6.1 平行四边形的性质(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 ∠BAE=90°-∠B。四边形ABCD是平行四边形，∴.∠C= CD的中点，：DE=CE。∠AED=∠FEC,∴.△ADE≌ ∠BAD,AD∥BC。∴.∠B+∠C=180°。∠C=4∠BAE, △FCE(ASA)。∴FC=AD=5。:.BF=BC+FC=5+5=10 ∴.∠BAD=∠C=4∠BAE=4(90°-∠B)。∴.∠B+4(90°- 1平行四边形的性质（第2课时）】 ∠B)=180°。..∠B=60°。 (2):∠AEB=90°，∠B= 1.BE,0C2.123.B4.D5.C 60°，AB=8,∠EAB=30°。BE=7AB=4。AE= 6.解：四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD, AB=CD,AD=BC。AB+AD=10cm。又OE⊥BD, VAB2-BE=V82-平=4V3。.CE=4BE,BC=BE+ .·BE=ED。·.△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+ED+AE= 4BE=5BE=20。设AB和CD之间的距离为d,:AB·d= AB+AD=10 cmo BCAE=SaAw,:.8d=20x4V3。:d=10V3。AB和 7.解：(1)如图1，过点A作AE⊥BC于点E, CD之间的距离为10V3。 过点D作DF⊥BC于点F,.∴AE∥DF,∠AEB= 10.证明：(1)四边形 ∠DFC=90°。：四边形ABCD是等腰梯形，.AD∥BC, ABCD是平行四边形，AB=CD, AB=DC。∴.∠B=∠C。.△ABE≌△DCF(AAS)。BE= AD=BC,∠ABC=∠ADC。BC= CF。AD∥BC,AE∥DF,.四边形AEFD为平行四 BF,CD=DE,.BF=AD,AB= 边形（平行四边形的定义）。∴.EF=AD=6。:BC=12, DE。.·∠ADE+∠ADC+∠EDC= .BE=CF=(BC-EF)=3。:四边形ABCD的面积等于 360P°，∠ABF+∠ABC+∠CBF= 360P,∠EDC=∠CBF,.∠ADE= 36。×AD+BC)AE=36。AE=4。在R△ABE中， ∠ABF。.△ABF≌△EDA。 由勾股定理，得CD=AB=VAE+BE=V4+3=5。 (2)如图，延长FB交AD于点 第10题答图 H。AE⊥AF,.∠EAF=90。△ABF≌△EDA, ∠EAD=∠AFB。∠EAD+∠FAH=90°，.∠FAH+ ∠AFB=90°。∴.∠AHF=90°，即FB⊥AD。:四边形 ABCD是平行四边形，AD∥BC。BF⊥BC。 11.解：(1)①如图1所示，：四边形ABCD是 平行四边形，.CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD。 ∠DEA=∠BAE。:AE平分∠DAB,∴.∠DAE=∠BAE。 ∴∠DEA=∠DAE。DE=AD=5。同理，可得BC=CF=5。 :点E与点F重合，.AB=CD=DE+CF=10.②如图2 图3 第7题答图 所示，点E与点C重合，·DE=DC=5。CF=BC=5, DC=BC,.点F与点D重合。EF=DC=5。(2)分 (2)t为3s或9s时，以点A,P,C,D为顶点 三种情况：①当点E,F在DC上，且点F在点E的右 的四边形是平行四边形。理由：①如图2，当四边形 边时，与(1)方法相同，可证AD=DE。点C,D, APCD为平行四边形时，PC=AD=6。,BP=BC-PC=6。 E,F相邻两点间的距离相等，AD=DE=EF=CF。 :点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在射 船}②当点E,F在DC上，且点E在点F的右 线BC上运动，：1=6÷2=3(s)。②如图3，当四边形 ACPD为平行四边形时，PC=AD=6。∴BP=BC+PC=18。 边时，与(1)方法相同，可证AD=DE=CF。DFFE= 点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在射 CR4n,治号。③当点E,F分别在DC,D 线BC上运动，1=18÷2=9(s)。∴.当t为3s或9s 时，以点A,P,C,D为顶点的四边形是平行四边形。 AD=2。 的延长线上时，AD=DE=CE,DF=DC=CE, 8.(1)解：AH=3,HE=1,AB=AE=4。又在 综上所述，治的值为号或号安2。 R△ABH中，BM=VAB-AF=V7,Su-AE Bm=x4xV72V7。 E(F) (P) C(E) (2)证明：如图，过点A作 AM⊥BC于点M,交BG于点 K,过点G作GN⊥BC于点N, 则∠AMB=∠AME=∠BNG=90° 图1 图2 .∵∠ACB=45°，.∴.∠MAC=∠NGC= B M EN 第11题答图 12.2或3或4或5或613.214.515.D16.C 4。ABE,BW=EM=E, 第8题答图 17.证明：：四边形ABCD是平行四边形，BC= ∠BAM=∠EAM。又.AE⊥BG,.∠AHK=9O°=∠BMK AD=5,BC∥AD,即BF∥AD。.∠D=∠FCE。E是 而∠AKH=∠BKM,·.∠MAE=∠NBG。设∠BAM= 数学 八年级下册（北师大版） ∠MAE=∠NBG=,则∠BAG=45°+ax,∠BGA=∠GCN+ 平分∠BAC,∠BAD=∠GAF,.LAGF=∠GAF。.AF= ∠GBC=45°+a,AB=BG。