6.2 平行四边形的判定(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级下册（北师大版） ∠MAE=∠NBG=,则∠BAG=45°+ax,∠BGA=∠GCN+ 平分∠BAC,∠BAD=∠GAF,.LAGF=∠GAF。.AF= ∠GBC=45°+a,AB=BG。AE=BG。∴.△AME≌ GF。BE=AF,∴.FG=BE。又FG∥BE,∴.四边形 △BNG(AAS)。.∴ME=NG。在等腰Rt△CNG中，·NG= BGFE为平行四边形。(2)解：AF=FG,∴△AFG NC.:GC-V2NG-V2ME-V2BE.:BE-V2GC. 是等腰三角形，由(I)知，∠EAD=∠AGF=∠GAF。 2 ∠GAF=∠AEF,.∠EAD=∠AEF。.AH=HE。 :四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， △AHE是等腰三角形。FG∥AE,∴.∠HFG=∠AEH。 .OA=OC,AD=BC,AD∥BC。.∠OAF=∠OCE, ∴.∠HGF=∠HFG。HG=HF,△HFG是等腰三角形。 ∠AFO=∠CE0。∴.△AFO≌△CE0(AAS)。.AF=CE。： 四边形BEFG是平行四边形，.∠EBG=LHFG= AD-AF=BC-EC,即DF=BE。.DF-BE=V2CG。 ∠BAG。.GA=GB。.△AGB是等腰三角形。综上所 9.2410.C 述，等腰三角形有△AFG,△AEH,△FHG,△ABG。 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，AO= 10.（1)证明：：△ABC是等腰三角形， CO,AD=BC,AD∥BC。∴.∠EAO=∠FCO,∠OEA= LABC=∠C。EG∥BC,DE∥AC,∴.∠AEG=∠ABC= ∠OFC。∴.△A0E≌△C0F(AAS)。AE=CF。.AD- ∠C,四边形CDEG是平行四边形。∴.∠DEG=∠C。 AE=BC-CF。.·DE=BF。 BE=BF,∴.∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC。∴，∠BFE= 12.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，点 ∠DEG。∴BF∥DE。四边形BDEF为平行四边形。 O是对角线的交点，.OD=OB,AD∥CB。.∠OED= (2)解：∠C=45°，四边形BDEF为平行四边形， ∠OFB。又：∠DOE=∠BOF,∴.△ODE≌△OBF(AAS)。 BD=FE,FE∥BD,BF∥DE。又DE∥CG,∠ABC= (2)解：由(I)得△ODE≌△OBF,DE=BF。 ∠BFE=∠BEF=∠BDE=∠C=45°。∴.△BDE,△BEF都 EF⊥BD,OD=OB,∴BE=DE,BF=DF。∴DF=BF=BE= DE=15cm。.DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)。. 是等膜直角三角形。F-B竖-D 2 四边形BEDF的周长为60cm: V2。如图，作M⊥BD于点M,连接DF,BF∥ 2平行四边形的判定（第1课时） DE,∴.∠FBM=∠BDE=45°。∴.△BFM是等腰直角三角 1.D2.C 形。FM=BM=YZBF=l。DM=3。在R△DFM中， 3.证明：BE=DF,∴BE+EF=DF+EF。∴BF=DE。 2 ,AB=CD,AF=CE,∴.△ABF≌△CDE(SSS)。.∠ABF= 由勾股定理得DF=1V1+32=1V10,即D,F两点间的 ∠CDE。AB∥CD。AB=CD,∴.四边形ABCD是平 距离为V10。 行四边形。 4.证明：AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB。BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠DBC。.∠ABD=∠ADB。.AB= AD。AD∥BC,AE∥DC,.四边形AECD是平行四 边形。.AD=EC。.AB=EC。 0 5.证明：·.BE=CF,.BE+EC=EC+CF,即BC=EF。 第10题答图 :AB∥DE,AC∥DF,∠B=∠DEF,∠ACE=∠F。 △ABC≌△DEF(ASA)。.AB=DE。又AB∥DE, 11证明：∠ACB=90°，AC=BC,.∠A=∠B= 四边形ABED是平行四边形。 45°。DE∥BC,.∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B= 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥ 45°。.∠A=∠AED。AD=DE。.CF=AD,.DE=CF BC,AD=BC。M,N为AD,BC的中点，AM= 又DE∥FC,.四边形DFCE是平行四边形。 子4D,CN=分BC。,MM-CN。四边形AMCW是平 12.(1)证明：根据小王的作法知，CF=AE。四 边形ABCD是平行四边形，AD∥BC。又CF=AE, 行四边形。AN∥MC,即GN∥MH。同理BM∥ND, .四边形AFCE是平行四边形。AF∥CE。(2) 即MG∥HN,..四边形MGNH是平行四边形。 解：以点A为圆心，CE长为半径画弧，交BC于点F, 7.证明：DE∥AF,DE=AF,∴.四边形AEDF是 此时点F有两个位置，只有其中的一个位置符合题意， 平行四边形。FD=AE,AE∥GF。.∠EAG=∠G。 故小丽的作法有问题。 FD=DG,,AE=DG。又∠AOE=∠GOD,∴.△AOE≌ 13.(1)证明：选择①，∠B=∠AED,BC∥ △G0D。A0=G0,E0=D0。ED与AG互相平分。 DE。AB∥CD,∴.四边形BCDE为平行四边形。选择 8.证明：：△ABD,△BCE是等边三角形，AB= ②，AE=BE,AE=CD,BE=CD。