分式与分式方程题型练习(求字母的取值、分式方程的应用、通分的应用、不等式组结合)2025--2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦分式与分式方程核心知识点，系统梳理利用根的情况（无解、正负根）求字母取值、分式方程的应用（代数式、实际问题）、通分比较大小及与不等式组结合确定字母取值等内容，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料题型分层递进，结合“母亲节花店进货”“工程招标”等实际情境培养数学眼光，通过通分比较、方程与不等式结合提升数学思维，用分式方程解决实际问题强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

分式与分式方程题型练习(求字母的取值、分式方程的应用、通分的应用、不等式组结合) 题型一：利用分式方程根的情况求字母的取值 1. 根据分式方程无解求字母的值： · 分式方程无解可能有两种情况: ①将分式方程化为整式方程后，求出的x的值是分式方程的增根; ②所化成的整式方程无解，导致原分式方程无解. 练习1. 1. 已知关于x的方程－＝0有增根，则m的值是( D ). A．4 B．－4 C．2 D．－2 2. 若关于x的方程＋＝无解，求m的值. 解：m的值为－或－2或－1. 3. 已知关于x的分式方程－＝． (1)当m＝－2时，求这个分式方程的解． (2)小明认为当m＝3时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由． 解：(1) x＝2；(2)小明的结论正确 2. 根据分式方程根的正负求字母的取值范围： · 既要考虑分式方程的解是正数(负数)，也要确保最简公分母不为零. 练习2. 1. 若关于x的方程＋＝的解为负数，则a的取值范围是 a＜－10且a≠－13 ． 2. 已知关于x的方程－2＝的根是正数，求m的取值范围. 解：m＜6且m≠3. 题型二：分式方程的应用 1. 在代数式中的应用： 练习3. 1. 当x为何值时，分式的值比分式的值大2? 解：当x＝－时，分式的值比分式的值大2 2. 已知A＝＋.若点P(a，b)是一次函数y＝x＋的图象上的点，则A＝ － .  2. 解决实际问题： 练习4. 1. “母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1200束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束30元、18元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.6倍，若消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10束． (1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元； (2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低4元，康乃馨的售价每束降低2元．求花店应如何进货才能获得最大利润．(假设购进的两种鲜花全部销售完) 解：(1)康乃馨的售价为每束40元，百合的售价为每束64元； (2)购进百合700束，购进康乃馨500束． 2. 某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息) 甲：(1)施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元； (2)单独完成这项工程可以提程队工程款1万元前2天完成. 乙：(1)施工一天，需付乙工1万元； (2)单独完成这项工程会延期8天，才可以完成. 学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工； 校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案： ③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问： (1)学校规定的期限是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由． 解：(1)12；(2)选择方案③最节省工程款 3. 某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 解：(1)每人每小时运送45千克、包装60千克；(2)12人运送，8人包装 题型三：通分的应用 · 比较异分母的分式的大小：①可以将它们化为同分母的分式后，比较分子；②通过作差比较分式大小. 练习5. 1. a，b为实数，且ab＝1，设P＝＋，Q＝＋，则P ＝ Q(填“＞”“＜”或“＝”). 2. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1kg/m2，F2kg/m2． (1) F1＝ ；F2＝ ．(用含a的式子表示)； (2)求证：F1－F2＜0． (3)求的值． (4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：(1)，；(2) F1－F2＝－＜0，∴F1－F2＜0；(3)； (4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍 题型四：与不等式组的解集结合确定字母的取值 · 与不等式组的解集结合，确定字母的取值的一般步骤如下： ①由分式方程的根为特殊解确定字母的取值范围； ②由不等式组的解集确定字母的取值范围； ③取①②中两个解集的公共部分即可. 练习6. 1. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤－2，且关于y的分式方程＝－2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是( D ). A.－26 B.－24 C.－15 D.－13 2. 若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程－3＝的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为　　22　　.  巩固练习： 1. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＋＝1有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为( C ). A．8 B．10 C．16 D．18 2. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程＋＝1的解是整数，则满足条件的所有整数a的值之和为 4 ． 3. 已知关于x的分式方程＋＝2的解为非负数，则a的取值范围 a≤且a≠ ． 4. 若关于y的分式方程＋＝－1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 9 ． 5. 列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”(摘自《住的梦》)金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟 (1)由此估算这段路长约__3__千米； (2)然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值.解：(2)7.5 6. 如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律摆放，其中图1中的“○”的个数为a1，图2中的“○”的个数为a2，图3中的“○”的个数为a3，以此类推，则＋＋＋…＋的值是　　.(用含n的代数式表示)  7. 如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是，，点A到B的距离为1，求x的值. 解： x的值为－. 8. 已知关于x的分式方程－＝1. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 解：(1)－2；(2)－2；(3)3或－2. 9. 已知函数y1＝2x－1，y2＝3－x，解决下列问题： (1)若＝＋，求实数A，B的值； (2)若分式的值是正整数，求满足条件的所有整数x的值. 解：(1)；(2)满足条件的整数x的值为2. 10. 