AE=BG。∴.△AME≌ GF。BE=AF,∴.FG=BE。又FG∥BE,∴.四边形 △BNG(AAS)。.∴ME=NG。在等腰Rt△CNG中，·NG= BGFE为平行四边形。(2)解：AF=FG,∴△AFG NC.:GC-V2NG-V2ME-V2BE.:BE-V2GC. 是等腰三角形，由(I)知，∠EAD=∠AGF=∠GAF。 2 ∠GAF=∠AEF,.∠EAD=∠AEF。.AH=HE。 :四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， △AHE是等腰三角形。FG∥AE,∴.∠HFG=∠AEH。 .OA=OC,AD=BC,AD∥BC。.∠OAF=∠OCE, ∴.∠HGF=∠HFG。HG=HF,△HFG是等腰三角形。 ∠AFO=∠CE0。∴.△AFO≌△CE0(AAS)。.AF=CE。： 四边形BEFG是平行四边形，.∠EBG=LHFG= AD-AF=BC-EC,即DF=BE。.DF-BE=V2CG。 ∠BAG。.GA=GB。.△AGB是等腰三角形。综上所 9.2410.C 述，等腰三角形有△AFG,△AEH,△FHG,△ABG。 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，AO= 10.（1)证明：：△ABC是等腰三角形， CO,AD=BC,AD∥BC。∴.∠EAO=∠FCO,∠OEA= LABC=∠C。EG∥BC,DE∥AC,∴.∠AEG=∠ABC= ∠OFC。∴.△A0E≌△C0F(AAS)。AE=CF。.AD- ∠C,四边形CDEG是平行四边形。∴.∠DEG=∠C。 AE=BC-CF。.·DE=BF。 BE=BF,∴.∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC。∴，∠BFE= 12.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，点 ∠DEG。∴BF∥DE。四边形BDEF为平行四边形。 O是对角线的交点，.OD=OB,AD∥CB。.∠OED= (2)解：∠C=45°，四边形BDEF为平行四边形， ∠OFB。又：∠DOE=∠BOF,∴.△ODE≌△OBF(AAS)。 BD=FE,FE∥BD,BF∥DE。又DE∥CG,∠ABC= (2)解：由(I)得△ODE≌△OBF,DE=BF。 ∠BFE=∠BEF=∠BDE=∠C=45°。∴.△BDE,△BEF都 EF⊥BD,OD=OB,∴BE=DE,BF=DF。∴DF=BF=BE= DE=15cm。.DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)。. 是等膜直角三角形。F-B竖-D 2 四边形BEDF的周长为60cm: V2。如图，作M⊥BD于点M,连接DF,BF∥ 2平行四边形的判定（第1课时） DE,∴.∠FBM=∠BDE=45°。∴.△BFM是等腰直角三角 1.D2.C 形。FM=BM=YZBF=l。DM=3。在R△DFM中， 3.证明：BE=DF,∴BE+EF=DF+EF。∴BF=DE。 2 ,AB=CD,AF=CE,∴.△ABF≌△CDE(SSS)。.∠ABF= 由勾股定理得DF=1V1+32=1V10,即D,F两点间的 ∠CDE。AB∥CD。AB=CD,∴.四边形ABCD是平 距离为V10。 行四边形。 4.证明：AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB。BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠DBC。.∠ABD=∠ADB。.AB= AD。AD∥BC,AE∥DC,.四边形AECD是平行四 边形。.AD=EC。.AB=EC。 0 5.证明：·.BE=CF,.BE+EC=EC+CF,即BC=EF。 第10题答图 :AB∥DE,AC∥DF,∠B=∠DEF,∠ACE=∠F。 △ABC≌△DEF(ASA)。.AB=DE。又AB∥DE, 11证明：∠ACB=90°，AC=BC,.∠A=∠B= 四边形ABED是平行四边形。 45°。DE∥BC,.∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B= 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥ 45°。.∠A=∠AED。AD=DE。.CF=AD,.DE=CF BC,AD=BC。M,N为AD,BC的中点，AM= 又DE∥FC,.四边形DFCE是平行四边形。 子4D,CN=分BC。,MM-CN。四边形AMCW是平 12.(1)证明：根据小王的作法知，CF=AE。四 边形ABCD是平行四边形，AD∥BC。又CF=AE, 行四边形。AN∥MC,即GN∥MH。同理BM∥ND, .四边形AFCE是平行四边形。AF∥CE。(2) 即MG∥HN,..四边形MGNH是平行四边形。 解：以点A为圆心，CE长为半径画弧，交BC于点F, 7.证明：DE∥AF,DE=AF,∴.四边形AEDF是 此时点F有两个位置，只有其中的一个位置符合题意， 平行四边形。FD=AE,AE∥GF。.∠EAG=∠G。 故小丽的作法有问题。 FD=DG,,AE=DG。又∠AOE=∠GOD,∴.△AOE≌ 13.(1)证明：选择①，∠B=∠AED,BC∥ △G0D。A0=G0,E0=D0。ED与AG互相平分。 DE。AB∥CD,∴.四边形BCDE为平行四边形。选择 8.证明：：△ABD,△BCE是等边三角形，AB= ②，AE=BE,AE=CD,BE=CD。AB∥CD,∴.四边 BD,BC=BE,∠DBA=∠EBC=6O°。∴.∠DBE=∠ABC 形BCDE为平行四边形。(2)解：由(1)可知， .△ABC≌△DBE。AC=DE。AF=AC,AF-DE。同 四边形BCDE为平行四边形，DE=BC=10。AD⊥ 理可证AB=EF,AD=EF,.四边形ADEF是平行四 AB,∴.∠A=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 边形。DE∥AF。 AE=VDE-AD=V10-8=6。 9.(1)证明：FG∥AB,∠BAD=∠AGF。AD平行四边形 第六章 平行四边形的性质（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AB=I0cm, AD=8cm,AC⊥BC,求OB的长。 【分析】由平行四边形的性质得出BC=4D-8cm,0A-0C-AC, 例题图 进而由勾股定理分别求出AC和OB的长。 【解答】四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=8cm,01=0C=AC。 .AC1BC,∴.∠ACB=90°。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=VAB2-BC2=V102-82=6。 ∴.0C=3。 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB=VBC+OC=V8+3=V73。 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理。熟练掌握平行四边形的性质并能进 行推理计算是解决问题的关键。 基础巩固达标闯关 1.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,将△AOD平移至△BEC的位置， 则图中与OA相等的线段有 2.如图，在口ABCD中，AC,BD为对角线，BC=6,BC边上的高为4，则阴影部分的面 积为 3.在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,若BD与AC的和为18，DA:CD=3:2, △AOB的周长为13，那么BC的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 第1题图 第2题图 第4题图 4.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,GF经过点O,且与边AB,CD分别 交于点G,F,则图中全等三角形共有() A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 数学 八年级下册（北师大版） 5.若一个平行四边形的对角线长分别为x,y,一条边长为12，则x与y的值可能是下 面各组数中的() A.8和12 B.10和14 C.16和20 D.10和36 6.如图，已知口ABCD的周长为20cm,且AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交 AD于点E,试求△ABE的周长。 第6题图 能力提升螂综合拓展 多多多 7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=6,BC=12,四边形ABCD的面积等 于36。 (1)求CD的长。 (2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运动，连接AP,当运 动时间t为何值时，以点A,P,C,D为顶点的四边形是平行四边形？ 第7题图 8.如图，在口ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上一点，且AB=AE, 连接EO并延长交AD于点F。过点B作AE的垂线，垂足为H,交AC于点G。 (1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积。 (2)若∠ACB=45°，求证：DF=V2CG。 第8题图 ② 平行四边形 第六章 中考链接©真题演练 9.(2023.聊城)如图，在口ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点 O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF,若AD=8,CE=5, 则四边形BFCE的面积为 第9题图 第10题图 10.(2025·湖北)如图，口ABCD的对角线交点在原点。若A(-1,2),则点C的坐标是 A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 11.(2023·济南)如图，点O为口ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD,BC 分别相交于点E,F。求证：DE=BF。 0 B 第11题图 12.(2024·雅安)如图，点O是口ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD,BC 于点E,F。 (1)求证：△ODE≌△OBF。 (2)当EF⊥BD时，DE=15cm,分别连接BE,DF。求此时四边形BEDF的周长。 第12题图 @