(1)：四边形OABC是矩形，.BC=OA=4,∠OCB =∠ABC=∠OAB=90°，AB=OC,AB∥OC.:∠BOC= 30°.∴.OB=2BC=8,.AB=OC=√OB-BC=4√3. AB∥OC,∴∠ABO=∠BOC.,把矩形OABC沿对角线 OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E, ,.∠BOC=∠BOD,.∠ABO=∠BOD,.EO=EB.设 参考答案第 AE=x,则EO=EB=AB-AE=4√3-x,:在Rt△AEO 中，∠OAE=90°，.OA2+AE=OE,.42+x2= （4后-，解得=5.E(4小2以0G为 边，在OG下方作∠GOH=30°，且∠GHO=90°.∴.GH= 合0GBG+之0G的最小值即为BG+GH的最小值，当 点B,G,H三点共线时，BG十GH取得最小值.，∠BOC= 30°，∴.∠BOH=∠BOC+∠GOH=60°.此时在Rt△BHO 中，∠OBH=30,OB=8,OH=2OB=4.GH= 70G,0C2=G+0,0G2=(70G+4华，0 =8点G的坐标是（色50） 3 第2课时矩形的判定 分点训练 1.C2.解：(1)答案不唯一，如：选择①.证明：，AD∥BC, AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形.(2)在Rt△ABC中，AB=3,AC =5,.BC=√/AC-AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩 形，∴.S矩形BD=AB·BC=12.3.C4.证明：四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=号AC,OB=OD= BD,:∠OAB=∠AB0,OB=OA.AC=BD.四 边形ABCD是矩形.5.A6.证明：：AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，·AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90°.AN是∠CAM的平分线，∴∠CAN= ∠CAM:∠DAE=∠CAD+∠CAN=(∠BAC+ ∠CAM)=90°.：CE⊥AN,∴.∠AEC=90°..四边形 ADCE是矩形. 综合运用 7.A8.C9.(1)证明：.CE∥BF,.∠BFD=∠CED. :D是边BC的中点，BD=CD.:∠BDF=∠CDE, .△BDF≌△CDE(AAS),(2)解：四边形BFCE是矩形. 证明如下：由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF=DE=号EF. 又，BD=CD,.四边形BFCE是平行四边形.DE= BC,EF=BC.∴四边形BFCE是矩形 创新拓展 10.解：(1)如图所示. A ED(2)①CD②∠DCF ③∠BAE=∠CDF=90°④该平行四边形为矩形 专题突破矩形中的折叠问题 1.B2.C3.20°4.108°5.2√56.解：设线段EF= x.四边形ABCD是矩形，.AB=CD=3,AD=BC=4, 8页（共55页）