AB∥CD,∴.四边 BD,BC=BE,∠DBA=∠EBC=6O°。∴.∠DBE=∠ABC 形BCDE为平行四边形。(2)解：由(1)可知， .△ABC≌△DBE。AC=DE。AF=AC,AF-DE。同 四边形BCDE为平行四边形，DE=BC=10。AD⊥ 理可证AB=EF,AD=EF,.四边形ADEF是平行四 AB,∴.∠A=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 边形。DE∥AF。 AE=VDE-AD=V10-8=6。 9.(1)证明：FG∥AB,∠BAD=∠AGF。AD口数学 八年级下册（北师大版） 平行四边形的判定（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线BD 上的点，∠AEF=∠CFE。 求证：(I)BE=DF。 (2)AF∥CE。 例题图 【分析】(I)利用平行四边形的性质得出∠BDC=∠ABD,由∠AEF=∠CFE得∠AEB= ∠CFD,进而利用全等三角形的判定得出即可。(2)利用∠AEF=∠CFE和(1)的结论易证 四边形AECF是平行四边形，进而证得AF∥CE。 【证明】(1)，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD。∴.∠BDC=∠ABD .:∠AEF=∠CFE,∠AEF+∠AEB=180°，∠CFD+∠CFE=180°，.∴.∠AEB=∠CFD。 ∴.△ABE≌△CDF(AAS)。.BE=DF。 (2)由(1)得△ABE≌△CDF,AE=CF。∠AEF=∠CFE,∴.AE∥CF。∴.四边形AECF 是平行四边形。∴AF∥CE。 【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的性质与判定，得出 △ABE≌△CDF是解题关键。 基础巩固达标闯关 -每 1.下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB∥CD,AD=BC B.∠B=∠C,∠A=∠D C.AB=AD,CB=CD D.AB=CD,AD=BC 2.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是() A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.两组邻边分别相等 D.两组对边分别相等 3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,点E,F为对角线BD上的两点，BE=DF,CE= AF,连接AE,CF。求证：四边形ABCD是平行四边形。 第3题图 @ 平行四边形 第六章 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,过点A作AE∥DC交BC于点E,BD平分 ∠ABC。求证：AB=EC。 第4题图 5.如图，△ABC与△DEF的边BC,EF在同一条直线上，AB∥DE,AC∥DF且BE=CF, 求证：四边形ABED是平行四边形。 第5题图 能力提升睡综合拓展 6.如图，M,N分别为□ABCD中一组对边AD,BC的中点，BM与AN交于点G,CM 与DN交于点H。求证：四边形MGNH是平行四边形。 M 第6题图 7.如图，D,E,F分别为△ABC各边上的点，且DE∥AF,DE=AF,延长FD至点G, 使DG=DF。求证：ED与AG互相平分。 第7题图 @ 口数学 八年级下册（北师大版） 8.如图，△ABD,△EBC,△ACF都是等边三角形。求证：DE∥AF。 第8题图 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,点E,F分别在边AB,AC上，且 BE=AF,点G在AD上，GF∥AB,连接BG,EF,AD与EF相交于点H。 (1)求证：四边形BEFG是平行四边形。 (2)若∠GAF=∠AEF,请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由。 D 第9题图 *10.如图，以BC为底边的等腰三角形ABC,点D,E,G分别在边BC,AB,AC上， 且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF。 (1)求证：四边形BDEF为平行四边形。 (2)当∠C=45°，BD=2时，求D,F两点间的距离。 D 第10题图 @ 平行四边形 第六章 中考链接©真题演练 11.(2024·西宁)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AC上，过点D作 DE∥BC交AB于点E,延长BC到点F,使CF=AD,连接CE,DF。求证：四边形DFCE是 平行四边形。 第11题图 12.(2024·浙江)尺规作图问题： 如图1，点E是口ABCD的边AD上一点（不包含点A,D),连接CE。用尺规作AF∥ CE,F是边BC上一点。 小王：如图2，以点C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F,连接AF,则AF∥CE。 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F,连接AF,则AF∥CE。 小王：小丽，你的作法有问题。 小丽：哦…我明白了！ (1)证明：AF∥CE。 (2)指出小丽作法中存在的问题。 图2 第12题图 13.(2024·湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在边AB上， 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在 横线上（填序号），再解决下列问题。 (1)求证：四边形BCDE为平行四边形。 (2)若ADLAB,AD=8,BC=10,求线段AE的长。 第13题图 @