如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式M＝，N＝，M－N＝＝2，故M为N的“差整分式”，“差整值”k＝2． (1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是 (填序号)； ①A＝，B＝，        ②A＝，B＝－，    ③A＝，B＝；； (2)已知分式C＝，D＝，C为D的“差整分式”，且“差整值”k＝2， ①求G所代表的代数式； ②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值； (3)已知分式P＝，Q＝(其中m为常数)，是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由． 解：(1)②；(2)①x2＋2x；②x＝1；(3)不存在， 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式与分式方程题型练习(求字母的取值、分式方程的应用、通分的应用、不等式组结合) 题型一：利用分式方程根的情况求字母的取值 1. 根据分式方程无解求字母的值： · 分式方程无解可能有两种情况: ①将分式方程化为整式方程后，求出的x的值是分式方程的增根; ②所化成的整式方程无解，导致原分式方程无解. 练习1. 1. 已知关于x的方程－＝0有增根，则m的值是( ). A．4 B．－4 C．2 D．－2 2. 若关于x的方程＋＝无解，求m的值. 3. 已知关于x的分式方程－＝． (1)当m＝－2时，求这个分式方程的解． (2)小明认为当m＝3时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由． 2. 根据分式方程根的正负求字母的取值范围： · 既要考虑分式方程的解是正数(负数)，也要确保最简公分母不为零. 练习2. 1. 若关于x的方程＋＝的解为负数，则a的取值范围是 ． 2. 已知关于x的方程－2＝的根是正数，求m的取值范围. 题型二：分式方程的应用 1. 在代数式中的应用： 练习3. 1. 当x为何值时，分式的值比分式的值大2? 2. 已知A＝＋.若点P(a，b)是一次函数y＝x＋的图象上的点，则A＝ .  2. 解决实际问题： 练习4. 1. “母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1200束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束30元、18元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.6倍，若消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10束． (1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元； (2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低4元，康乃馨的售价每束降低2元．求花店应如何进货才能获得最大利润．(假设购进的两种鲜花全部销售完) 2. 某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息) 甲：(1)施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元； (2)单独完成这项工程可以提程队工程款1万元前2天完成. 乙：(1)施工一天，需付乙工1万元； (2)单独完成这项工程会延期8天，才可以完成. 学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工； 校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案： ③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问： (1)学校规定的期限是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由． 3. 某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 题型三：通分的应用 · 比较异分母的分式的大小：①可以将它们化为同分母的分式后，比较分子；②通过作差比较分式大小. 练习5. 1. a，b为实数，且ab＝1，设P＝＋，Q＝＋，则P Q(填“＞”“＜”或“＝”). 2. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1kg/m2，F2kg/m2． (1) F1＝ ；F2＝ ．(用含a的式子表示)； (2)求证：F1－F2＜0． (3)求的值． (4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 题型四：与不等式组的解集结合确定字母的取值 · 与不等式组的解集结合，确定字母的取值的一般步骤如下： ①由分式方程的根为特殊解确定字母的取值范围； ②由不等式组的解集确定字母的取值范围； ③取①②中两个解集的公共部分即可. 练习6. 1. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤－2，且关于y的分式方程＝－2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是( ). A.－26 B.－24 C.－15 D.－13 2. 若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程－3＝的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为　 　.  巩固练习： 1. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＋＝1有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为( ). A．8 B．10 C．16 D．18 2. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程＋＝1的解是整数，则满足条件的所有整数a的值之和为 ． 3. 已知关于x的分式方程＋＝2的解为非负数，则a的取值范围 ． 4. 若关于y的分式方程＋＝－1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 5. 列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”(摘自《住的梦》)金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟 (1)由此估算这段路长约 千米； (2)然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值. 6. 如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律摆放，其中图1中的“○”的个数为a1，图2中的“○”的个数为a2，图3中的“○”的个数为a3，以此类推，则＋＋＋…＋的值是 .(用含n的代数式表示)  7. 如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是，，点A到B的距离为1，求x的值. 8. 已知关于x的分式方程－＝1. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 9. 已知函数y1＝2x－1，y2＝3－x，解决下列问题： (1)若＝＋，求实数A，B的值； (2)若分式的值是正整数，求满足条件的所有整数x的值. 10. 如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式M＝，N＝，M－N＝＝2，故M为N的“差整分式”，“差整值”k＝2． (1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是 (填序号)； ①A＝，B＝，        ②A＝，B＝－，    ③A＝，B＝；； (2)已知分式C＝，D＝，C为D的“差整分式”，且“差整值”k＝2， ①求G所代表的代数式； ②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值； (3)已知分式P＝，Q＝(其中m为常数)，是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $