5.1 分式及其基本性质(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

分式与分式方程 第五章 分式及其基本性质（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 先化简，再求值： 500+6,其中ae-2,b=3. 25a2-b2 【分析】先约分，将分式化成最简分式，再将a和b的值代入计算。 解答】25-b5a+bj-6生5，当a-2,b3时，原式5x二2)313-B 5ab+ab2 ab(5a+b) -2×3--6-69 【点拨】分式化简的本质就是约分，将分式的分子和分母分别进行因式分解，如果分子 和分母是单项式，可直接进行约分；如果分子和分母是多项式，则需要先运用提公因式法、 公式法等方法进行因式分解，再找到分子、分母的公因式并约去公因式，化成最简分式形式。 基础巩固飞达标闯关 1.若a≠b≠0，且4=口3成立，式子中“口”表示的运算符号是 bb☐3 2化简分式： ab'c 3.分式9-1的分子、分母的公因式是 3x2+x 4.化简分式：-2+ x-Y 5.化简分式： 2ab2c3 x+3 8ab'c x2+6x+9 d 6下列对于分式，的变形，正确的是() A.1=2 B.1=x-1 x-1-x x-1x2-1 C.1==1 x-1x-3 D.1=x+1 x-1-x2-1 (x≠-1) 7.把分式2a中的a,b都扩大2倍，则分式的值( atb A.扩大2倍 B.扩大4倍 C.不变 D.缩小为原来的 2 8.将分式x变形为已 则x必须满足的条件是()》 x+1 x2+x A.x≠0 B.>0 C.x>-1 D.x≠0且x≠-1 9.化简下列各式。 (1)-24a6元 (2) 3ab4-4ab3 16b2cd。 3ab3-4ab4 (3) 4y2-x2 x2-4xy+4y2 97 口数学 八年级下册（北师大版） 10.先化简，再求各分式的值。 (1),3a+18 2+120436,其中a=3。 (2)4t4+r,其中x=-2,y-5。 6x2+3xy 能力提升坤综合拓展 11.生活中有这么一个现象：“有一杯αg的糖水里含有bg糖，如果在这杯糖水里再加 入mg糖（仍不饱和），则糖水更甜了，其中a>b>0,m>0。”分别求出加入mg糖之前和之 后糖水的含糖率，并请你解释一下这个生活中的现象。 12.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分 后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：42-8x=4x(x-2)=4x,则称分式42-8x是“巧 x-2x-2 x-2 分式”，4x为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)。 ①-2,22：③ (x-1)(x+2) (2)若分式4+m(m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式"为-7，求m的值。 x+3 (3)若分式-242x的“巧整式”为1=，求：①整式A;②2x442x是不是“巧分式"2 A A 中考链接©真题演练 13.(2025·湖南)约分：x= 14.(2025·北京)已知a+b-3=0,求代数式4(ab)+86的值。 a2+2ab+b2 98参考答案与提示 (2n+1)。n为整数，.2n+1也是整数。.9(2n+1)一定 15.(1)证明：3m+n=b 是9的倍数。.两个连续的3的倍数的平方差一定是 ,mn=名，a是实数， 9的倍数。 .b=a(3m+n),c=amn,b2-12ac=[a(3m+n)P-12amn= 13.(1)解：2028=5082-506。(2)证明：设 d(9m2+6mn+n2)-12amn=d2(9m2-6n+m2)=a2(3m-n)2。 两个连续的偶数为2n,2(n+1),n为正整数，则完美 a,m,n是实数，a2(3m-n)2≥0。.b2-12ac为非负 数为[2(n+1)]2-(2n)2,.[2(n+1)]2-(2n)2=[2(n+1)- 数。(2)解：m,n不可能都为整数。理由：若m, 2n][2(n+1)+2n]=4(2n+1)。2n+1为奇数，.4(2n+1) n都为整数，可能有两种情况：m,n都为奇数；m,n 能被4整除。.任意一个完美数都能够被4整除。 为整数，且其中至少有一个为偶数。①当m,n都为 (3)解：根据题意，得阴影部分的面积为42-22+82-6+ 奇数时，则3m+n必为偶数。由(1)知b=a(3m+n), …+282-26=(4-2)×(4+2)+(8-6)×(8+6)+…+(28-26)× a为奇数，.a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾。 (28+26)=2×(4+2)+2×(8+6)+…+2×(28+26)=2×(2+4+6+ ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 8++26+28)=2x14x(2+28】=-420。 mn必为偶数。由(I)知c=amn,又，a为奇数， 2 :ammn必为偶数，这与c为奇数矛盾。综上所述，m, 14解：(1)13292-8x11,172-32-8x35。 (2)规 n不可能都为整数。 律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。证明：设m, 第五章分式与分式方程 n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+ 1分式及其基本性质（第1课时） 1)2-(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)-(2+1)]=4(m- n)(m+n+1)。当m,n同是奇数或偶数时，(m-n)一定 1-312号n品4 m-x 为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数；当m,n为一 5.B6.D7.C8.(1)x≠4(2)x≠±5 奇一偶时，(m++1)一定为偶数，所以4(m++1)一定 9.x≠1且x≠-4.10.m≤3且m≠0。 是8的倍数。所以任意两个奇数的平方差是8的倍数。 11.解：m>1。x2-2x+m=(x-1)2+m-1,若x无论 15.解：(1)9x3-2=x(9x2-y2)=x(3x-y)(3x+y）。 取什么值时，(x-1)P+m-1≠0，必须m-1>0,m>1。 当x=10,y=10时，3x-y=3×10-10=20,3x+y=3×10+ 12.解：(1)当+=0时，分式-b无意义。 10=40,.六位数密码可以是102040或104020或 x+a 201040或204010或401020或402010。(2)x= x=-2,-2+=0。a=2。当x-b=0时，分式-b的值 25,这个六位数密码为242527，.24=25-1,27=25+2， x+a 将多项式x3+px2+qx因式分解后，得到的因式分别 为0，又当x=1时，此分式的值为0,1-b=0。b= 为(x-1),x,(x+2),x3+px2+qx=x(x-1)(x+2)。 1。.a的值为2，b的值为1。(2)当a=2,b=1时， x(x-1)(x+2)=x3+x2-2x,p=1,9=-2。 分式2a=4 16.解：(1)原式=d2-4+4-6a+8=(-4)-6a+12= 品者。“分式年的值为正禁数，x+1日 (a-2)(a+2)-6(a-2)=(a-2)(a-4)。(2)由条件可得 或x+1=2或x+1=4。∴x=0或x=1或x=3。.整数x的 (a2-b2)c2=(2-b2)(+b2),.(2-b2)(a2+b2-c2)=0。.d2- 值为0或1或3。 b2=0或d+b2-c2-0。.a=b或d+b2=c2。△ABC是等腰 13.解：由题意，知提速前列车跑完全程所用的时 三角形或直角三角形。 间为101，提速后跑完全程所用的时间为测山。 17.(m+4)(m-4)18.7(m+2)(m-2)19.(x+ 3)(x-3) 提速后列车跑完全程节省了1500-1500 。t450h。 3公式法（第2课时） 14.1(答案不唯一)15.0（答案不唯一）16.A 1.x(x-3)22.(y+1)0-1)(x+1)23.1804.a+3b 1分式及其基本性质（第2课时）】 5.B6.D7.C 1.×或÷（答案不唯一）2. ,3.3x+1 &④4a-1y2)e-2y3)2+g ,12 4.1 1 6.D7.C8.D 4)-7b-2y x-Y 9.(1)-3c 9.(1)(x+2y)3(x-2y)(2)(a-b)4(3)(a+b)A 2d 2熟品 (4)解：原式=[(x2+3x)-2][(x2+3x)+4]+9=(x2+3x+1)）2。 (3)解：原式=(2y+x)(2y-x)=2y+x 10.(1)121(2)90000 (x-2y)2 2y-x1 11.解：小强猜想的结论是正确的。n(n+1)(n+ 10w品6子②2驶，昌 2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3m)(n2+3n+2)+ 11.解：由题意，知加人mg糖之前糖水的含糖率 1=(n2+3n+1)2,且n是任意正整数。.(n2+3n+1)一定 也是一个正整数。.任意四个连续的正整数的积与1 为 -。:加入mg糖之后，糖水的质量为(a+m)g, 的和一定是一个完全平方数。 12.2(-3y)213.±1214.D 其中含糖为(b+m)g,∴此时含糖率为+m。由分式 a+m 8 1数学 八年级下册（北师大版） 的基本性质，得b=b(a+m)=ab+bm b+m= 1.87b42.Y3.+224.A5.D a a(a+m) a(a+m)' a+m y 2 a aa+m-aa+m。a>b>0,m>0,:am>bm。ah+ a(b+m）=ab+am 6.(1)+6 x-3 2品 (3)m+1 m-1 4)a ma+6,小滑>即>合。加第 7.(1)-m-2 (2)1 (3)1(4)-2 a+m a -b 后的糖水更甜。 8.解：一样快。理由：设甲地到乙地的距离为s, 12.解：(1)①3(2)分式二4+m(m为 在平地路上走时的平均速度为，则上山的平均速度 x+3 常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7, 为，下山的平均速度为2，则在平地路上走所用 (x+3)(x-7)=x2-4x+m。x2-4x-21=x2-4x+m。.m=-21。 1 (3)①分式2x+2的“巧整式”为1-比，4= 的时间为氵，在山路上走所用的时间为 353s A -2x+2x=2x(1-)-_2x(1-1+-2x(1+x）,即A=24 2 1-x 1-x 1-x 所以走山路与平地所用的时间相同。 2x。②是。2+442x-2x(+2+1=2x(+1y」 9.a-110.A11.A x十 A 2x(x+1) 2x(x+1) 12.解：原式-3x+3-3+l=3 1,且+1为整式，：2442匹是巧分式”。 x+1x+1 A 2分式的运算（第3课时） 13.x2 14解：原式-》品加6-30，ab 1的2胎+3市4D5B 6.(1)+y (2)-26 3。原式=4 a 3-x (2)-2ab 2分式的运算（第1课时）】 7.(1) 2(x+3) 1.y-18232.03.54.号 8.解：原式=+-l mm ，-2=0,-2。原式 5.C6.D7.D8.D 2+x-1=1。 x+1 9.(1)8ab 3c (2 (3)(-3) a+1 9.解：1600-1600-1600-1600t-4-6400 t-4 t t(t-4) t(t-4) 1 (4)3ax+2 10.(1)-9 2 2 (3)-x2 0答：略。 ④名 10.解：(1)原式=1-1=x+3)-(x-3) 11.解：(1)任意一个分式除以前面一个分式都 x-3x+3(c-3)(x+3) x+3-x+3 6 等于_父 (2)第7个分式应该是 2->6 (x-3)(+3)(-3)(e+3)。 (2)不能为0。理由： 12.解：甲工程队修900m所用时间为900， 原式=3，-x+2=3x-+2=2-2-2x-1)」 24,乙 x-1x2-xx(x-1)x(x-1)x(-1)x(x-1) 工程队修600m所用时间为_600 (a-2)。 由题意可得900 。20，x≠0，结果不会等于0。 2 a24 ·-驾-。甲工程队修0m 11证明：0由条件可得a6:子子。子号 a b 所用时间是乙工程队修600m所用时间的3a-6倍。 -24-262.202.a,-60 ab 2a+4 ab 13.解：原式=+1)-.，x=-1 等式两边同除以(a-b),得1居。ab≠0.d-2。 (+1)2=x+1 14.解：原式=0.+1)(a-=a+1。当=2025 2日古-份。00，b00.又a a-1 时，原式=a+1=2025+1=2026. -0000小日<g ab 15.解：原式=2m(m+2.m-2Y-2(m+2m-2)。 12.213.A14.A m-2 m 15.解：(1)设“丰收2号”小麦的产粮量为xkg, 当m=V3-1时，原式=2×(V3-1+2)×(V3-1-2)= 则“丰收1号”小麦的产粮量为(1.2x-100)kg。根 2x(V3+1)×(V3-3)=2x(3-3V3+V3-3)=-4V3。 据题意，得x+1.2x-100=1000。解得x=500。.“丰收 2分式的运算（第2课时）】 1号”小麦试验田的产粮量为1000-500=500(kg)。 86